高等数学标准教案

1、高等数学教 案课程名称 微积分初步 授课专业、班级 08工程造价 课程类型 专业基础课 课程学时数 68 课程学分数 4学分 教材版本_高等数学孙伟主编_考核方式 考勤、理论、平时成绩、期末考试 授课教师 授课时间 08.0908.12.31 2008 2009 学年第 一 学期9 / 84一 、课程单元、章节 第一章 函数、极限与连续二 、教学要求 1 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。2 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4 掌握基本初等函数的性质及其图形。5 会建立简单应用问题中的函数关系式。三、 重点和难点 1 .

2、重点： 基本初等函数的性质及其图形 2 . 难点：复合函数及分段函数的概念。四、教学进度：理解函数的概念，掌握函数的表示方法。1.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。2.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。3.掌握基本初等函数的性质及其图形。4.会建立简单应用问题中的函数关系式。五、课时数 4六、教学方式： 课堂讲解，学生课堂课后练习七、作业：教材第9页 1，3，4，7，10八、参考书籍：应用高等数学上， 翟向阳主编， 上海交通大学出版社高等数学盛骤 等编 ，浙江大学出版社九、教学小结：本章的主要内容在中学已讲过，在教授时注意将以前所学的知识作系统的回顾，并作适当的加

3、深，使学生对初等函数形成比较完整的概念，为学习定积分奠定良好的基础。学生对该章节的内容反映较好。十、教学过程及内容：1.1 函数1 。1。1 函数的概念 定义设为点集，则映射：称为定义在上的函数，记为 ，其中：称为函数的定义域，称为自变量，称为因变量。称为函数的值域。函数常用，等表示，如，等。函数的定义域：使得表达式（算式）有意义的全体实数。如， ，集合称为函数的图形。 函数的参数变形（复习）。 例： 例： 函数的图像 函数图像的描绘。（描点法，举例介绍） 函数图像的平移： 例： 平移一单位后，解析式是？ 函数的单调性 则f(x)单增。反之单减。从图像上看，单增的图像在x 的正方向上往上。即

4、例：判断的单调性。（单增） 以后判断函数的单调性还有别的方法，例如利用复合函数地方法和导数地方法。 函数的奇偶性奇函数： ，偶函数：奇函数和偶函数定义域对称。例：函数综合复习题。 1. 1.2 初等函数与复合函数1基本初等函数（要求能做出图像，定义域。注意牢记。） 1）幂函数： ，定义域 以 为例2）指数函数： ，定义域 例如：3）对数函数： 定义域 4）三角函数：，5）反三角函数：，例题：1，做出函数的图像。 2，做出函数的图像。 3，求的定义域。 4，求的定义域。 注意分以及它的奇偶性讨论。 2初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成并可由一个式子表示的函数称为

5、初等函数。如， 不是初等函数。是初等函数。注意，要能区分初等函数和复合函数。例：3复合函数 设定义域为，定义域为，而且，则称为由与复合而成的复合函数，记为（）为与可以复合的条件。如与不能复合。有时，与复合的定义域可能是的定义域的一部分，如与复合得的定义域为为的定义域的一 部分。 单调性相同的函数复合成增函数，单调性不同的函数复合成减函数。 例1. 求下列函数的定义域 4 。分段函数：不同的区间段对应不同的解析式，这时候往往用分段函数来表示。例如1.1.4 常见的经济函数 1 需求函数 Qd=Qd(p) 一般是减函数。 2 供给函数 Qs=Qs(p) 一般是增函数。 3 成本函数 C=C0+C1

6、 C0是固定成本，一般为常数，C1是变动成本，是产量的函数，即C1= C1(q)。4 收入函数 R=pq=qp(q) q为产量,这里价格一般是产量的函数。5 利润函数 L=R-C 1.2 函数的极限 1.2.1极限的概念 1 数列的极限 数列是自变量为自然数的函数，.当时，若 称是的极限，记为 是一个有限的常数。 例：求下列数列的极限 ， ， 数列极限的基本性质 数列若有极限，则极限唯一。 有极限的数列一定有界，有界的数列不一定有极限。无界的数列一定无极限。注：有界例如： ，.都有界但无极限。对第二条简要证明:只需考察当时，是否是个有限数。由 容易得到。 2 函数的极限（1）自变量趋向于无穷时

