二次型标准形规范形化简与定性判别

1、第五讲 二次型标准形规范形化简与定性判别1.二次型的矩阵形式和矩阵的合同2.二次型标准形化简（对称变换法、配方法、正交变换法）3.二次型规范形化简（开方法）4.实二次型定性判别（惯性指数法、特征值法、顺序主子式法、定义法）1 二次型的矩阵形式和矩阵的合同二次型的概念定义1 含有个变量的二次齐次函数 称为元二次型（其中称为平方项，称为混乘项）二次型的矩阵形式若取，则，于是上式可以写成 其中，称为二次型的矩阵形式由，故为对称矩阵，即称对称矩阵为该二次型的矩阵二次型称为对称矩阵的二次型对称矩阵的秩称为二次型的秩在这种情况下，二次型与对称矩阵之间通过就建立起一一对应关系，故往往用对称矩阵的性质来讨论二

2、次型的性质当为复数时, 称为复二次型；当为实数时，称为实二次型例1 设，求的矩阵，并求的秩解 对应的对称矩阵是故，所以二次型的秩为3对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆线性变换 即 使二次型化成只含有平方项，不含有混乘项的形式，即这种只含有平方项的二次型，称为标准二次型，或称为二次型的标准形对于实二次形，再若标准形的系数只在中选取，则将这种二次型称为规范二次型，即，（其中为二次型的秩）矩阵的合同下面讨论一下合同矩阵对于二次型而言，经可逆线性变换，将其化成若记 则由于，故为对称矩阵，故为关于的二次型关于与的关系，我们给出以下矩阵合同的定义定义2 设，为两个阶方阵，如果存在可逆矩阵，使得，则

3、称矩阵合同于矩阵，或称与为合同矩阵由以上定义可以看出，二次型的矩阵与经过可逆线性变换得到的二次型的矩阵是合同矩阵矩阵合同的基本性质： 自反性 任意方阵与其自身合同；因为 对称性 若与合同，则与合同；因为若与合同，则存在可逆阵使得则即即与合同 传递性 若与合同，与合同，则合同于；因为 得 ，故与合同定理1 若为对称矩阵，为可逆矩阵，则仍为对称矩阵，且（请读者自己证明）从而二次型经可逆变换后，其秩不变，但二次型的矩阵变为；在本节最后给出矩阵的等价、相似、合同三种关系的逻辑关系：经过若干次行列变换得到，则与等价，即与等价存在可逆阵 使成立与相似存在可逆阵使与合同存在可逆阵使通过以上三个定义可以看出，

4、相似矩阵一定是等价矩阵，合同矩阵一定是等价矩阵特别，由上一章实对称矩阵的可正交相似对角化知道：实对称矩阵与其相似的对角矩阵既相似又合同. 但等价矩阵不一定是相似矩阵，也不一定是合同矩阵习题11.写出下列二次型的矩阵，并求其秩.（1）；（2）；（3）4.二次型的秩为，则（ ）.A4 ； B3 ； C2 ； D1 .5.设均为阶矩阵，且合同，则（ ）A相似 ；B ；C； D.有相同的特征值.6.下列矩阵（ ）与矩阵合同.A；B；C；D. .2二次型的标准形化简在这一部分中我们将用三种方法证明：任意二次型都可以经过可逆线性变换化成只含有平方项的形式： 即化成二次型的标准形其中为对角矩阵.化二次型为标

5、准形三种方法分别式：对称变换法，拉格朗日配方法，正交变换法对称变换法化二次型为标准形设有可逆线性变换,它把二次型化成标准形=，其中为对角矩阵求可逆矩阵，使对称矩阵化成对角矩阵的过程，称为合同对角化. 由于为可逆矩阵，故可以写成若干个初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使，于是有将上面两式合并起来写成分块矩阵的形式，就有即由此可以看出，对由与竖排而写的型矩阵作相当于右乘矩阵的列初等变换，再对其中所在部分作相当于左乘矩阵的行初等变换，则矩阵所在部分变为对角矩阵，而单位矩阵所在部分就相应的变为所用的可逆矩阵. 对由与竖排而写的型矩阵作一次相当于右乘初等矩阵的列初等变换和一次相应的(相当于左乘矩阵的)行初

