分式的加减法一

1、第三节 分式的加减法（一）大小油炸馒头小明每天的早餐都要吃油炸馒头.妈妈买回来的油炸馒头的规格有两种：一种较大，另一种较小.大馒头的重量是小馒头的2倍，而价格也是2倍.一天，他望着金灿灿、香喷喷的大馒头与小馒头，忽然想到了这样一个问题：究竟是买大馒头合算还是买小馒头合算？妈妈知道小明的心思后嗔怪道：“傻孩子，这有什么区别，大馒头的重量是小馒头的两倍，价格也刚好是两倍关系，这样岂不是买大的和买小的都一样吗？”“可是油与面粉的价钱总不一样吧？”小明说，“油的价格比面粉贵吧.”“那还用说，油的价格比面粉贵好几倍呢！”妈妈答道，“哦，我明白了，你是想说哪一种馒头油炸时耗油多些？”“对，在同等价格的情况

2、下，买耗油多些的就是比较合算的.”小明说明后进行了以下的思考：球形的馒头油炸时所耗油量的多少应该说只与馒头的表面积大小有关，而表面积的大小只与球的半径有关.因此应先弄清楚两种馒头的半径关系.假设大馒头的半径为R cm，小馒头的半径为r cm，则大馒头的体积为R3，小馒头的体积为r3,由于大馒头的重量是小馒头的2倍，所以体积也是2倍，故R3=2r3,从而R=r.由于两种馒头的形状是相似的，故表面积之比等于半径比（相似比）的平方.设大馒头的表面积为S，小馒头的表面积为s，则=（）2=（）2=1.587.所以S1.587s.即s0.630 S.这说明小馒头的体积虽然是大馒头的一半，但表面积却是一半多

3、，因此两个小馒头的表面积比一个大馒头的表面积大，从而可知油炸2个小馒头的耗油量比一个大馒头多.至此，小明终于发现：在同等价格的情况下，对商家而言，用大馒头替换小馒头省油，对顾客来说，购买小馒头合算.二、黑洞数153之所以说153是黑洞数，这是因为只要通过一种运算，所有是3的倍数的数无一能逃脱它的魔力，都会被吸进去.也就是说任意找一个是3的倍数的自然数，先把这个数的每一个数字都立方，然后相加，得到一个数；然后再将所得数的各位数字立方求和，并将此运算一直重复下去，就会得到153.比如369这个数.先把3、6、9立方，然后相加，得到33+63+93=27+216+729=972；再把972中的9、7

4、、2立方，然后相加，又得到：93+73+23=729+343+8=1080；再把1080中的1、0、8、0立方求和，得：13+83=1+512=513；再把513中的5、1、3立方求和，得：53+13+33=125+1+27=153.这样，经过了4次运算，369就变成了153.按照上述运算规律和法则，8523这个数经过7次运算，最终也同样掉进黑洞153.变化的结果可直观地表示成如下形式：85236725676847921080513153.分析一下153这个数，不难发现153有它的特别之处：153是3的倍数，且它的各位数字的立方和仍然是153，即13+33+53=153.在所有3的倍数的自然数

5、里，153是唯一一个具备这一特性的数.值得注意的是它的魔力不能吸进那些不是3的倍数的数.第四课时课 题3.3.1 分式的加减法（一）教学目标（一）教学知识点1.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用.2.简单的异分母的分式相加减的运算.（二）能力训练要求1.经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感.2.会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力.（三）情感与价值观要求1.从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识.2.结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气.教学重

6、点1.同分母的分式加减法.2.简单的异分母的分式加减法.教学难点当分式的分子是多项式时的分式的减法.教学方法启发与探究相结合教具准备投影片四张：第一张：提出问题，（记作3.3.1 A）;第二张：想一想，做一做，（记作3.3.1 B）；第三张：想一想，（记作3.3.1 C）;第四张：议一议，（记作3.3.1 D）;第五张：例1，记作（3.3.1 E）；第六张：补充练习，（记作3.3.1 F）.教学过程.创设现实情境，提出问题师上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课我们先来看下面的问题：（出示投影片 3.3.1 A） 问题一：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，

7、其中第一条是平路，第二条有1 km的上坡路、2 km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间?（2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？问题二：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？生问题一，根据题意可得下列线段图：（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（+）h.（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为h.但要求出小丽走哪条路花费的时间少.就需要比较（+）与的大小，