7、函数的极限例，且时， 时，. 定义：当时，若 称是当时的极限。 记为 是一个有限的常数。例： 求极限 ， ， ， 思考 是否存在？(2) 自变量趋向于某一个有限值时函数的极限 定义3：当时，若 称是当时的极限。 记为 是一个有限的常数例3：求 思考： 是否存在？(3)单侧极限 思考？ 两函数 从左边趋近0和从右边趋近于0时， 从左边趋近0时 从右边趋近于0时 当是从左边趋近时，记为 当是从右边趋近时，记为 定义3 若时 称是在时的左极限。记为 时 称是在时的右极限，记为左极限和右极限统称单侧极限。 在存在极限左右极限存在且相等。即 例2：判断下列函数在是否有极限 1.2.2 极限的运算法则 例

8、4：求下列极限 一般地： 例5：练习 ：， 例6：求极限 ：1.2.3 无穷小量与无穷大量 无穷小量 1 定义：如果当（或）时，函数f(x)的极限为零，称函数f(x)为（或）时的无穷小量，简称无穷小。 定理：若则。其中为时的无穷小. 例： 2 。无穷小性质 性质1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小。 性质2 有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 例： 3 。无穷小的比较 定义 设，为无穷小如果 ，则说是比高阶的无穷小，记作；如果 ，则说是比低阶的无穷小；如果 ，则说与是同阶无穷小；如果 ，则说与是等价无穷小，记作；如果 ，则说是关于的阶无穷小。 无穷小替换方法：若，的极限存在，则的极限等于的极限。注

9、意：替换时无穷小必须是因子。 常用的等价的无穷小量。 , , , 例3 ， 例4 因，故极限为零，解法是否正确？1.2.4 两个重要极限 与 1 夹逼定理和极限 定理： 若在某邻域内 且 ，则存在，且。 证明： 所以 即 由于，得 或 由于为偶函数，故在内，也有。由于当时 由夹逼准则，得 ，由夹逼准则，得 一般地：例1: , , ,3 单调数列极限和若 称数列是单调增数列。称数列是单调减数列。 定理：单调有界数列必有极限。 例2： 是单调增加数列。故 是存在的，令。 显然 定理： 证明：对于任何，存在正整数使得，因此有 由于 得 一般地： 或者 例3： 思考： 2.4 函数的连续性与连续函数的

10、运算 1 函数连续性概念 （1）连续性定义连续性即是当自变量作微小变动时，函数值也相应的做微小变动，体现在函数图象上就是没有断点。 定义.1：当时，若称在连续。即. 显然在连续的充要条件是 若 在定义域内每一点连续，称是连续函数。 例1： 在任意区间内连续。 例.2：讨论 ，和 在x=0的连续性。 2 。函数的间断点如果函数在处不连续，则称为函数的一个间断点。间断点有三种情况： (1) 在处没有定义；(2) 在处没有极限； (3) ；例如在处没有定义；当时没有极限。 当时定义2. 如果是间断点，当在左右极限都存在时，称为第一类间断点。 其余称为第二类间断点。 例3：判断，的间断点是什么类型。

11、例4 ：指出的间断点，及其类型。3.函数在一点连续的性质在连续 例5： ，4.闭区域上连续函数的性质定理1: 最大最小值定理： 在闭区间上连续的函数，在该区间上必有最大值和最小值。定理2：零点定理： 设函数在闭区间上连续，且，则必有，使得。 例6： 证明方程在区间内至少有一个根。定理3（介值定理）设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，即，且，则对于介于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得。证明：令，对应用零点定理，得存在，使得即 或 一 、 课程单元、章节 第三章 导数与微分二 、 教学要求1 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的