6、等变换合起来称为一次对称变换. 即对称变换有如下三种：及相应的；及相应的；及相应的.对称矩阵合同对角化方法对进行对称变换：先作倍列加化所在部分的第一个对角元素为非零，再作一次相应的行初等变换（这使这个非零对角元素变为2倍，而第一行其余元素只要改成与第一列对称就可以了）；再利用这个非零对角元素的倍数作倍列加化所在部分的第一行对角元素后面的所有元素都为零，每次列初等变换都要作一次相应的行初等变换（这只要把所在部分的对角线下方元素改成与对角线上方元素对称就可以了）；这样所在部分的第一个对角元素就变好了；再对所在部分的第二个对角元素，进行上述过程，一直到所在部分的每一个对角元素都变好了，就把所在部分化

7、成了对角矩阵，则所在部分就相应的变为所用的可逆矩阵了. 因此上述对称变换过程中的化对角元素为非零的两次初等变换可以同时进行，写成一步. 每次化所在部分的对角元素后面的所有元素都为零所作的倍列加，和把所在部分的对角线下方元素改成与对角线上方元素对称所作的相应的行初等变换也可以同时进行，写成一步.例2 设，利用对称变换法求可逆矩阵，使为对角矩阵.解 由，因此，所用可逆矩阵，对角矩阵例3求一个可逆线性变换，将二次型化成标准形解 由于二次型所对应的矩阵为利用对称变换法对进行合同对角化，即所以，且.令，即 ，将该可逆线性变换代入原二次型可得其标准形通过以上讨论可以看出，对称变换法化二次型为标准形就相当于

8、利用对称变换把二次型所对应的对称矩阵合同对角化配方法化二次型为标准形拉格朗日配方法的规则： 按平方项的顺序配方，即若二次型含有的平方项，则先将所有含有项集中在一起,按下列公式 ，其中为系数，中不含有配成完全平方，再对其余的变量重复上述过程直到所有变量配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形 若二次型中不含有平方项，只含有混乘项若，则可以先作一个可逆变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按中方法配方注意：配方法是一种可逆线性变换，其标准形中平方项的系数只与配方的方法有关，与的特征值无关由于二次型与对称矩阵一一对应，而任一二次型经配方法一定可以标准化，即存在可逆线性变换使得为标准形即 为对

9、角矩阵 至此，我们已经分别用对称变换法和配方法证明了以下定理：定理2 对于任一对称矩阵，存在可逆矩阵，使为对角矩阵，即任一对称矩阵都与一个对角矩阵合同从而二次型可以经过可逆线性变换变成标准形，即为对角矩阵亦即 ；注：在该定理中，的合同对角矩阵 的对角线元素只与对称变换法或配方法的过程有关，不一定是的个特征值例4 设，试将二次型化成标准形，并写出所用的可逆线性变换解 由 令 ， 即 则的标准形为此时也为的规范形所用的可逆线性变换为即 ，在上例中，由于的对称矩阵，且将化成标准形所需的可逆线性变换系数矩阵，则必有即与对角阵合同由此可见，要把二次型化成标准形，关键在于求出一个可逆线性变换系数矩阵，使得

10、为对角矩阵例5 化二次型为标准形解 方法 由由于原二次型为三元二次型，配方完成后出现了四个平方项，即平方项的项数大于二次型的元数，这是错误的即二次型标准化的过程中，标准形中的平方项数小于等于二次型的元数怎样才能避免以上错误呢？方法就是按平方项的变量依次逐个顺序完全配方，即遵循拉格朗日配方法的第准则方法 其中，令， 即 为所用的可逆线性变换同时可逆线性变换系数矩阵例6 化为标准形，并求所用的可逆线性变换矩阵解 由于中不含有平方项可以令，其中 代入，得再配方 令 ，即 ，亦即，其中则二次型化成标准形所用的可逆线性变换矩阵为即所需可逆线性变换为，的表达式如上上面介绍了利用拉格朗日配方法化二次型为标准

