牛顿-莱布尼茨公式的详细证明

1、牛顿莱布尼茨公式前言此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的 高中生。公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x) ，我们是默认可积的。所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人， 你值得看懂！(Ps ： 如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在

2、区间 a,b上连续，我们在区间a,b上插入n-1个点分成n 个区间a,x1,x1,x 2 x n,xn-1， 其 中x0=a，xn=b， 第i个 小 区 间 ? xi =xi -x i-1 (i=1,2n) 。由它的几何意义， 我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为n=f( i ) ? xi , 为此定积分可以归结为一个和式的? Sibf ( x)dxlimf ( i ) xi极限 an1i即：b性质 1：证明c dx = C(b-a)，其中 C 为常数 .anblimf (i) xilim c(x1 x0 x2 x1 . xn xn 1)f (x)dxa

3、ni 1nlim c(xx )a)c(bn0n几何上这就是矩形的面积性质 2：F(x) 和 G(x) 为函数 z(x) 的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数 .设 K(x)=F(x)-G(x)定义域为 KF (x)G ( x) z( x)K (x)F ( x) G ( x)z( x) z( x) 0K (x)limK (x x)K ( x)0x0x即对任意的 xK, 都存在一个以 |x | 为半径的区间 , 使得 K(x+ x )=K(x)函数值在 K 内处处相等， K(x)=CK(x)为一直线即: F(x)-G(x)=Cbb性质 3：如果 f(x) g(x), 则f ( x)

4、dxg( x)dxaa设 k(x)=f(x)-g(x),有 k(x) 0.bnak ( x) dxlimk ( i ) xi0n1ibb f ( x)bf ( x)dxb即ak( x)dxg( x)dxg(x)dx 0aaabbf ( x)dxg(x)dxaa相关定理的证明介值定理：设 f(x) 在区间 a,b 上连续，当 x a,b, 取 m 为 f(x) 的最小值 , M 为 f(x) 的最大值 , 对于任意的一个介于 m, M 的数 C,至少存在一点 (a,b), 有f( )=C证明：运用零点定理 :设 f(x) 在 a,b 上连续 , 若 f(a)*f(b)<0, 则至少存在一点

5、 (a,b), 有 f( )=0设 x1,x2 a,b,且 x1<x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C,其中 m<C<M则： g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0即 : g(x1)*g(x2)<0由零点定理得，至少存在一点 (x1,x2), 有g( )=0= f()-C => f()=CPs: 在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理， 在几何上有明显的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0（在 x 轴上方），一个小于0( 在 x 轴下方 ) ，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x

6、 轴有一个交点。严格的证明这里就不了， 其实我也不太懂， 有兴趣的可以上网查查.积分中值定理 :若函数 f(x)在区间 a, b上连续 , ，则在区间 a, b上至少bf ( x)dx f ()(b a)存在一个点(a,b), 有 a几何意义 : 曲线所围成的面积总有一个以积分区间为长的矩形面积与之相等设 f(x)在区间 a, b的最大值为M，最小值为m，即： m f(x) Mbbf ( x)dxbmdxaMdxaam(ba)bM (b a)f ( x)dxabf ( x)dxamMba由介值定理：在区间a, b上至少存在一个点(a,b) ，有bf ( x) dxf ( )aba积分上限函数

7、( 变上限的定积分 ) 的定义bf (x)dx 的值由区间 a,b 与设函数 f(x)在区间 a,b 上连续，则定积分abf(x) 决定，与积分变量的记号 x 无关，因此可以记为f (t )dtaxx而对于积分af (t)dt ，当 xa,b 时，都会有一个由积分 af (t)dtx所确定的值与之对应，因此积分f (t)dta(x)xf (t)dta是上限 x 的函数 . 记为：下面证明(x)f (x)显然，我们好自然会从左边证起，因为我们要运用 (x) 的定义，用到导数的定义，更重要的是，因为我们要落笔，而不是呆呆的看。 ( 因为有的人是在看，有的人是在观察，这明显存在很大的差别 )( xx

8、)xx xf (t)dtxf (t )dt(x)limlimaaxxx0x 0ax xf (t )dtx xf (t )dtf (t )dtaxlimxlimx0xx0x由积分中值定理，有：xxxf (t )dtf ( )x ( 其中是在 x 与 x+x 之间 )x x( x) limf (t )dtlimf ( ) xlimf ()xx 0xx0xx0这就是你想看到的，显然，当x->0 时，->x(x)lim f ( )f ( x)x0通往真相的最后一步b证明 :f (x)dx F (b) F (a)a设 F(x) 为 f(x) 的原函数( x)xf (t)dta也是 f(x) 的一个原函数由性质 2： f(x) 的任意两个原函数之间相差一个常数C, 有F (x)(x)CF (b)(b)CF (a)(a)