五大模型三角型等积变形共角模型

1、杨秀情六年级秋季配套练习【练练1】如图，长方形的面积是平方厘米，点、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积 【练练2】图中的、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是_； 【练练3】(2008年”希望杯”二试六年级)如图，、分别是四边形各边的中点，与交于点，、及分别表示四个小四边形的面积试比较与的大小 【练练4】如图，三角形中，三角形的面积是平方厘米，三角形的面积是多少？【练练5】（年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级试）如图，被分成个面积相等的小三角形，那么 【练练6】如右图，和都是矩形，的长是厘米，的长是厘米，那么图中阴影部分的面积是 平

2、方厘米【练练7】 (2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米【练练8】如下图，长方形和长方形拼成了长方形，长方形的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 【练练9】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的，黄色三角形面积是问：长方形的面积是多少平方厘米？【练练10】如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2长方形EFGH的面积为 【练练11】如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等【练练12】2008年春蕾杯五年级决赛 如图，长方形的边上有两点、,线段、把长方形分

3、成若干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是 平方米。【练练13】（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，、分别是梯形的下底和腰上的点，并且甲、乙、丙个三角形面积相等已知梯形的面积是平方厘米求图中阴影部分的面积【练练14】如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？【练练15】 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形的面积为5，那么阴影部分的面积是 【练练16】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，四边形的面积为 【练练17】如图所示，矩形的面积为36平方厘米，四边形的面积是3平方厘米，则阴影

4、部分的面积是 平方厘米 【练练18】 (2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形的面积为24平方厘米三角形与三角形 的面积之和为平方厘米，则四边形的面积是 平方厘米【练练19】如图，三角形的面积是，、的长度分别为11、3求长方形的面积 【练练20】如图，为长方形内的一点。三角形的面积为5，三角形的面积为13.请问：的面积是多少？【练练21】如右图，过平行四边形内的一点作边的平行线、，若的面积为8平方分米，求平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米？ 【练练22】如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果厘米，厘米，求三角形的面积【练练23】如图，平行四边形的周长为75厘米。以为底时高是

5、14厘米，以为底时高是16厘米。求平行四边形的面积。【练练24】 (2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)如图所示，长方形的长是12厘米，宽是8厘米，三角形的面积是32平方厘米，则_厘米【练练25】如图，已知平行四边形的面积为36，三角形的面积为8。三角形的面积为多少？【练练26】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？ 【练练27】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形的面积是 【练练28】如图在中，在的延长线上，在上，且，,平方厘米，求的面积 【练练29】如图在中，分别是上的点，且,平方厘米，求的面积 【练练30】的长度是的，且

6、三角形的面积是三角形面积的一半。请问：是的几分之几？【练练31】园林小路，曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？请说明理由.【练练32】如图以的三边分别向外做三个正方形、,连接、，又得到三个三角形，已知的面积是平方厘米，则另外三个三角形的面积和是多少？【练练33】如图以直角三角形的三边分别向外做三个正方形、,连接、，又得到三个三角形，已知厘米，厘米，求六边形的面积【练练34】已知的面积为平方厘米，求的面积【练练35】如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，三角形BDE的面积是多少？ 【练练36】

7、如图所示，正方形边长为6厘米，,三角形的面积为 平方厘米【练练37】如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积【练练38】已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积【练练39】如图所示，三角形ABC中，点X，Y，Z分别在线段AZ，BX， CY上，且三角形XYZ的面积等于24，求三角形ABC的面积.【练练40】如图，平行四边形，平行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比 【练练41】平行四边形，求四边形的面积与平行四边形面积间的关系【练练42】如图所示，正方形边长为厘米，是的中点，是的中点，是的中点，三角形的面积是多少平方厘米？【

8、练练43】如图，四边形中，求四边形的面积与四边形面积间的关系 【练练44】如图，将四边形的四条边、分别延长两倍至点、，若四边形的面积为5，则四边形的面积是 【练练45】如图，在中，延长至,使，延长至,使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？【练练46】图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是 长的3倍那么三角形的面积是多少平方厘米？ 【练练47】如图是一个正六角星纸板，其中每条边的长为5。现在沿虚线部分剪开，那么较小的那部分占到整体面积的几分之几？【练练48】如图，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是 平方厘米 【练练49】如图，长方形的面积是1，是边的中点，在边

