投资组合管理第二次作业计算有效边界及CML

1、第二次作业 龚晓飞目录：一、 数据说明二、 计算有效边界三、 计算最小方差点四、 计算市场组合五、 计算资本市场线六、 计算结果一、数据说明这里选取了中国股票市场的四支股票，计算出了其从2004-2012年的年平均收益率及协方差矩阵。结果如下：编号协方差矩阵预期收益10.10240.03280.0655-0.00670.08 20.03280.0676-0.00580.01840.12 30.0655-0.00580.20250.08230.06 4-0.00670.01840.08230.12960.18 假定无风险利率是0.04。二、计算有效边界假定w 为资产组合的权重向量， 为协方差矩阵

2、，ER 是股票预期收益向量（历史数据的平均值），ERp 为资产组合的收益，p 为资产组合的标准差，e 为各个分量都为1且与 维数相同的列向量，rf 为无风险利率。对于无卖空限制的市场：minw 12ww s.t. w'ER=ERp , i=1Nwi =1. (1)对于有卖空限制的市场：minw 12ww s.t. w'ER=ERp , i=1Nwi =1 , w0. (2)对于第一个优化问题，可以使用Lagrange乘子法直接算出解的显式表达，有效前沿的表达式为：p=e'-1ee'-1e*ER'-1ER-e'-1ER2ERp-e'-1ER

3、e'-1e2+1e'-1e .利用上面的表达式可以直接用matlab或excel画出有效前沿。另外对第一个优化问题，可以用更加简单的方法来画有效前沿。可以证明，给定ERp 后，可以得到与之对应的最小方差p(ERp)，只要赋给ERp 两个不同的值，同时得到两个相应的最小方差组合，这两个资产组合的凸组合可以形成整个有效前沿。也就是说，假定w1 及w2 是两个不同的前沿组合，那么，任何其它的前沿组合都可以用aw1+(1-a)w2 来表达。对于第二个优化问题，无法直接求得显式解，只能使用matlab或excel的二次规划函数（quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub

4、,x0)）来求解出不同的ERp 所对应的最小方差，然后用这两组数据来画出有效前沿。三、计算最小方差点以下所用记号的含义与前面相同，计算最小方差点仍然要分下面两种情况。对于无卖空限制的市场：minw 12ww s.t. i=1Nwi =1 . (1)对于有卖空限制的市场：minw 12ww s.t. i=1Nwi =1 , w0 . (2)对于第一个优化问题，与前面一样可以使用Lagrange乘子法直接算出解的显式表达，最小方差点的收益与标准差的表达式为：ERp=e'-1ERe'-1ep=1e'-1e上面结果也可以直接从下面表达式得到：p=e'-1ee'-

5、1e*ER'-1ER-e'-1ER2ERp-e'-1ERe'-1e2+1e'-1e .当然上述最小方差点也可以用matlab或excel的二次规划程序来直接求解，在matlab中所用的函数为quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)。四、计算市场组合以下所用记号的含义与前面相同，分下面两种情况计算市场组合。市场组合的涵义是所有可行的资产组合中夏普率（Sharpe Ratio）最大的资产组合。夏普率的定义为 w'ER-rfw'w 。于是求市场组合可以归结为解决以下两个优化问题。于无卖空限制的市场：maxw w

6、9;ER-rfw'w s.t. i=1Nwi =1 . (1)对于有卖空限制的市场：maxw w'ER-rfw'w s.t. i=1Nwi =1 , w0 . (2)上述优化问题都可以用matlab或excel的非线性规划函数（fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon) ）来直接求解。对于无卖空限制的情况，市场组合还有另一种特殊的求法。市场组合本身在资本市场线上，因此它也是考虑无风险资产时达到最小方差的一种资产组合。考虑无风险资产时的优化问题为：minw 12ww s.t. w'ER+1-w'erf=ERp . 上式中w 是风险资产的权重向量，1-w'e 是无风险资产的权重。这个优化问题的解可以显式表达出来：w=(ERp-rf)-1(ER-rfe)(ER-rfe)'-1(ER-rfe)上面w 各分量的和不是1，需要将其单位化，即：wt=1wew=-1(ER-rfe)(ER-rfe)'-1ewt 就是市场组合，它也称之为切线组合。五、计算资本市场线资本市场线就是市场组合点与(0,rf)的连线，它也是过(0,rf)点的有效边界的切线。上面已经求得市场组合，求得这个组合的标准差以及收益(wt'wt,wt'ER)。