111任意角1朱克锋

1、1.1 1.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 1.1.1 1.1.1 任意角任意角第一章第一章 三角函数三角函数 高中新课程数学必修高中新课程数学必修“程菲跳”“踺子后手翻转体180度接前直空翻540度”跳水运动员身体在空中划过优美的弧线体操是力与美的合，体操是力与美的合，也充满了角的概也充满了角的概念念2002年年11月月22日，日，在匈牙利德布勒森举在匈牙利德布勒森举行的第行的第36届世界体操届世界体操锦标赛中，锦标赛中，“李小鹏李小鹏跳跳”“踺子后手翻踺子后手翻转体转体180度接直体前度接直体前空翻转体空翻转体900度度”，震惊四座震惊四座. 观察主动轮和从动轮的旋转方向主动轮和从动轮的

2、旋转方向主动轮和从动轮的旋转方向相反相反问题提出问题提出角是平面几何中的一个基本图形，角是可以角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的度量其大小的. 过去我们学习了过去我们学习了0360范围角，但在实际问题中还会遇到其他范围角，但在实际问题中还会遇到其他角如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛角如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到中，常常听到“转体转体1080 ”、“转体转体1260 ”这样的解说再如钟表的指针、拧动螺丝这样的解说再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是向旋转所成的角，不全是036

3、0 范围内范围内的角的角.因此，仅有因此，仅有0360范围内的角是不范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广够的，我们必须将角的概念进行推广. 知识探究（一）：知识探究（一）：角的概念的推广角的概念的推广 图图2 2图图1 1思考思考1：对于角的图形特点有如下两种认识：对于角的图形特点有如下两种认识：角是由平面内一点引出的两条射线所组成角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图的图形（如图1）；）；角是由平面内一条射线绕其端点从一角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形个位置旋转到另一个位置所组成的图形（如图（如图2）.你认为哪种认识更科学、合你认为哪种认

4、识更科学、合理？理？思考思考2 2：如图，一条射线的端点是如图，一条射线的端点是O O，它，它从起始位置从起始位置OAOA旋转到终止位置旋转到终止位置OBOB，形成，形成了一个角了一个角，其中点，其中点O O，射线，射线OAOA、OBOB分别分别叫什么名称？叫什么名称？A AOB B始边始边终终边边顶点顶点思考思考3 3：在齿轮传动中，被动轮与主动轮在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的是按相反方向旋转的. .一般地，一条射线一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转转，也可以按顺时针方向旋转. .你认为将你认为将一条

5、射线绕其端点按逆时针方向旋转一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60600 0所形成的角，与按顺时针方向旋转所形成的角，与按顺时针方向旋转60600 0所所形成的角是否相等？形成的角是否相等？ 思考思考4 4：为了区分形成角的两种不同的旋为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？吗？ 规定：规定：按按逆时针逆时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做正角正角，按按顺时针顺时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做负角负角如果一条射线没有作任何旋转，则称它如果一条射线没有

6、作任何旋转，则称它形成了一个形成了一个零角零角. .画角的步骤画角的步骤: :(1)(1)画角的始边画角的始边(2)(2)确定角的旋转方向确定角的旋转方向(3)(3)确定角的旋转量确定角的旋转量(4)(4)画出角的终边，并用带画出角的终边，并用带箭箭头头的螺旋线加以标注的螺旋线加以标注. . B B2 2A AB B1 1O O思考思考5 5：度量一个角的大小，既要考虑旋转方度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小范围就扩展到了任意大小. . 对于对于210210， 150150，660660，你能用图形

7、表示这，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？些角吗？你能总结一下作图的要点吗？ 思考思考6 6：如果你的手表慢了如果你的手表慢了2020分钟，或快分钟，或快了了1.251.25小时，你应该将分钟分别旋转多小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？少度才能将时间校准？ 120120，450450. .思考思考7 7：任意两个角的数量大小可以相加、任意两个角的数量大小可以相加、相减，如相减，如 50508080=130=130， 50508080= =3030，你能解释一下这两个式，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？子的几何意义吗？ 以以5050角的终边为始边，逆时针（或顺角

8、的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转时针）旋转8080所成的角所成的角. . 思考思考8 8：一个角的始边与终边可以重合吗？一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？如果可以，这样的角的大小有什么特点？ k k360360（kZkZ） 知识探究（二）：知识探究（二）：象限角象限角 思考思考1 1：为了进一步研究角的需要，我们常在为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使直角坐标系内讨论角，并使（1 1）角的顶点与原点重合）角的顶点与原点重合（2 2）角的始边与）角的始边与x x轴的非负半轴重合，轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些那么对

9、一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？位置？ xoy思考思考2 2：如果角的终边在第几象限，我们如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是就说这个角是第几象限的角第几象限的角；如果角的；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限（称这个角为任何象限（称这个角为轴线角轴线角）. .那么下列各角：那么下列各角：-50-50，405405，210210, -, -200200，450450分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？50 xyoxyo210450 xyo405xyo200 xyo思考思考3 3：锐角与第一象限的角是什么关系？锐角与第一象限的角是什么