12、切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。3 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。4 会求分段函数的一阶、二阶导数，会计算函数的相关变化率。5 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数。三 、重点和难点 1 .点：四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近

13、似计算中的应用。2.点：复合函数的求导法则，隐函数和由参数方程所确定的函数的导数四、教学进度：1导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。2.导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。3.高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。4.分段函数的一阶、二阶导数，会计算函数的相关变化率。5.隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数。五、时数

14、10六、教学方式： 课堂讲解七、作业：教材第48页 1，2，5，11，14八、参考书籍：应用高等数学上， 翟向阳主编， 上海交通大学出版社高等数学盛骤 等编 ，浙江大学出版社九、教学小结：本章主要内容是导数与微分的定义，计算以及应用。微分学有两个基本概念：一个是导数，一个是微分，导数与微分有着密切的联系，她们从不同的角度刻画了两个变量间的某种变化特征。十、教学过程 、内容：3.1 导数概念1引例 (1)直线运动的速度一物体作直线运动，位置与时间的关系为，确定物体在某时刻的速度。从时刻到时刻，物体从运动到，在该时间段内物体运动的平均速度为 物体在时刻的速度定义为 (2)曲线的切线函数的图形一般为

15、一条曲线，确定曲线在点处的切线。在的邻近取一点，则割线的斜率为当点沿曲线趋向于，割线的极限位置称为曲线在点的切线。因此，切线的斜率为 2导数的定义 （1）导数的定义如果记，则相当于，因此 定义3.1 设函数在的某邻域内有定义，当自变量在处取得增量，相应地函数取得增量，如果极限 存在，则说函数在处可导，极限值称为函数在处的导数，记为，即 函数在处的导数也可记为，或如果记，导数也可表示为 及 如果函数在区间内的每一点都可导，则说函数在区间内可导，即对任何，有 为的导函数（简称为的导数），而且（2） 运用定义求导数例1 求函数（为常数）的导数。例2 求函数（）在处的导数。解： 由于 因此得 更一般地

16、，有（为实数）例如 例3.求函数的导数。解： 计算得 3 。导数的几何意义 如果函数在可导，则在的导数值为曲线C：在点处的切线的斜率，即 因此，曲线C：在点处的切线的方程为过曲线C：的切点，与切线垂直的直线称为曲线在点处的法线。如果，曲线C：在点处的法线方程为 例4 求曲线在点处的切线和法线的方程。 例5 求，在任一点的切线和法线方程，并观察函数在极值处的切线和法线 的特点。4、函数可导与连续的关系 定理3.1 函数在可导，则函数一定在连续。证明：因为存在，又 ，=0，故注：定理的逆命题不真，例如，在处不可导； 单侧导数如果极限存在，则称为函数在处的右导数，记为。如果极限存在，则称为函数在处的

17、左导数，记为； 例6：求在x=0的左右导数。 例7：求在x=0的左右导数。显然由极限存在的充要条件可得到：定理3.2：函数在处可导的充要条件是函数在的左右导数存在且相等。 例8：判断函数 在x=0的可导性。练习：判断在x=0的可导性。3.2导数的运算1 。 初等函数的导数公式 (1) , (2) ,(3) , (4) ,(5) , (6) , (7) , (8) ,(9), (10) (11), 2 。函数的和、差、积、商的求导法则 定理3.3 如果函数及都在点具有导数，则(1) ；(2) ；(3) ()。证明：(2) 例1 求下列函数的导数(1) ， (2)，(3) 3 。复合函数的导数 对

18、于复合函数，如 ，有求导法则，称为链式法则。定理3.4 如果在点可导，在点可导，则复合函数在点可导，且导数为 或 证明：可导，故时必有， 例2 求下列函数的导数 (1) (2) (3) (4) (5) 4 。隐函数的导数 一般地，方程可确定一个函数或，称为由方程确定的隐函数。现在来求隐函数的导数，通过例子来说明。例3.2.3 设是由方程确定的隐函数，求。解：由于由方程确定，得 两边对求导数，得 解得 练习：设由方程确定，求解：方程两边对求导数，得 解得由于时，得 例4 求（）的导数。解：两边取对数，得 两边对求导数，得解得 一般情况，对于幂指函数：（）求导数的方法为：先取对数，得 对求导数，得