8、少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出.生如果要比较（+）与的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母.生比较两个数的大小，我们可以用作差法.例如有两个数a,b.如果ab0，则ab;如果ab=0,则a=b；如果ab0,则ab.师这位同学想得方法很好，显然（+）和中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做.生如果用作差的方法，例如（+），如何判断它大于零，等于零，小于零呢？师我们不妨观察（+）中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？生分式的加减法.师很好！这正是我们这节课要学习的内容分式的加减法（板书课题）我们再来看一下问题二.生问题二中这个

9、人用电脑录入3000字的文稿需小时，利用分式的基本性质化简，即为小时；用手抄3000字文稿则需用小时，因此这个人录入3000字的文稿比手抄少用（）小时.生, 是分式，是分式的加减法.师但和问题一中加减法比较一下，你会发现什么？生问题一中的是异分母的分式相加减，而问题二是同分母的加减法.师很好！我们按研究问题的一般思路，从简单的学起即先学习同分母的加减法.讲授新课1.同分母的加减法师我们接着看下面的问题（出示投影片3.3.1 B）想一想（1）同分母的分数如何加减？你能举例说明吗？（2）你认为分母相同的分式应该如何加减？做一做（1）+=_.（2）=_.（3）+=_.生同分母的分数的加减是分母不变，

10、把分子相加减，例如+=.我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减.师谁能试着到黑板上板演“做一做”中的三个小题.生1解：（1）+=;生2解：（2）=;生3解：+=.师我们一块来讲评一下上面三位同学的运算过程.生第（1）小题是正确的.第（2）小题没有把结果化简.应该为原式=x+2.师这位同学很仔细.我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最简的，如果分子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简.生第（3）小题，我认为也有错误.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，我觉得（x+1）分母不变，做得对，但三个分式的分子x+2、x1、x3相加减应为（x+

11、2）（x1）+（x3）.师的确如此，我们知道列代数式时，（x1）（x+1）要写成分式的形式即，因此分数线既有除号的作用，还有括号的作用，即分子、分母应该是一个整体.生老师，是我做错了.第（3）题应为：（3）+=师发现问题，及时改正是一种很好的学习习惯，努力发扬，你一定会取得更大进步.通过前面做一做，想一想，我们可以得出同分母的分式相加减的法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示是：=（其中a、b既可以是数，也可以是整式，c是含有字母的非零的整式）.前面问题二现在可以完成了吧！大胆地试一试.生=，所以这个人录入3000字文稿比手抄少用个小时.2.简单的异分母的分式相加减生问题

12、一还没有解决呢？师是的，如果分式的分母不同，那么该如何加减呢？同学们不妨凭借自己的数学经验，合作交流，找到一个可行的方法.出示投影片（3.3.1 C）想一想（1）异分母的分数如何加减？（2）你认为异分母的分式应该如何加减？比如+应如何计算.生 异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法生 我认为分式有很多地方和分数相类似，异分母的分式加减是否也可以通过像分数那样通分，将异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法.师 同学们的想法很好！我这儿就有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减.（出示投影片 3.3.1 D）小明认为，只要把异分母的分式化

13、成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题.小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：小明：+=+=+=.小亮：+=+=+=.你对这两种做法有何评论？与同伴交流.生 我觉得这两种做法都有一个共同的目标：把异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法.但我觉得小亮的方法更简单.就像分数运算：+.如果+=+=+=，这样计算就比较麻烦；如果找6和4的最小公倍数12，算起来就很方便，即+=+=+=.生 我认为也是这样，根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.但通分时为了简便，也应该像分数的通分一样，找各个分母的最小公倍数.师同学们分析得很有道

14、理，为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的公分母.例如+，a和4a的最简公分母是4a.下面我们再来看几个例子.出示投影片（3.3.1 E）例1计算：（1）+;（2）+生老师，我们组还是联系异分母的分数相加减的方法，利用分数的性质，先通分，转化成同分母的就可以完成.生我们组也是用了将异分母的分式相加减转化成同分母相加减的分式运算.例1中的第（1）题，一个分母是a,另一个分母是5a，利用分式的基本性质，只需将第一个分式化成=即可.解：（1）+=+=;生我们组也已完成了第（2）题.两个分式相加，一个分式的分母是x1,另一个分式的分母是1x，我们注意到了1x=