11、形，此方法与二次型的矩阵的特征值及特征向量无关正交变换法化实二次型为标准形正交变换法，此方法只适用于化实二次型为标准形，且与实二次型的实对称矩阵的特征值及特征向量密切相关为了介绍正交变换法，先作一些准备(P10_P19)（1）向量的内积定义3 设有维实列向量， ，令，称为向量与的内积（也称为数量积）显然，若与都为维实行向量，即，则.由以上定义可以看出向量内积是两个向量的一种运算，其结果是一个实数内积具有以下性质：（其中为维实向量，为实数） ； ； ； ，当且仅当； .（这个不等式称为施瓦茨(Schwarz)不等式）证明略（2）向量的长度定义4令，称为维实向量的长度（或范数、模、模长）其中为维实

12、向量的个分量向量长度具有以下性质： ，当且仅当；（非负性） （）；（齐次性） ；（三角不等式） 对于维向量有，证明略当时，称为单位向量对于中的任一非零向量，有是一个单位向量，因为.故称为非零向量单位化公式，即任一非零实向量都可以利用化为一个单位向量（3）向量的夹角定义5当时，令称为维非零实向量与的夹角例7设，求与的夹角解由，得（4）向量的正交性定义6若两实向量与的内积是零，即，则称与正交.显然，若，则与任意实向量都正交定义7若维实向量组都是非零向量且两两正交，即 ，且（），有，则称为正交向量组例如，中的，是一个正交向量组下面讨论正交向量组的性质.定理3若维向量组为一个正交向量组，则线性无关，即

13、正交向量组一定是线性无关向量组证 设有使得.用左乘上式两端，得，由于为正交向量组，故，即有，即得同理可证于是线性无关注： 中任一正交向量组的向量个数不超过； 若向量组两两正交且都为单位向量，则称这样的正交向量组为规范正交向量组例8已知中的两个向量：，正交，试求一个非零向量使为正交向量组解由题意可知：，即.记，则，即可取齐次线性方程组的一个非零解作为由，得基础解系，取即可定义8设是一个向量空间， 若是向量空间的的一个基，且两两正交，则称为向量空间的一个正交基 若是向量空间的一个基，同时满足两两正交，且都是单位向量，则称为的一个规范正交基（或标准正交基）例如，为的一个规范正交基推广，维单位向量组，

14、为的一个规范正交基若为的一个规范正交基，那么中的任一向量能由惟一线性表示，即存在惟一的，使得.则为向量在规范正交基下的坐标，且，因此，在求向量空间的基时，往往求一个规范正交基（5）求规范正交基的方法设是向量空间的一个基，要求的一个规范正交基，相当于求一组两两正交的单位向量，使它与等价我们将这样的一个问题称为线性无关向量组的规范正交化规范正交化可由以下正交化和单位化两个步骤完成. 正交化：令， ，易验证两两正交，且与等价上述过程称为施密特正交化过程，它可以将任一线性无关的向量组化成与之等价的正交向量组 单位化：令，则为的一个规范正交基由以上步骤可以看出，施密特正交化过程可以将中的任一线性无关的向

15、量组化为与之等价的正交组；再利用单位化公式，令，得到与等价的规范正交向量组我们将以上二步称为正交规范化过程在这一过程中，必须先正交化，再单位（规范）化注：空间中任意个线性无关的向量都可以作为的一个基，且这个基一定可以通过正交规范化化成与之等价的的一个规范正交基（6）正交矩阵和正交变换.定义9若阶实方阵满足，则称为正交矩阵，简称为正交阵例如，由于，故为正交矩阵正交矩阵有以下重要性质： 为正交矩阵 为阶实方矩阵且为阶实方矩阵且； 若为正交矩阵，则、也是正交矩阵； 两个正交矩阵的乘积仍为正交矩阵； 若为正交矩阵，则或定理4为正交矩阵的充分必要条件是的列向量组（行向量组）是规范正交向量组证将按列分块，

16、设.为正交矩阵等价于，即等价于，即即故为规范正交向量组（行向量的情况利用可以类似证明）定义9设为正交矩阵，称线性变换为正交变换设为正交变换，则有这说明正交变换不改变向量的长度，这是正交变换的优良特性所在例9设，验证不是正交矩阵解 的行向量组的第一个向量为，其长度为，故不是单位向量因此，的行向量组不是单位正交组，故不是正交矩阵.例10设为维单位列向量，令，证明：为对称的正交矩阵证由于，故为对称矩阵由为维单位列向量，得，即. 又 ，故为正交矩阵综上知，为对称的正交矩阵（7）实对称矩阵的特征性质在上一节我们讨论了一般的阶方阵的相似对角化问题，并得出了一些有效的结论本节我们仅对为实对称矩阵的情况进行讨