19、 解得 以上求导数方法称为对数求导法。5 。高阶导数 对于路程函数，为速度，为加速度，为二阶导数，记成。对于一般函数，称为的二阶导数，记成， 或，记 类似，可定义三阶导数、四阶导数乃至于阶导数，即 称为一阶导数，二阶以及二阶以上导数都称为高阶导数。例.5 设，求解：， 例6 ，求思考： 1 设，求2 设，求3. 4 微分1微分的概念边长为的正方形的面积 ，如果边长从增加到时，面积的增量为 包含两部分，和。相对比较比小得多，而且 这样，当很小时，而且。对于一般的函数，当自变量从增加到时，函数增量定义： 设函数在某区间内有定义，及属于。如果函数的增量可表为 其中为与无关的常数，则说函数在处是可微的

20、，称为函数在处的微分，记为，即下面论述函数在处是可微的条件。定理3.9 在处是可微当且仅当它在可导。 证明：如果函数在处是可微，则 即因此 即函数在处是可导，而且。反之，如果函数在处是可导，即 因此得 为时的无穷小。即 综上，函数在处是可微等价于函数在处是可微，而且。特别地，函数的微分为。因此，函数的微分为 例1 求函数在和的微分例2 求函数当，时的微分2微分的几何意义设函数，当自变量从增加到，相应的函数增量为 如图，函数在处的微分为曲线的切线当从增加到时的增量，即 3 参数方程所确定的函数的导数一般情况，平面曲线的参数方程 例3 设 ，求例4 求椭圆曲线在相应点的切线方程。练习：计算摆线 的

21、二阶导数。 特别对一元函数有：常用的近似公式： 一 、程单元、章节 第四章 导数的应用二 、教学要求1 了解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理。2 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值与最小值的求法及其简单应用。3 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数图形。4握用洛比达法则求未定式极限的方法。三、重点和难点 1 重点：洛比达法则求未定式极限，理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值与最小值的求法及其简单应用。2 难点：会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的

22、水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数图形四、教学进度：按教学要求的过程五、课时数 6六、教学方式：课堂讲解七、作业：教材第66页 1，3，5，6八、参考书籍：应用高等数学上， 翟向阳主编， 上海交通大学出版社高等数学盛骤 等编 ，浙江大学出版社九、教学小结：本章学习的三个中值定理是微分学的理论基础。掌握函数单调性的判定是本章的重点。十、教学过程及内容：4.1中值定理1.罗尔定理费马引理 设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对于任意的，有 （或）则。证明：不妨设时，。于是，对于，有 从而当时 故 当时，故 由于在处可导，故罗尔定理 如果函数满足(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可微

23、；(3) 在区间端点处的函数值相等，即，则至少存在一点，使得。证明：由于在闭区间上连续，故在取得其最大值和最小值。分两种情况：(1) 如果，则在上为常数，故。这样，任取，都有。(2) 如果，则最大值与最小值至少有一个不等于在区间端点处的函数值。不妨设，因此至少存在一点，使得。因此，对于任何，都有 ，由费马引理。例4.1.1 在0,1上 是否满足罗尔定理条件。例4.1.2 ，在取间上是否满足 ？ 2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数满足（1）在闭区间上连续；(2) 在开区间内可微，则至少存在一点，使得 (1)或 证明：构造辅助函数 在上满足罗尔定理的条件，故至少存在一点，使得。又由于故

24、 即 公式(1)称为拉格朗日中值公式。关于拉格朗日中值公式，有以下几点说明：(1) 如果，则，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例。(2) 当时，公式(1)也成立。(3) 如果在上满足拉格朗日中值定理条件，有，介于与之间或 （） (2)公式(2)称为有限增量公式。定理 如果函数在区间上的导数恒为零，则在区间上是一个常数。证明：任取，由拉格朗日中值定理 由于，故。由于，的任意性，得在区间上是一个常数。例4.1.3 证明当时 证明：令，在上应用拉格朗日中值定理，得 由于 得 例4.1.4：证明:若,则3、柯西中值定理（略）如果曲线由参数方程表示，即： 则但是，弦的斜率为因此，在点有注意，当时，柯西中