10、关系？钝角与第二象限的角是什么关系？直角钝角与第二象限的角是什么关系？直角与轴线角是什么关系？与轴线角是什么关系？思考思考4 4：第二象限的角一定比第一象限的第二象限的角一定比第一象限的角大吗？角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小能反映角的大小. 思考思考5 5：在直角坐标系中，在直角坐标系中，135135角的终角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定边在什么位置？终边在该位置的角一定是是135135吗？吗？xyo知识探究（三）：知识探究（三）：终边相同的角终边相同的角 思考思考1 1：3232，328328，392392是第几是第几象限

11、的角？这些角有什么内在联系？象限的角？这些角有什么内在联系？32392xyo o3283280=-320+36003920=-3203600=-320+1x3600 =-3201x3600 -320= =-320+0 x3600-320+2x3600 , -3202x3600 -320+3x3600 , -3203x3600 , ,与与-320终边相同的角的一般形式为终边相同的角的一般形式为 -320KX3600，K Z与与终边相同的角的一般形式为终边相同的角的一般形式为K3600，K Z思考思考2 2：与与3232角终边相同的角有多少个？角终边相同的角有多少个？这些角与这些角与3232角在数

12、量上相差多少？角在数量上相差多少？ 思考思考3 3：所有与所有与3232角终边相同的角，角终边相同的角，连同连同3232角在内，可构成一个集合角在内，可构成一个集合S S，你能用描述法表示集合你能用描述法表示集合S S吗？吗？ S=|S=|=k k360360，kZkZ ，即任，即任一与一与终边相同的角，都可以表示成角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和与整数个周角的和. .思考思考4 4：一般地，所有与角一般地，所有与角终边相同的终边相同的角，连同角角，连同角在内所构成的集合在内所构成的集合S S可以怎可以怎样表示？样表示？ 思考思考5 5：终边在终边在x x轴正半轴、负半轴，轴正半

13、轴、负半轴，y y轴轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ x轴正半轴：x轴负半轴：y轴正半轴：y轴负半轴：思考思考6 6：终边在终边在x x轴、轴、y y轴上的角的集合分轴上的角的集合分别如何表示？别如何表示？ 终边在x轴上：终边在y轴上：= k360，kZ ；= 180k360，kZ ；= 90k360，kZ ；= 270k360，kZ .S=|=k180，kZ；S=|=90k180， kZ. 思考思考7 7：第一、二、三、四象限的角的集第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？合分别如何表示？ 第一象限：第一象限：第二象限：第二象限：第三象限：第三象限：

14、第四象限：第四象限：S= | k360 90k360，kZS= | 90k360 180k360，kZS= | 180k360 270k360，kZS= | 90k360 k360，kZ思考思考8 8：如果如果是第二象限的角，那么是第二象限的角，那么22、/2/2分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？9090k k360360180180k k360360180180k k720720 23602360k k7207204545k k180180/290/290k k180180知识应用知识应用 例例1 1 在在0 0360360范围内，找出范围内，找出与与9509501212角终边相同的角

15、，并判角终边相同的角，并判定它是第几象限角定它是第几象限角. . 例例2 2 写出终边在直线写出终边在直线y=xy=x上的角的集上的角的集合合S S，并把，并把S S中适合不等式中适合不等式-360-360 720720的元素写出来的元素写出来. . 知识应用知识应用 例例1 1 在在0 0360360范围内，找出范围内，找出与与9509501212角终边相同的角，并判角终边相同的角，并判定它是第几象限角定它是第几象限角. . 129 1294848，第二象限角，第二象限角. .S=|S=|=45=45k k180180，kZkZ.315315，-135-135，4545，225225，405

16、405，585585. . 例例2 2 写出终边在直线写出终边在直线y=xy=x上的角的集上的角的集合合S S，并把，并把S S中适合不等式中适合不等式-360-360 720720的元素写出来的元素写出来. . 课堂练习课堂练习3.已知角的顶点与直角坐标系的原点已知角的顶点与直角坐标系的原点重合重合, ,始边与始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合, ,作出作出下列各角下列各角, ,并指出它们是第几象限角并指出它们是第几象限角: :(1)420(1)420 (2)-75 (2)-75 (3)855 (3)855 (4)-510(4)-510855 420-75-510练习练习4.4.在

17、在0 0360360范围内找出与下列各范围内找出与下列各角终边相同的角角终边相同的角, ,并指出它们昌第几并指出它们昌第几象限的角象限的角: :(1)-54(1)-5418 ;18 ;(2)395(2)3958;8;(3)-1190(3)-119030.30.(1)-5418+360=30542(2) 3958-360=358(3)-119030+4360=24930练习练习5.5.定出与下列各角终边相同的角的集定出与下列各角终边相同的角的集合合, ,并把集合中适合不等式并把集合中适合不等式- -720720360360的元素写出来的元素写出来: :(1)1303(1)130318;18;(2)-225(2)-225. .(1)S=22318+k360,kZ(2)S=135+k360,kZ小结作业小结作业1.1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值角的概念推广后，