期权定价理论知识

1、 1973年，美国芝加哥大学教授年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black(费雪费雪.布莱布莱克克)和和 Myron Scholes(梅隆梅隆.舒尔斯舒尔斯)发表了发表了期权与公司负债期权与公司负债定价定价疑问，提出了著名的疑问，提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，Robert C. Merton(罗伯特罗伯特.莫顿莫顿)独立地提出了一个更为一般独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济年的

2、诺贝尔经济学奖。学奖。 本章将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克本章将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯舒尔斯-默默顿期权定价模型（下文简称顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。证券定价的一般方法。 为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。 因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格情况下，期权价格变化的

3、唯一来源就是股票价格的变化变化的唯一来源就是股票价格的变化，股，股票价格是影响期权价格的最根本因素。票价格是影响期权价格的最根本因素。 因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来化规律。在了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。复制期权，并以此为依据给期权定价。 在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。想。 公式等式第二项公式等式第二项dz完全捕捉了影响股票价格变化的随完全捕捉了影响股票价格变化

4、的随机因素。机因素。SdzSdtdS股票价格服从的随机过程股票价格服从的随机过程dzdtSdSSdzSfdtSSftfSSfdf222221 根据数学家伊藤根据数学家伊藤(K.Ito)提出的伊藤引理提出的伊藤引理(It 引理引理),人们推人们推出，当股票价格服从上述随机过程时可得期权价格相应服从出，当股票价格服从上述随机过程时可得期权价格相应服从的随机过程，作为股票衍生产品的期权价格的随机过程，作为股票衍生产品的期权价格f 将服从将服从 观察得到，影响期权价格的随机因素也完全体现在等式观察得到，影响期权价格的随机因素也完全体现在等式右边的第二项中的右边的第二项中的dz上，即股票价格及其衍生产品

5、上，即股票价格及其衍生产品期权期权价格都只受到一种不确定性的影响，其区别只是在于随机因价格都只受到一种不确定性的影响，其区别只是在于随机因素素dz前面的系数不同，即对随机因素变化的反应程度不同。前面的系数不同，即对随机因素变化的反应程度不同。BSM 期权定价公式：期权定价公式：rfSfSSfrStf222221BSM 微分方程微分方程)()(2)(1dNXedSNctTru基础知识基础知识l随机过程随机过程如果某变量的价值以某种不确定的方式随如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。分为离散时间和连续时间随机过程；分为离散时

6、间和连续时间随机过程；连续变量和离散变量随机过程。连续变量和离散变量随机过程。lMarkov Process-特殊类型的随机过程特殊类型的随机过程 只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关.人们通常假设人们通常假设股票价格股票价格遵循马尔科夫过程。遵循马尔科夫过程。例如：股票现价为例如：股票现价为100，如果其遵循马尔科夫过程，则一个，如果其遵循马尔科夫过程，则一个星期之前、一个月之前的股价不影响对将来的预测。惟一星期之前、一个月之前的股价不影

7、响对将来的预测。惟一相关的就是股票的现价相关的就是股票的现价100.弱式效率市场假说与马尔可夫过程弱式效率市场假说与马尔可夫过程 19651965年，法玛（年，法玛（FamaFama）提出了著名的效率市场假说。该）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬。酬。 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变

8、动是水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。相互独立的。效率市场假说可分为三类：效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式弱式、半强式和强式；弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。）来表述。人们通常用形如公式人们通常用形如公式的几何布朗运动来描绘股票价格的随机变化过程；的几何布朗运动来描绘股票价格的随机变化过程；这是期权定价模型的基础性假设。也好似金融中最主要的这是期权定价模型的基础性假设。也好似金融中最主要的假设；假设；最重要的是最重要的是dz项项，它代表影响股票价格变化

9、的随机因素。，它代表影响股票价格变化的随机因素。通常被成为通常被成为标准布朗运动标准布朗运动(Standard Brownian Motion)或或维维纳过程纳过程（Wiener Process)。dzdtSdS股价行为模型通常用著名的维纳股价行为模型通常用著名的维纳(Wiener Processes)过过程；程；维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式；维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式；物理学中用于观察某个粒子受到大量小分子碰撞的运物理学中用于观察某个粒子受到大量小分子碰撞的运动，有时称为布朗运动动，有时称为布朗运动(Brownian Motion)；布朗运动（布朗运动（Browni

10、an Motion）起源）起源 于英国植物学于英国植物学家布朗对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。家布朗对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。u布朗运动布朗运动l标准布朗运动标准布朗运动设设 代表一个小的时间间隔长度，代表一个小的时间间隔长度， 代表变量代表变量z在时间在时间 内的变化，遵循标准布朗运动的内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征：具有两种特征：特征特征1： 和和 的关系满足（的关系满足（6.1）：）： 其中，其中， 代表从标准正态分布（代表从标准正态分布（即均值为即均值为0、标准差为、标准差为1.0的正的正态分布态分布）中取的一个随机值。）中取的一个随机值。tztztztz特征