9、上，且那么，阴影部分的面积等于 【练练50】如图在中，分别是边上的点，且，的面积为平方厘米，则的面积是 平方厘米【练练51】如图以的三边分别向外做三个正方形、,连接、，又得到三个三角形，已知六边形的面积是平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形的面积是多少？【练练52】如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积【练练53】如图，四边形的面积是平方米，求四边形的面积 【练练54】把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH。如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少？【练练55】在四边形ABCD中，其对角线AC、

10、DB交于E点。且AF=CE，DE=BG。已知四边形ABCD的面积为1，求的面积是多少。【练练1答案】 【分析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用连接、，同理，（平方厘米）【练练2答案】 【分析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的个边就都被分成了相等的三段.把和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了个形状各不相同的三角形.这个三角形的底边分别是在正方形的个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一.阴影部分被分割成了个三角形，右边三角形的面积和第第个三角形相等：中间三角形的面积和第第个三角形相等；左边三角形的面积和第个第个三角形相等.因此这个阴影三角形的面积分别是、和的三分

11、之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一.正方形的面积是，阴影部分的面积就是.【练练3答案】 【分析】 如右图，连接、，则可判断出，每条边与点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于、这两个不同的组合，所以可知【练练4答案】【分析】 ，,;又,（平方厘米）【练练5答案】【分析】 由题意可知，所以，；又，所以，同样分析可得，所以【练练6答案】【分析】 图中阴影部分的面积等于长方形面积的一半，即(平方厘米)【练练7答案】【分析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为平方厘米【练练

12、8答案】【分析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为【练练9答案】【分析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的，而绿色三角形面积占长方形面积的，所以黄色三角形面积占长方形面积的已知黄色三角形面积是，所以长方形面积等于（）【练练10答案】 【分析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,所以长方形EFGH面积为31【练练11答案】【分析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于

13、与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接(我们通过把这两个看似无关的平行四边形联系在一起)在平行四边形中，边上的高，同理，平行四边形与面积相等【练练12答案】【分析】 根据题意：，所以（平方米）。【练练13答案】【分析】 因为乙、丙两个三角形面积相等，底所以到的距离与到的距离相等，即与平行，四边形是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形的面积的，所以阴影部分的面积乙的面积设甲、乙、丙的面积分别为份，则阴影面积为份，梯形的面积为份，从而阴影部分的面积（平方厘米）【练练14答案】【分析】 方法一：连接,由图知,所以,又由,恰好是面积的一半，所以是的中点，因此,所以方法二：连接对角线 是长方形 ，

14、 ，【练练15答案】 【分析】 如图所示，设上的两个点分别为、连接根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积而的面积为正方形面积的一半，为又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以阴影部分的面积为： 【练练16答案】【分析】 从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积由于长方形的面积为，所以三

15、角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为【练练17答案】【分析】 方法一：,所以空白面积是,所以阴影部分面积为(平方厘米)方法二：因为三角形面积为矩形的面积的一半，即18平方厘米，三角形面积为矩形的面积的，即9平方厘米，又四边形的面积为3平方厘米，所以三角形与三角形的面积之和是平方厘米又三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为(平方厘米) 【练练18答案】【分析】 因为三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即12平方厘米，又三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则三角形与三角形的面积之和是平方厘米，则四

16、边形的面积三角形面积三角形与三角形的面积之和三角形面积(平方厘米)【练练19答案】 【分析】 如图，过作，过作，、交于，连接则【练练20答案】【分析】 由于是长方形，所以，而，所以，则，所以【练练21答案】 【分析】 (法1)设的边上的高为，的边上的高为则，整理得，即，所以(平方分米)(法2)根据差不变原理，要求平行四边形的面积与平行四边形的面积差，相当于求平行四边形的面积与平行四边形的面积差如右上图，连接、由于，所以而，所以(平方分米)【练练22答案】【分析】 是的中点，是的中点，又是长方形， (平方厘米)【练练23答案】【分析】 ,根据面积相等，底的比与高的比成反比例，所以,因此,平行四边

17、形的面积是平方厘米【练练24答案】【分析】 解法一:要求的长，可以先求出，而是和的底，两个三角形的高的和等于长方形的宽，并且它们的面积和是的面积所以,所以(厘米) 解法二：可以从图上得出,连接、如下图所示： 因此,也就有(平方厘米),而(平方厘米)所以 (平方厘米) 故(厘米)【练练25答案】【分析】 三角形的面积为【练练26答案】 【分析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接.(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)在正方形中，边上的高，(三角形面积等于与它等底等高的平