17、论，实对称阵具有许多一般矩阵所设有的特殊性质定理5实对称矩阵的特征值都为实数证明设复数为对称矩阵特征值，复向量为对应的特征向量，即：，以表示的共轭复数，表示的共轭复向量，则于是有，及以上两式相减，得由假设，所以有，故，即，这说明为实数对于实对称阵，由于其特征值（）全为实数，故线性方程组：是实系数齐次线性方程组，由其系数行列式知它必有实得基础解系，所以的特征向量可以取实向量定理6设是实对称矩阵的两个特征值，是对应于的特征向量，若，则与正交证明由题意可知，因为对称阵，故，于是，移项有 ，由，故，即与正交定理6说明实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量不但是线性无关的，同时也是正交的定理7设为阶实对称

18、阵，是的特征方程的重特征根，则矩阵的秩，从而对应于特征值恰有个线性无关的特征向量定理6说明实对称阵一定可以相似对角化以上准备知识本身也是很重要的. 实对称矩阵正交相似对角化定理8设为阶实对称阵，则必存在正交阵，使，即其中是以的个特征值为对角元素的对角阵证设的互不相等的特征值为，它们的重数分别为重，（）由定理5和定理6知，对应于特征值（）的线性无关的特征向量共有个（），把它们正交化，再单位化即得对应于的个单位正交特征向量，由于，故总体而言有个特征向量，再由定理6知，这个单位特征向量两两正交，以它们按列排列够成的为正交矩阵，则 求正交阵使实对称矩阵正交相似对角化的步骤求出的全部互异特征值；对每个特

19、征值（），有求出一个基础解系；将每组基础解系（特征向量）正交化，再单位化；以这些单位正交向量作为列向量构成正交阵，则（其中中的列向量的排列顺序与矩阵的对角线上的特征值的排列顺序相对应）我们将以上过程称为实对称矩阵的正交相似对角化过程例11设实对称阵，求正交阵，使为对角矩阵解由矩阵的特征方程为解得的特征值为，对，由得的基础解系；当对，由得的基础解系；当对，由得的基础解系由互异，知正交，将它们单位化，令，则为正交阵，且注：的列向量的次序要与的对角元素的次序相一致： 若令，则对角阵；若令，则对角阵例12设，求一个正交阵，使为对角矩阵解由矩阵的特征方程解得的特征值，（二重根）对，由得的基础解系，将单位

20、化，得，对（二重根），由得的基础解系，将正交化，令，再将单位化得，令，最后令，即为所求的矩阵使为对角矩阵由于任一实对称矩阵都可以正交相似对角化，即存在正交矩阵使得为由的特征值为对角元素的对称矩阵从而任一实对称矩阵都可以合同对角化定理9 任一实二次型，总存在正交变换，使 为标准形：其中恰好为实二次型的实对称矩阵的个特征值通过以上讨论可得利用正交变换法化实二次型为标准形的基本步骤： 将实二次型写成矩阵形式，求出实对称矩阵； 求出的所有特征值； 求出的不同特征值对应的线性无关的特征向量； 将特征向量正交化，再单位化得：，记 ； 作正交变换，则 例13 将二次型利用正交变换化成标准形解 二次型对应的实

21、对称矩阵 求的特征值得； 求的特征向量对，由得的基础解系为 ，对，由得的基础解系为 ， 正交化单位化 由与正交，故只需将正交化令；，.再单位化.令，令，即为所求的正交变换矩阵，所求的正交变换为且在正交变换下原二次型化成标准形习题31. 求二次型 的标准形.并求得到标准形和规范形分别所用的可逆线性变换.【建议用三种不同的方法求其标准形以及所用的可逆线性变换】2. 将下列二次型化为标准形,并求所用的可逆线性变换矩阵.（1）（2）（3）3.求一个正交变换，将二次型化为标准形.4.二次曲面可经正交变换化为椭圆柱面方程，求的值与正交阵P.3二次型的规范形化简在以上的讨论过程中我们可以看出：任意二次型都可