11、特征2：对于任何两个不同时间间隔，：对于任何两个不同时间间隔， 和和 的值相互的值相互独立。独立。 考察变量考察变量z在一段较长时间在一段较长时间T中的变化情形，我们可得：中的变化情形，我们可得： 其中满足均值为其中满足均值为0，方差为，方差为 （ 是相互独立的是相互独立的 ）当当 时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：时，我们就可以得到极限的标准布朗运动： 0ttztzTzNii1)0()(dtdzTi由特征由特征1知道，知道， 本身也具有正态分布。均值为零，本身也具有正态分布。均值为零，标准差为标准差为 ，方差为，方差为 ；由特征由特征2知道，遵循标准布朗运动的变量具有独立增知道，遵循标准

12、布朗运动的变量具有独立增量的性质；量的性质；l普通布朗运动普通布朗运动 我们先引入两个概念：漂移率和方差率；我们先引入两个概念：漂移率和方差率；标准布朗运动的漂移率为标准布朗运动的漂移率为0，方差率为，方差率为1.0. ztt我们令漂移率的期望值为我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为方差率的期望值为b2，就可得，就可得到变量到变量x 的的普通布朗运动普通布朗运动： 其中，其中，a和和b均为常数，均为常数，dz遵循标准布朗运动。遵循标准布朗运动。标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移率为标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移率为0,方差为方差为1的普通布朗运动；的普通布朗运动；

13、漂移率漂移率单位时间内变量单位时间内变量z均值的变化值；均值的变化值；显然，遵循普通布朗运动的变量显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和是关于时间和dz的动态过程的动态过程; adt 为确定项，漂移率为确定项，漂移率a 意味着每单位时间内意味着每单位时间内x 漂移漂移a bdzadtdxl伊藤过程伊藤过程l普通布朗运动普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的的漂移率和方差率当作变量漂移率和方差率当作变量x和时间和时间t的函数，我们可以普通的的函数，我们可以普通的布朗运动方程得到布朗运动方程得到伊藤过程伊藤过程(Ito Process)： 其中，其

14、中，dz是一个标准布朗运动，是一个标准布朗运动，a、b是变量是变量x和和t的函数，变的函数，变量量x的漂移率为的漂移率为a，方差率为，方差率为b2。 dztxbdttxadx),(),(l证券价格的变化过程证券价格的变化过程证券（股票）价格的变化过程可以用漂移率为证券（股票）价格的变化过程可以用漂移率为S、方差、方差率为率为 的伊藤过程来表示：的伊藤过程来表示：两边同除以两边同除以S得：得：22SSdzSdtdSdzdtSdSl从上式可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：从上式可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：l可见，可见， 也具有正态分布特征也具有正态分布特征 ttSS),(tt

15、SSSStt 例：例：设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年年18%，预期收益率以连续复利计为每年，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市，其目前的市价为价为100元，求一周元，求一周(0.0192年年)后该股票价格变化值的概率分后该股票价格变化值的概率分布。布。 0.200.18SttS 100 0.003840.02490.3842.49S S服从均值为服从均值为0.384元，标准差为元，标准差为2.49元的正态分布的元的正态分布的随机抽样。随机抽样。l伊藤引理伊藤引理 若变量若变量S S遵循伊藤过程，则变量遵循伊藤过程，

16、则变量s和和t 的函数的函数 f 将遵循如下将遵循如下过程：过程： 根据伊藤引理，衍生证券的价格根据伊藤引理，衍生证券的价格 f 应遵循如下过程：应遵循如下过程： 2221()2ffffdfabdtbdzStSSSdzSdtdS22221()2ffffdfSSdtSdzStSS由于由于l证券价格自然对数变化过程证券价格自然对数变化过程 令令 ，由于，由于代入衍生证券的价格方程代入衍生证券的价格方程: : 证券价格对数证券价格对数G G遵循普通布朗运动遵循普通布朗运动, ,且：且： lnfS22211,0fffSSSSt 2()2dfdtdz),)(lnln22tTtTSST例例 设设A股票价格

17、的当前值为股票价格的当前值为50元元,预期收益率为每年预期收益率为每年18%,波动率为每年波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票且该股票在在6个月内不付红利，请问该股票个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格个月后的价格ST的概率的概率分布。分布。例例 请问在上例中，请问在上例中，A股票在股票在6个月后股票价格的期望值和个月后股票价格的期望值和标准差等多少？标准差等多少？ 假设：假设：证券价格遵循几何布朗运动，即证券价格遵循几何布朗运动，即 和和 为常数；为常数；允许卖空标的证券；允许卖空标的证券；没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；没有交易

