力学6刚体力学2

1、15.5 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系一一. 力矩的功力矩的功 力矩的空间积累效应：力矩的空间积累效应：)d(cosd rFW d)cos( rF dM 力矩的功：力矩的功： 21 dMW d zx 轴轴rF 2二二. 定轴转动动能定理定轴转动动能定理 21d MW21dddIt21dI22211122II212kEI 令令转动动能：转动动能：2211v22iiIm（可证：） 书P178刚体定轴转动刚体定轴转动动能定理：动能定理：12kkEEW ）（ kE （飞轮储能）（飞轮储能）3三三. 刚体的重力势能刚体的重力势能 iipghmEmhmmgii Cmgh 四四. 应用举例应用举

2、例 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能对于包括刚体的系统，功能原理和机械能ChChiEp= 0mi守恒定律仍成立。守恒定律仍成立。4【例例】转轴光滑，初态静止，求下摆到转轴光滑，初态静止，求下摆到 角时的角加速度，角速度，转轴受力。角时的角加速度，角速度，转轴受力。5解：解：刚体定轴转动刚体定轴转动1、受力分析受力分析2、关于关于O轴列轴列转动定理转动定理213OImlmgloM cos2 OOMI3 cos2gl6,tdd由由 求求 ：tddt ddd3 cos,2gllg sin3 00 dd sin23212lg 7 2212llan nnmamgN sin（1） 平动：平动：质心运动

3、定理质心运动定理nN sinmgNn25 3、求转轴受力求转轴受力8,CCCOMI（2） 转动：转动：关于质心轴列转动定理关于质心轴列转动定理tN cosmgNt41 21,122CtClMNIml为什么？为什么？9用机械能守恒重解：用机械能守恒重解： 转轴光滑，初态静止，求下摆到转轴光滑，初态静止，求下摆到角角时的角加速度，角速度。时的角加速度，角速度。103 sin3 cos2gldgdtl解解：杆机械能守恒杆机械能守恒比用转动定律简单！比用转动定律简单！势能零点势能零点绕固定轴绕固定轴转动动能转动动能2210sin2213lmgIIml11杆动能的另一种表达：杆动能的另一种表达：科尼西定

4、理科尼西定理势能零点势能零点质心动能质心动能绕过质心轴绕过质心轴转动动能转动动能222110sin2222112ccllmgmIIml12两个同样大小（两个同样大小（R），同样质量（），同样质量（M）的球（或圆柱），）的球（或圆柱），一个空心对称（金），一个实心（银），外观上无差别，一个空心对称（金），一个实心（银），外观上无差别，怎样在不破坏外观的前提下区分出它们？怎样在不破坏外观的前提下区分出它们？让它们滚起来！滚得快的是实心！让它们滚起来！滚得快的是实心！135.6 刚体的无滑动滚动刚体的无滑动滚动 瞬时转轴瞬时转轴（补充）（补充）1、平面平行运动平面平行运动只考虑圆柱，球等只考虑圆柱，

5、球等轴对称刚体轴对称刚体的滚动。的滚动。质心做平面运动绕过质心垂直轴做转动质心做平面运动绕过质心垂直轴做转动2、无滑动滚动：、无滑动滚动：RCpcvca 任意时刻接触点任意时刻接触点P 瞬时静止瞬时静止CCvRaR无滑动滚动条件：无滑动滚动条件：【思考思考】下一时刻下一时刻P点位置？点位置？14Cmafmg sin转动惯量小的滚得快！转动惯量小的滚得快！质心运动定理质心运动定理过质心轴转动定理过质心轴转动定理纯滚动条件纯滚动条件（运动学条件运动学条件）2sinCmgRmRI【例例】两个质量和半径两个质量和半径都相同，但转动惯量不都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作同的柱体，在斜面上作无滑动