15、（x1），所以要把化成分母为x1的分式，利用分式的基本性质，得=.所以第（2）题的解法如下：（2）+=+=师同学们能凭借自己的数学经验，将新出现的数学难题处理的有条有理，很了不起.生问题一可以出来结果啦.（1）小丽当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为+=+=h.（2）小丽走第一条路所用的时间为h.作差可知=0.所以小丽走第一条路花费的时间少，少用h.应用、升华1.随堂练习第1题计算：（1）;（2）+;（3）解：（1）=;（2）+=+=;（3）=.2.补充练习（出示投影片3.3.1 F）计算：+.解：+=1.课时小结师这节课我们学习了分式的加减法，同学们课堂上思维非常活跃，想必收获一定很大

16、.生我觉得我这节课最大的收获是：“做一做”中犯的错误，在今后做此类题的过程中，一定不会犯同样的错误.生我的收获是学会用转化的思想将异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法.课后作业习题3.4第1、2、3题.活动与探究已知x+=z+=1,求y+的值.过程已知条件实际上是一个方程组，我们可以取其中两个方程x+=1,z+=1，由这两个方程把y、z都用x表示后，再求代数式的值.结果由x+=1,得y=,由z+=1,得z=.所以y+=+=+=1.板书设计3.3.1 分式的加减法（一）分数的加减法分式的加减法同分母分母不变，分子相加减分母不变，分子相加减.异分母转化为同分母转化为同分母做一做：（学生板演

17、）（1）+（2）（3）+例1计算：（1）+（2）+注意：1分数线的括号作用，突出分子是整体.2计算结果要化成最简形式.第五课时课 题3.3.2 分式的加减法（二）教学目标（一）教学知识点1.异分母的分式加减法的法则.2.分式的通分.（二）能力训练要求1.经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力.2.进一步通过实例发展学生的符号感.（三）情感与价值观要求1.在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐.2.提高学生“用数学”意识.教学重点1.掌握异分母的分式加减运算.2.理解通分的意义.教学难点1.化异分母分式为同分母分

18、式的过程.2.符号法则、去括号法则的应用.教学方法启发、探索相结合教具准备投影片五张第一张：做一做，（记作3.3.2 A）第二张：例1,（记作3.3.2 B）第三张：例2，（记作3.3.2 C）第四张：例3，（记作3.3.2 D）第五张：补充练习，（记作3.3.2 E）教学过程.创设问题情境，类比异分母分数的加减法引入新课师大家知道，对于异分母的分数相加减必须利用分数的基本性质，化成同分母的分数相加减，然后才能运算.上一节课，我们讨论较简单的异分母的分式加减法.下面我们再来看几个异分母的加减法.（出示投影片 3.3.2 A）做一做尝试完成下列各题：（1）=_；（2）+=_;（3）=_;（4）+

19、=_.生我们已学过分式的一些知识，如分式的概念，分式的约分以及分式的乘除法等.这些知识，都是在与分数类比中得到的.我想异分母的分式的加减法也可类比分数的加减法，应先把异分母的分式加减法转化为同分母的分式的加减法.师你的想法很好.在分数的加减法中，我们把异分母的分数化成同分母分数的过程叫做通分.生老师，我知道啦，在分式的加减法中，把异分母的分式化成同分母分式的过程也叫做通分.“做一做”中的几个异分母的分式加减法就需要先通分.讲授新课师下面可尝试用分式的基本性质，将“做一做”中的异分母分式的加减法通分化成同分母的分式加减法，计算并化简.生解：（1）=;（2）+=+=+=;（3）=（4）+=+=+=

20、（让同学们分组讨论交流完成，教师可巡视发现问题并解决问题）.师把异分母的分式加减法，通过通分，每个分式都化成同分母的加减法.你是怎样通分，把异分母的分式化成同分母的？同学们可根据“做一做”的每个步骤，总结你是怎样通分的？（小组讨论完成）生我认为通分的关键是几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母同乘以什么样的“适当整式”，才能化成同分母.生确定公分母的方法：系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母.师同学们概括得很好.下面我们来看一个例题（出示投影片3.3.2 B）例1通分：（1）,；（2）,;（3）,;（4）,分析: 通分时，应先