25、值定理便转化为拉格朗日中值定理。4.2 洛必达法则 4.2.1 罗必塔法则（）型 定理：若函数和满足： （1） （2），在的某去心邻域存在，且 则 证明：设，在的去心邻域O存在，即,和在连续，在可导。由拉格朗日中值定理得到：存在 使，故 让，这时，则 ， , 而 故，例4.2.1求下列极限 ， ，4.2.1 罗必塔法则（）型 定理：若函数和满足： （1） （2），在的某去心邻域存在，且 则 例4.2.2 求下列极限 ， ，4.3函数的单调性4.3.1一元函数的单调性定理：在上可导，则在单增， 在单减证明：取 ，由 可得结论。 例4.3.1 试证： 在单增。 例4.3.2 求的单调区间。思考：用

26、单调性证明:若,则 证明：，时 时，4.4 函数的极值与最大、最小值1函数的极值例 在点的左侧邻近，单调增加；在点的左侧邻近，单调减少，即存在的去心邻域，时，使得。同理，对于点，存在的去心邻域，时，使得。定义 设函数在点某邻域内有定义，如果对于任何，有 （或）则称为的一个极大值（极小值）。极大值、极小值都称为函数的极值，使得函数取得极值的点称为极值点。定理1（必要条件）设函数在处可导，且在处取得极值，则。定理2（第一充分条件）设函数在处，且在某去心邻域内可导，（1）若时，而时，则在处取得极大值；（2）若时，而时，则在处取得极小值；（3）若时，的符号保持不变，则在处没有极值。如果某区间内连续，除

27、个别点外处处可导，求在该区间内极值点和极值的方法如下：（1）求出导数（2）求出的全体驻点与不可导的点；（3）考察的符号在每个驻点和不可导的点的左、右邻近的符号，以确定该点是否为极值点，如果是极值点，是极大值点还是极小值点；（4）对于极值点，求出极值。例4.3.3 求函数的极值。解：；（）， 在内，内，。 故在达极大值。 定理3（第二充分条件）设函数在处具有二阶导数且，则（1）当时，函数在处取得极大值；（2）当时，函数在处取得极小值。证明：由于 由极限的保号性，存在的邻域，使得 即 即在的两侧改变符号，且由正变负，故在处取得极大值。例1求函数的极值。解：，令 ，得驻点为，。计算得 由于，故为极小

28、值。因为，故需用第一充分条件，得，都不是极值点。练习：求的极值。4.5函数的凹凸性及拐点 以下考虑函数二阶可导。 定理：在区间内，若，则在上凹，若，则在 下凹。上凹和下凹的分界点称为拐点，显然若是拐点，则4.6函数图形的描绘渐近线： 定义：，称为垂直渐近线。称为水平渐近线。 例如：的垂直渐近线为，的垂直渐近线 的水平渐近线为 利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：（1）确定函数的定义域及函数所具有的特性（奇偶性，周期性），并求出，；（2）求出和在定义域内的全部零点及的间断点和、不存在的点，并用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间；（3）确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数图形在这些区间

29、的升降和凸凹，极值点和拐点；（4）确定函数图形的水平、铅直渐近线及其他变化趋势；（5）算出和的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出函数图形上相应的点，有必要时在补充一些点，结合（3）和（4）的结果，联结这些点画出函数的图形。例.1 画出函数的图形。解：（1）函数的定义域为， ， ；（2）的零点为和，的零点为，用，和把定义域分成，；（3）在内，所以在上图形是上升且凸的，在内，所以在上图形是下降且凸的，在内，所以在上图形是下降且凹的，在内，所以在上图形是上升且凹的，列成表格为+00+0+图形上升凸极大值下降凸拐点下降凹极小值上升凹（4）当时，；当时，故没有渐近线；（5）算出 ，得到图形上三个点为