6、滚动，哪个滚得无滑动滚动，哪个滚得快？快？ mgfRCCRfICaRxy153、轴对称、轴对称刚体无滑动滚动刚体无滑动滚动中的瞬时转轴中的瞬时转轴CpABDEFv 时刻时刻t 接触点接触点P 瞬瞬时静止；时静止； 在时间在时间( (tt+ t) )内内，以以P点为原点点为原点建立平动坐标系；建立平动坐标系； 时间时间( (t t+ t) )内，内，刚体的运动（质心平动、刚体的运动（质心平动、绕质心轴转动）可以看成：绕质心轴转动）可以看成：绕过绕过 P 点且垂直于点且垂直于固定平面的转轴的无滑动滚动（旋转）。固定平面的转轴的无滑动滚动（旋转）。接触点接触点P ：瞬时转轴瞬时转轴瞬时转动中心瞬时转

7、动中心16绕绕瞬时转轴的转动定理的形式？瞬时转轴的转动定理的形式？ 虽然虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了点瞬时静止，但有加速度，所以除了力矩力矩Mp外，还外，还应考虑惯性力矩。应考虑惯性力矩。 下面证明：下面证明：对于无滑动滚动的对于无滑动滚动的轴对称刚体，轴对称刚体，接触点接触点p的加速度沿过的加速度沿过p点的半径方向，因此，点的半径方向，因此，关于过关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。点的转轴，惯性力矩等于零。 惯性力作用在质心上，方向与惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度点的加速度方向相反。方向相反。ppMI:pI关于过关于过p点转轴的转动惯量点转轴的转动惯量轴对称刚体，绕轴对称刚

8、体，绕瞬时转轴的转动定理：瞬时转轴的转动定理：17证明：证明：pCpaaa :pap点相对惯性系的加速度点相对惯性系的加速度:pa p点相对质心的加速度点相对质心的加速度RCpcvca pnptpaaa 按切、法向分解按切、法向分解：无滑动滚动：无滑动滚动：,Cptvv Cptaa pnptCpaaaa p点加速度沿半径方向点加速度沿半径方向appna pnCCaaa 过过p点转轴惯性力矩等于零点转轴惯性力矩等于零18【例例】两个质量和半径两个质量和半径都相同，但转动惯量不都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚得无滑动滚动，哪个滚得快？快？关于瞬转轴列转

9、动定理重解：关于瞬转轴列转动定理重解： mgfRCpsinpmgRI2CpIImR2sinCmgRImR简单多了！简单多了！195.7 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律和角动量守恒定律讨论讨论力矩对时间的积累效应。力矩对时间的积累效应。质点系：质点系：对点：对点：，外外 tLMdd 1221dLLtMtt 外外对轴：对轴：zttzzLLtM1221d 外外刚体：刚体：zzLI2121dtzzztMtII外刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理200 const.zzMI外，则 正、负不变正、负不变大小不变大小不变刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体定轴

10、转动的角动量守恒定律：对刚体系，对刚体系， M外外z = 0 时，时， ，const.iziI 此时角动量可在系统内部各刚体间传递，此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。21滑冰运动员的旋转滑冰运动员的旋转22lTFmg转转动动正正向向mglmglMsinsin5，时时动力学分析：动力学分析：lgt22ddOAm22ddmglIt2Iml 一一 单摆单摆5.8 单摆和复摆单摆和复摆23)cos(mtlg2令令2/2lTg222ddtlgt22ddlTFmg转转动动正正向向OAm2Iml24二二 复摆复摆22ddmglIt2m

11、glI令令)5(*lP（C点为质心）点为质心）转动正向转动正向COFlM22sinddMmglIIt 222ddt 书书P17925222ddt)cos(mt2ITmgl简谐振动简谐振动22mglIITmgl*lP（C点为质心）点为质心）转动正向转动正向CO26 5.9 打击中心（center of percussion）质心质心质心打击中心打击中心打击中心向左动向右动静止在光滑的水平细杆上悬挂一金属棒，用锤子敲击下部，观察其运动27 例 以水平力F打击悬挂在O点的长l的匀质细杆，打击点为P。若打击点选择合适，则打击过程中轴对细杆的切向力F切为0，该点称为打击中心。求打击中心到轴的距离d。Fd