22、以标准化.虽然标准形的形式并不唯一，但是对于实二次型，在标准形中，正，负平方项的项数及项的项数是唯一确定的，即正平方项的项数等于对应的对称矩阵的正特征值的个数，负平方项的项数等于的负特征值的个数，项的项数等于的特征值为的个数（其中重根按重数计算）在此基础上，如有必要我们可以重新安排变量的次序，使平方项的顺序分别为正平方项，负平方项和项则秩为的二次型的标准形可以化成其中，为的秩进而化成，若再作可逆线性变换（这个变换通常称为开方变换）：则，即二次型最终可化成以上形式的标准形（此种标准形是一种特殊的规范形）因此我们有以下定理定理10 任何实二次型都可以通过可逆线性变换化成规范形且规范形是由二次型本身

23、唯一确定（即系数的项数及项的项数是唯一确定的），与所作的可逆线性变换无关通常将实二次型的规范形的正项个数称为的正惯性指数，负项个数称为负惯性指数，称为的符号差，正好为的秩，也为对应的矩阵的秩同时也可以看出：二次型的正惯性指数等于对应的矩阵的正特征值的个数，负惯性指数为的负特征值的个数（其中重根按重数计算）例14 化实二次型为规范形，并求其正、负惯性指数解 由 令 ，则为规范形，且正惯性指数，负惯性指数 习题33. 求二次型 的规范形.并求得到标准形和规范形分别所用的可逆线性变换.【建议用三种不同的方法求其标准形以及所用的可逆线性变换】4. 将下列二次型化为规范形,并求所用的可逆线性变换矩阵.（

24、1）（2）（3）3.设二次型 .若二次型 的规范形为 ，求的值.4实二次型定性判别 实二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含正负平方项的项数是确定的，即正，负惯性指数是确定的故对于任意实二次型，若不考虑前后顺序则其规范形是唯一，故我们有以下定理定理11 设二次型，它的秩为若有两个可逆变换及使 ，及 ，则中正数的个数与中正数的个数是相等的从而其中负数个数也是相同的这个定理称为惯性定理（证明略）由以上惯性定理很容易推出以下结论：推论1 设的秩为，则其规范形一定可以表示为 实二次型的定性是根据其函数值的符号来定义的.定义10 设有二次型，为实对称矩阵， 如果对任何都有成立，则称为正定二次型，

25、矩阵称为正定矩阵记作及 如果对于任何都有成立，则称为负定二次型，矩阵称为负定矩阵记作及例15 设，判断的正定性解 由 得，对于任意有故，即为正定二次型 实二次型的定性判别，除了根据定义直接判别（定义法）外，还有如下几个定理.定理12（惯性指数判别法） 元二次型为正定二次型的充分必要条件是：它的标准形的个系数全为正，即它的正惯性指数，亦即它的规范形的个系数全为证 设有可逆线性变换使二次型化成标准形 充分性 设，任给，则故 即正定必要性 （利用反证法） 假设有则令（单位坐标向量），则，再由，这与为正定二次型矛盾由以上定理和二次型定性的定义立即可得以下推论.推论2 二次型正定的充分必要条件为为负定二

26、次型推论3 元二次型为负定二次型的充分必要条件是它的标准形的个系数全为负数，即它的负惯性指数，亦即它的规范形中的个系数全为推论4（特征值判别法） 对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正数 对称矩阵为负定的充分必要条件是：的特征值全为负数定理13 （顺序主子式判别法） 对称矩阵为正定的充分必要条件是：各阶顺序主子式都为正，即 ， 对称矩阵为负定的充分必要条件是：的奇数阶顺序主子式都为负，偶数阶顺序主子式都为正，即 这个定理称为赫尔维茨定理例6.10 判断二次型的正定性解 由的二次型矩阵，一阶主子式，二阶主子式，三阶主子式根据赫尔维茨定理可知为负定矩阵故为负定二次型注：若给出二次型，判断其正定性，一般是利用赫尔维茨定理来判断对应的二次型矩阵的正定性，进而判断的正定性，这是一种方便有效的方法，请同学们牢记例6.11 当何值时，二次型为正定二次型解 由于的二次型矩阵，故由赫尔维茨定理可知，若正负，则，即即故当时，为正定二次型最后再给出几个结论： 设为正定矩阵，则也是正定矩阵； 设,为正定矩阵，则也是正定矩阵； 实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是与单位矩阵合同且合同变换矩阵为实可逆矩阵