30、，再补充一些点为，结合（2），（3）画出函数的图形为4.4 函数的最值及其应用最大值最小值问题例1：求函数在的最大值和最小值。例2：做一个容积为V的有盖的圆柱形桶，问底半径和高为多少时，用料最少？ （就是使表面积最少）BMA例3：如图修一条公路，将工厂A的商品运到M然后改用水运最后送到B，已知水路运费为每吨6元, 公路为每吨10元，确定M的位置，使运费最少。 .一 、 课程单元、章节 第五章 不定积分二、 教学要求1 理解原函数的概念和不定积分的概念。2 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法。3 会求简单的有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。4 会利

31、用积分表计算不定积分。三、重点和难点 1 重点：原函数的概念和不定积分的概念，不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法。2 难点：换元积分法与分部积分法。四、教学进度：按教学要求的过程。五、课时数 8六 、教学方式： 课堂讲解七、作业：教材第77页 1，2，4，5 八、参考书籍：应用高等数学上， 翟向阳主编， 上海交通大学出版社高等数学盛骤 等编 ，浙江大学出版社九、教学小结：理解不定积分的概念，熟练记忆积分基本公式，掌握各种积分法的适用范围。对于积分方法尽量选择简单的方法。但是在积分方法的选择上学生较吃力。十、教学过程及内容：5.1 不定积分的概念1 原函数与不定积

32、分 定义1 如果对任一，都有 或 则称为在区间I 上的原函数。例如：，即是的原函数。 ，即是的原函数。原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。注1：如果有一个原函数，则就有无穷多个原函数。设是的原函数，则，即也为的原函数，其中为任意常数。注2：如果与都为在区间I 上的原函数，则与之差为常数，即 （C为常数）注3：如果为在区间I 上的一个原函数，则（为任意常数）可表达的任意一个原函数。定义2 在区间I上，的带有任意常数项的原函数，成为在区间I上的不定积分，记为。如果为的一个原函数，则 ，（为任意常数）例1 .因为 ， 得

33、例2. 因为，时，；时，得 ，因此有显然由原函数与不定积分的概念可得：1)2)3)4)5)5.2不定积分的基本积分公式及性质1.不定的基本积分公式1) (为常数)2) ()3) 4) 5) 6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)例35.3.4不定积分的性质性质1性质2，（为常数，）例5.3.4 求例5.3.5 求解： 例1. 求解：例2求解：例3求解：例4 求解：5.3积分法1 第一类换元法 设为的原函数，即 或 如果 ，且可微，则 即为的原函数，或 因此有定理 设为的原函数，可微，则 (2-1)公式(2-1)称为第一类换元积分公式。例1 求 解：例2 求 解：例3 求 解：原式

34、= 类似可得 例4 求 ， 解：例5 求 解： 例6 求 解： 例7 求 解： 例8 求 解： 例9 求 解 由于因此得 例10 求 解： 例11 求 解 由于因此例12 求 解 2第二类换元积分法定理 设是单调的可导函数，且，又设 具有原函数，则 (2-2)其中为的反函数。公式(2-2)称为第二类换元积分公式。例13 求 ， 解：令 ，则 ，因此有 例14 求 ，解：令 ，则 ，因此有 其中。例15 求 解 当 时，设 ，则因此又由于，得其中。当时，令，则，因此其中 。综合得 例16 求 解： 3分部积分法设 ，则有 或 两端求不定积分，得 或 即 (3-1)或 (3-2)公式 (3-1)

35、或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。例1 求 解： 例2 求 解： 注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为，其余部分取为。例3 求 解： 例4 求 解： 注2：由例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为，其余部分取为。 例5 求 解： 因此得 即 例6 求 解： 令 ，则 ，因此 例7 求 解： 移项，得即例8 求，其中为正整数。解 用分部积分法，当时，有 即注意到递推可得。.一 、课程单元、章节 第六章 定积分二 、教学要求1