12、OP细杆在水平力矩作用下作定轴转动FdI213Iml质心切向加速度细杆相对O点的转动惯量lraCC21切质心切向运动方程切切CmaFF0切F切F23cIdlmr法F切向力为零打棒球打棒球锤子锤子28 5.10 刚体的平衡29在某一时刻，刚体静止。若刚体所受外力之和为零，则刚体的质心不动。若刚体所受外力矩之和为零，则刚体无转动。刚体的平衡条件刚体的平衡条件00iiiiiFrF3031旋进：旋进： 5.11 旋进旋进 （进动）（进动）如玩具陀螺的运动：如玩具陀螺的运动：轴转动的现象。轴转动的现象。高速旋转的物体，其自转轴绕另一个高速旋转的物体，其自转轴绕另一个32 p2 p1m2m1 r2m1 r

13、1 L2 L1 L Oz点的点的 不平行于不平行于 。L 若质量对转轴分布对称，若质量对转轴分布对称，轴轴 LzzLL kI（对点）（对轴） 下面我们就讨论这种下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称质量对转轴分布对称对转轴不对称，对转轴不对称，的刚体的旋进问题。的刚体的旋进问题。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。例如，图示的情形：例如，图示的情形：质量质量则：则：则对轴上则对轴上O33MdLmgOLtLMdd 。 MtMLdd LM LL d从而产生旋进运动。从而产生旋进运动。L玩具陀螺的旋进：玩具陀螺的旋进：只改变方向而不改变大小，只改变方向而不改变大

14、小，34sinsinMMLI 90 MI当时 ， sinLd LOLd 旋进角速度：旋进角速度：tdd tMLLddsind ， 1 35 地球转轴的旋进，岁差地球转轴的旋进，岁差 随着地球自转轴随着地球自转轴的旋进，北天极方的旋进，北天极方向不断改变。向不断改变。北极星北极星3000年前年前 小熊座小熊座 现在现在 小熊座小熊座 12000年后年后 天琴座天琴座 （织女）（织女）T = 25800年年 C1C2F1F2太阳太阳赤道平面赤道平面黄道平面黄道平面7223o 地球地球北北天天极极地轴地轴L地球自转角动量地球自转角动量（F1F2 ） M地球自转轴旋进地球自转轴旋进36地轴地轴旋进旋进

15、旋进周期旋进周期25800年年 秋分点秋分点春分点春分点西西分点每年在黄分点每年在黄道上道上西移西移50.2 太阳年（回归年）：太阳年（回归年）：太阳由春分太阳由春分秋分秋分春分春分恒星年（时间长）：恒星年（时间长）： 地球绕太阳一周的时间地球绕太阳一周的时间岁差岁差（precession）岁差岁差 = 恒星年恒星年 太阳年太阳年 = 20分分23秒秒北半球北半球南半球南半球黄道面黄道面赤道面赤道面 太阳太阳东东37我国古代已发现了岁差：我国古代已发现了岁差：每每50年差年差1度（约度（约72 /年）年） 前汉（公元前前汉（公元前206 23）刘歆发现岁差。刘歆发现岁差。晋朝（公元晋朝（公元2

16、65 316） 虞喜最先确定了岁差：虞喜最先确定了岁差：将岁差引入历法：将岁差引入历法：391年有年有144个闰月。个闰月。祖冲之（公元祖冲之（公元429 500）编编大明历大明历最先最先（精确值为（精确值为50.2 /年）年）38刚体定轴转动与质点一维运动的对比刚体定轴转动与质点一维运动的对比位移位移x 角位移角位移 速度速度dtdxv 角速度角速度dtd 加速度加速度22dtxddtdva 角加速度角加速度22dtddtd 质点一维运动质点一维运动刚体定轴转动刚体定轴转动质量质量m转动惯量转动惯量2Ir dm力力F力矩力矩FrM 运动定律运动定律amF 转动定律转动定律MI动量动量vmp 动量动量质心质心vmp 角动量角动量prL 角动量角动量iLI动量定理动量定理1221mvmvFdttt 角动量定理角动量定理2121ttMdtII动量守恒定律动量守恒定律时时 0 F恒量恒量 iivm角动量守恒定律角动量