21、确定各个分式的分母的公分母：先确定公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数；再取各分母所有因式的最高次幂的积.解：（1）三个分母的公分母为12 xy2，则=;=;=（2）因为（yx）2=（xy）2，所以两个分母的公分母为（xy）2.=;=.（3）两个分母的公分母为（x+3）（x3）=x29.=;=.（4）因为a24=（a+2）（a2）,所以两个分母的公分母为a24.=;=.师我们再来看一个例题（出示投影片 3.3.2 C）例2计算：（1）;（2）;（3）用两种方法计算：（）.（可由学生板演，学生之间互查互纠）.解：（1）=（2）=（3）方法一：（按运算顺序，先计算括号里的算式）（）=（）=2x

22、+8.方法二：（利用乘法分配律）.（）=3（x+2）（x2）=3x+6x+2=2x+8.出示投影片（3.3.2 D）例3甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？（2）谁的购货方式更合算？师生共析由于两次购买饲料的单价有所变化，可设第一次购买的饲料的单价为m元/千克，第二次购买的饲料的单价为n元/千克，甲、乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量.在第（2）题中，比较甲、乙所购饲料的平均单价，谁的平均单价低谁

23、的购货方式就更合算，可以用作差法比较平均单价.解：（1）设两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克（m,n是正数，且mn）甲两次购买饲料的平均单价为=（元/千克）乙两次购买饲料的平均单价为=（元/千克）（2）甲、乙两种饲料的平均单价的差是=由于m、n是正数，因为mn时，也是正数，即0，因此乙的购买方式更合算.课堂练习1.随堂练习第1题第（2）小题：（2）解：原式=2.补充练习（出示投影片3.3.2 E）计算：（1）+;（2）a+2.解：（1）+=+=+=.（2）a+2=.课时小结这节课我们学习了异分母的分式加减法，使我们提高了分式运算的能力.课后作业习题3.5第1、2、3、4题.活动与探

24、究若=+，求A、B的值.过程本题把一个真分式化成两个部分分式之和的形式，这里A和B都是待定系数，待定系数可根据对应项的系数来求解.结果右式通分，得=.因为左右恒等且分母相同，故分子应恒等，即x3A（x1）+B（x+1）所以x3=（A+B）x+（A+B）对应系数比较，得解得所以A=2，B=1板书设计3.3.2 分式的加减法（二）1.通分2.例1通分（1） （2） （3） （4）（略）例2计算（1）;（2）（3）（）.例3（略）3.分式的加减法作业导航理解并掌握分式的加减运算法则，会运用法则进行分式加减运算.一、选择题1.下列各式计算正确的是( )A.B.C.D.2.化简+1等于( )A.B.C.

25、D.3.若ab=2ab，则的值为( )A. B.C.2D.24.若，则M、N的值分别为( )A.M=1，N=2B.M=2，N=1C.M=1，N=2D.M=2，N=15.若x2+x2=0，则x2+x的值为( )A.B.C.2D.二、填空题6.计算：=_.7.已知x0，=_.8.化简：x+=_.9.如果m+n=2，mn=4，那么的值为_.10.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地到乙地按每小时v千米的速度行驶，可按时到达；若每小时多行驶a千米，则可提前_小时到达(保留最简结果).三、解答题11.计算：(1)a+b+(2)(3)(4)(x+1)12.化简求值：(2+)(a)其中a=2.13.已知，求的值

26、.14.一项工程，甲工程队单独完成需要m天，乙工程队单独完成比甲队单独完成多需要n天时间，那么甲、乙工程队合做需要多少天能够完成此项工程？参考答案一、1.D 2.C 3.D 4.B 5.A二、6.2 7. 8. 9.310.三、11.(1) (2)1 (3)1 (4)2x412.113.614.备课资料参考练习1.已知=+,则M=_.2.若（a）2与|b1|互为相反数，则的值为_.3.如果xy0，那么+化简结果为_.4.化简的结果为_.5.计算=_.6.已知ab0,a+b0，则（a1+b1）1应等于A.a+bB.C.D.7.化简：（x+1）8.计算：+9.已知a2b=2（a1）求a2+4ab4b2的值.参考答案：1.x2 2. +1 3.0 4.x+y 5. 6.C 7. 8.2 9.3.3 分式的加减法（一）班级：_ 姓名：_一、（1）+=（2）=1（3）=（x1）（x+1）=2（4）（5）二、请你填一填（1）若分式x有意义，则x的取值范围是（ ）A.x0B.x2C.x2且xD.x2或x（