36、理解定积分的概念。2 理解变上限定积分定义的函数及其求导定理，掌握变上限定积分求导，掌握牛顿-莱布尼茨公式。3 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。三、重点和难点1 重点：定积分的概念，牛顿-莱布尼茨公式，求平面图形的面积2 难点：换元积分法与分部积分法。四、教学进度：按教学要求的过程五 、课时数 12六 、学方式： 课堂讲解七、作业：教材第88页 3八、参考书籍：应用高等数学上， 翟向阳主编， 上海交通大学出版社高等数学盛骤 等编 ，浙江大学出版社九、教学小结：定积分概念的理解，对于我们解决一些问题是十分有帮助的。它的思想方法在很多领域是值得借鉴的。所以学生应多读几

37、遍。其中牛顿-莱布尼兹公式揭示了定积分和不定积分之间的关系。学生学起来比较吃力，还是能做基本练习。十、教学过程及内容：6.1定积分的概念1、定积分问题举例：1、 曲边梯形面积设在 上非负，连续，由直线，及曲线所围成的图形，称为曲边梯形。求曲边梯形的面积。在区间中任意插入若干个分点把分成个小区间， ,它们的长度依次为 经过每一个分点作平行于轴的直线段，把曲边梯形分成个窄曲边梯形，在每个小区间上任取一点，以为底，为高的窄边矩形近似替代第个窄边梯形（），把这样得到的个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积的近似值，即 =设时，可得曲边梯形的面积2、 变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间

38、隔上的连续函数，且，计算在这段时间内物体所经过的路程在内任意插入若干个分点把分成个小段， 各小段时间长依次为相应各段的路程为在上任取一个时刻，以时的速度来代替上各个时刻的速度，则得 进一步得到 =设时，得6.1.2、定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积，路程.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 把区间a,b分成个小区间 各个小区间的长度依次为.在每个小区间上任取一点),对应函数值为作小区间长度与的乘积并作出和 .记,如果不论对怎样分

39、法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时，和式S总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分), 记作,即 =,其中叫做被积函数, 叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限, 叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即： 函数可积的两个充分条件：定理1 设在上连续，则在上可积。定理2 设在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积。 几何意义：表示各个曲边梯形正负面积的和。 例1：若是奇函数， 0 6.2定积分的性质性质1 函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即证明： = =性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即 (是常数)性质3 如果

40、将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设 ，则注意：我们规定无论的相对位置如何，总有上述等式成立。性质4 如果在区间 上，则性质5 如果在区间上， 证明：因故，又因，故设，时，得 。推论1 如果在上，则 推论2 性质6 设与分别是函数在上的最大值及最小值，则 6.3定积分基本公式及积分法1 积分上限的函数及其导数设在上连续，并且设为上任一点，设 函数具有如下性质：定理1 如果函数在区间上连续，则积分上限函数在上具有导数，并且它的导数是 = （）证明：(1) 时， = =在之间时，有 (2) 其单侧导数，可得 ，由定理1可得下面结论定理 如果函数在区间上连续，

41、则函数 是的一个原函数。积分上限函数的几何意义如图所示2、牛顿莱布尼茨公式定理 如果函数是连续函数在区间上的一个原函，则证明：因与均是原函数，故 = （）令，得=即 =或 令，得 (1)为方便，可记作公式(1)称为牛顿莱布尼茨（NewtonLeibniz ）公式，或微积分基本公式。例.1 例.2 计算 解：=例3 解：例.4 计算 在上与轴所围成平面图形的面积。解：6.4定积分的应用1.平面图形的面积 由曲线 及直线 与 ( ) 与 轴所围成的曲边梯形面积。 其中：为面积元素。由曲线 与 及直线 ，( )且所围成的图形面积。 其中： 为面积元素。例1 计算抛物线与直线所围成的图形面积。解：1、先画所围的图形简图解方程 , 得交点： 和 。例2 求椭圆所围成的面积 。解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。取为积分变量，则 ， 故 ( * )作变量替换 则