18、费用和税收，所有证券都是完全可分的；衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；存在无风险套利机会；存在无风险套利机会；证券交易是连续的，价格变动也是连续的；证券交易是连续的，价格变动也是连续的；衍生证券有效期内，无风险利率衍生证券有效期内，无风险利率r r为常数。为常数。 由于证券价格由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：遵循几何布朗运动，因此有：其在一个小的时间间隔其在一个小的时间间隔 中，中，S的变化值的变化值 为：为： 在一个小的时间间隔中，在一个小的时间间隔中，f 的变化值的变化值 为：为：zStSSSdzSfdtSSftfSSfdf)21(

19、2222zSSftSSftfSSff)21(2222 设设f是依赖于是依赖于S的衍生证券的价格，则的衍生证券的价格，则f一定是一定是S和和t的函的函数，根据伊藤引理可得：数，根据伊藤引理可得： SdzSdtdSStf 为了消除风险源为了消除风险源 ，可以构建一个包括一单位衍生证，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和券空头和 单位标的证券多头的组合。单位标的证券多头的组合。令令 代表该投资组合的价值，则：代表该投资组合的价值，则： zSfffSx 在在 时间后，该投资组合的价值变化时间后，该投资组合的价值变化 为：为：ffSS t代入代入 和和 可得：可得：fStSSftf)21(2222tSS

20、ftf)21(2222 中不含任何风险源，因中不含任何风险源，因 此组合此组合 必须获得无风险收益，即必须获得无风险收益，即tr代入上式可得代入上式可得tSSffrtSSftf)()21(2222化简为化简为rfSfSSfrStf222221*这就是著名的这就是著名的布莱克布莱克舒尔斯微分分程，舒尔斯微分分程，它适它适用于其价格取决于标的证券价格用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的的所有衍生证券的定价。定价。 观察布莱克舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观察布莱克舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证观的风险收益偏好的标的证券预

21、期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对何，都不会对f的值产生影响。的值产生影响。假设：假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论尽管这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。的所有情况。 在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于在风险中性的条件下，所有证券的

22、预期收益率都可以等于无风险利率无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。求得现值。这就是风险中性定价原理。 假设一种不支付红利股票目前的市价为假设一种不支付红利股票目前的市价为1010元，我们知元，我们知道在道在3 3个月后，该股票价格要么是个月后，该股票价格要么是1111元，要么是元，要么是9 9元。现元。现在我们要找出一份在我们要找出一份3 3个月期协议价格为个月期协议价格为10.510.5元的该股票欧元的该股票欧式看涨期权的价值。式看涨期权的价值。 由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于由于欧式期权不

23、会提前执行，其价值取决于3 3个月后个月后股票的市价。若股票的市价。若3 3个月后该股票价格等于个月后该股票价格等于1111元，则该期权元，则该期权价值为价值为0.50.5元；若元；若3 3个月后该股票价格等于个月后该股票价格等于9 9元，则该期权元，则该期权价值为价值为0 0。 案例案例 风险中性定价原理的应用风险中性定价原理的应用 为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合。若单位的标的股票多头组成的组合。若3 3个月个月后该股票价格等于后该股票价格等于11 11元时，该组合价值等于元时

24、，该组合价值等于(11 11 0.50.5)元；若元；若3 3个月后该股票价格等于个月后该股票价格等于9 9元时，该组合价值等于元时，该组合价值等于9 9 元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的的 值，使值，使3 3个月后该组合的价值不变，这意味着：个月后该组合的价值不变，这意味着： 11 0.5=9 =0.25 因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.250.25股标的股票。无论股标的股票。无论3 3个月后股票价格等于个月后股票价格等于11 11元还是元还是9 9元，该组合价值

25、都将等于元，该组合价值都将等于2.252.25元。元。30 假设现在的无风险年利率等于假设现在的无风险年利率等于10%10%，则该组合的现，则该组合的现值应为：值应为： 由于该组合中有一单位看涨期权空头和由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.250.25单位股票单位股票多头，而目前股票市场为多头，而目前股票市场为1010元，因此：元，因此： 这就是说，该看涨期权的价值应为这就是说，该看涨期权的价值应为0.310.31元，否则就会存元，否则就会存在无风险套利机会。在无风险套利机会。 元19. 225. 225. 01 . 0e元31.019.225.010ff31 从该例子可以看出，在确定期权价

26、值时，我们并不从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到元的概率和下降到9元的概元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。 事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。下降的概率也就确定了。 例如，在风险中性世界中，无风险利率为例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则，则股票上升的概率股票上升的概率P可以通过下式来求：可以通过下式来求：0.1 0.2510119(1)ePPP=62.66%.32 又如，如果在现

27、实世界中股票的预期收益率为又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式来求：，则股票的上升概率可以通过下式来求：0.15 0.2510119(1)ePPP=69.11%. 可见，可见，投资者厌恶风险程度投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。元。33 在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T 时刻）的期望值为：时刻）的期望值为：)0 ,max(XSET其中，其中， 表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价定价原理，原理，欧式看涨期权的价格欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，风险利率进行贴现后的现值，即：即： )0 ,max()(XSEecTtTrE34tTdtTtTrXSdtTtTrXSddNXedSNXSEectTrTtTr12221