18、行四边形面积的一半)同理，正方形与长方形面积相等. 长方形的宽(厘米)【练练27答案】 【分析】 如图所示，设上的两个点分别为、连接根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积而的面积为正方形面积的一半，为又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以四边形的面积为：【练练28答案】如图在中，在的延长线上，在上，且，,平方厘米，求的面积 【分析】 连接, ,所以,设份，则份,平方厘米,所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 (

19、建议老师一定要把共角定理的推理过程讲透，防止学生只记结果，而不知为什么)【练练29答案】如图在中，分别是上的点，且,平方厘米，求的面积 【分析】 连接,，所以,设份，则份,平方厘米,所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【练练30答案】的长度是的，且三角形的面积是三角形面积的一半。请问：是的几分之几？【分析】【练练31答案】园林小路，曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？请说明理由.

20、【分析】 图中每相邻两个正方形和其间夹着的两个三角形都是经典精讲中的第4类鸟头。以右图为例，。因此，图中每一个红色三角形和对应的绿色三角形面积都相等。那么内圈三角形石板的总面积和外圈三角形石板的总面积一样大。【练练32答案】如图以的三边分别向外做三个正方形、,连接、，又得到三个三角形，已知的面积是平方厘米，则另外三个三角形的面积和是多少？【分析】 因为,所以,所以(平方厘米)，同理另外两个三角形的面积也是平方厘米，所以另外三个三角形的面积和是平方厘米【练练33答案】如图以直角三角形的三边分别向外做三个正方形、,连接、，又得到三个三角形，已知厘米，厘米，求六边形的面积【分析】 因为,所以,(平方

21、厘米)，所以图中四个三角形的面积和是（平方厘米），再根据勾股定理有两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，所以三个正方形的面积和是平方厘米，因此六边形的面积是（平方厘米）【练练34答案】已知的面积为平方厘米，求的面积【分析】 ，设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米【练练35答案】如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，三角形BDE的面积是多少？ 分析 由于,所以可以用共角定理，设份,份,则份, 份，由共角定理，设份,恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面积是平方厘米【练练36答案】如图所示，正方形边长为6厘米，,三角形的面积为 平方厘米【分析】 由题意知、，

22、可得根据“共角定理”可得，而；所以同理得,;,故(平方厘米)【练练37答案】如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积【分析】 用共角定理在和中，与互补，又，所以同理可得，所以【练练38答案】已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积【分析】 设根据共角定理,同理, ,所以【练练39答案】如图所示，三角形ABC中，点X，Y，Z分别在线段AZ，BX， CY上，且三角形XYZ的面积等于24，求三角形ABC的面积.【分析】 根据鸟头模型，；，；，。【练练40答案】如图，平行四边形，平行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比 【分析】

23、连接、根据共角定理 在和中，与互补，又，所以同理可得，所以.所以.【练练41答案】平行四边形，求四边形的面积与平行四边形面积间的关系【分析】 采用例题的方法，可得四边形的面积.最后得到公式【练练42答案】如图所示，正方形边长为厘米，是的中点，是的中点，是的中点，三角形的面积是多少平方厘米？【分析】 连接因为。观察鸟头如右图，所以，。另解：梯形中的“一半”模型。，。【练练43答案】如图，四边形中，求四边形的面积与四边形面积间的关系 【分析】 由共角定理得,，所以【练练44答案】如图，将四边形的四条边、分别延长两倍至点、，若四边形的面积为5，则四边形的面积是 【分析】 连接、由于，于是，同理于是再

24、由于，于是，同理于是那么【练练45答案】如图，在中，延长至,使，延长至,使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？【分析】 (法) 利用共角定理在和中，与互补，又，所以同理可得，所以【练练46答案】图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是 长的3倍那么三角形的面积是多少平方厘米？ 【分析】 ，等高，所以面积的比为底的比，有,所以=(平方厘米)同理有(平方厘米)， (平方厘米)即三角形的面积是22.5平方厘米【练练47答案】如图是一个正六角星纸板，其中每条边的长为5。现在沿虚线部分剪开，那么较小的那部分占到整体面积的几分之几？【分析】 对图形进行分割，分割过程如下：即所