23函数的单调性 (2)

1、Oxy1xy11Oxy2x2y21Oxyx2xy221yOxx1y 同学们能用数学语言把上面函数图象上升或下降的特征同学们能用数学语言把上面函数图象上升或下降的特征描述出来吗？描述出来吗？xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?f(x1)x1xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象

2、观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?x1f(x1)xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?x1f(x1)xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?x1f(x1)xyy = xO11实例分析：画出函数实例分析：画出函数y = x的图象的图象观察函数图象观察函数图象, ,并指出函数的变化趋势并指出函数的变化趋势? ?x1f(x1)Oxy2xy实例实

3、例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)x(f12xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)x(f12xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)x(f12xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)(1xf2xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)x(f12xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)x(f12xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)x(f12xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Oxy1x)x(f12x

4、y实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象Ox)x(f11xy2xy实例实例2：分析二次函数的图象：分析二次函数的图象12,x x如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量1212ffxxxx当时，都有 （ ）（ ）那么就说那么就说 函数函数f (x)在区间在区间D上为增函数。上为增函数。Oxy)(xfy如何用如何用x与与 f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？)x( f11x如何用如何用x与与 f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？)x( f1)x ( f2) x ( fyOxy1x2x)x ( f22x函数单调性的定义函数单调性的定义12,x x如果对于定义域I内

5、某个区间D上的任意两个自变量1212ffxxxx当时，都有 （ ） （ ）那么就说那么就说 函数函数f (x)在区间在区间D上为减函数。上为减函数。0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx概念的应用：例1.f(x)在R上是增函数，试比较下列函数值的大小：f(1)与f(2)；f(-1)与f(-2)。练习：f(x)在R上是增函数，若f(a+1) (2) f(1)(1)，则函数则函数 f ( (x) )在在R上是增函数；上是增函数；（3 3） x 1, x 2 取值具有取值具有任意性任意性，对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间

6、(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)，函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数yxo 解：解：（-，0）和）和 （0，+）都是都是函数函数f(x)的单调区间，的单调区间，在各个区间上都是递减在各个区间上都是递减的的注意注意: 不能说成（不能说成（-，0） （0，+）是减函数是减函数 说明：说明：要了解函数在某一区间上是否具有要了解函数在某一区间上是否具有单调性，可以通过图象法直接从图上进行观察，单调性，可以通过图象法直接从图上进行观察，它是一种常用而又粗略的方法，但当函数的图它是一种常用而又粗略的方法，但当函数的图象很难画出来时这种方

7、法是不行的。这个时候，象很难画出来时这种方法是不行的。这个时候，我们可以根据定义去证明函数的单调性。我们可以根据定义去证明函数的单调性。问题问题1：你能判断函数：你能判断函数 的单调性吗？的单调性吗？)2(2xxxy 利用定义判定利用定义判定(证明证明)函数的增减性函数的增减性a、任取定义域内某区间上的两变、任取定义域内某区间上的两变 量量x1，x2，设设x1x2；b、判断判断f(x1) f(x2)的正、负情况的正、负情况；c、得出结论得出结论 我们回顾定义我们回顾定义取值取值定号定号变形变形作差作差判断判断证明函数单调性的步骤证明函数单调性的步骤第一步：第一步：取值取值.即任取区间内的两个值

8、，且即任取区间内的两个值，且x1x2第二步：第二步：作差变形作差变形.将将f(x1)f(x2)通过因式分解、通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。方向变形。第三步：第三步：定号定号.确定差的符号，适当的时候需要进确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。行讨论。第四步：第四步：下结论下结论.根据定义作出结论。根据定义作出结论。取值取值作差作差变形变形定号定号下结论下结论归纳：归纳：课堂练习：1.证明函数f(x)=x2在0，+)上是增函数。2.函数f(x)在定义域为(a,b)，对其内任意实数x1,x2，均有 ,则 f(x)在(a,b) 是_（填“增函数”或“减函数”）1212() ( )()0 xxf xf x,1解：解：二次函数二次函数 的对称轴为的对称轴为 , ,由图象可知只要由图象可知只要 ，即，即 即可即可. . 2( )4f xxax 2ax 12ax 2a oxy1xy1o2( )4f xxax若若二次函数二次函数