安徽大学16K试卷模板

1、?微分几何?试题库、填空题1. 设曲线g : r二r；s为曲线c :r =rs在s = o处的近似曲线，,，o分别为曲线c在s=o处 的曲率与挠率，那么曲线 Ci在密切平面上的投影是 。2. 曲面S : r = fu,u2上的单位法向量场为nU,u2，那么其 Wein garten公式是指 :n， i =1,2 用第一、二根本形式系数gLj表示.:u3. 设曲面S : r = Fu2上第一根本形式为 = gijduiduj， ©=©，那么联络系数:kij 4. 曲面S : K=hu1,u2上测地线方程为.5. 设曲面S具有常曲率K，且曲面S上某测地四边形所围成的单连通区域的

2、面积为 A，那么该测地四边形的内角和为.6. 设u,v为曲面S上的正交参数系，那么 Gauss曲率K=.7曲面S : N二卩u,v上渐近曲线的微分方程为 .8. 设uv为曲面上的正交参数系，那么曲面上u曲线的测地曲率 订二 .I9. 曲面S :卜,上测地线方程为.10. 设曲面S为半径为R的球面，曲面S上由测地三角形ABC所围成的单连通区域的面积为A，那么测地三角形 ABC的内角和为 .11. 设曲面S : »=«,上第一根本形式为guduiduj，gij =gij，那么联络系数-k =.I12. 曲面S : r =ru,v上渐近曲线的微分方程为 .13. 曲面s : r二

3、rul,上测地线方程为.14. 可以与平面之间建立局部保长对应的有 , 和这三类曲面.15. 设曲面S为半径为R的球面，曲面S上由测地三角形ABC所围成的单连通区域的面积为A，那么测地三角形 ABC的内角和为.16. 设u, v为曲面s r二bu,v上的正交参数系，贝y Gauss曲率K =.17. 曲面S : r二ru,v上曲率线方程为 .18. 设uv为曲面上的正交参数系，那么曲面上u曲线的测地曲率 * =.19. 设S为L 3中二维全脐曲面，那么曲面S要么为，要么为，或者是它们的一局部。20. 设曲面S具有常曲率K ,且曲面S上某测地四边形所围成的单连通区域的面积为A，那么该测地四边形的

4、内角和为.21 .设曲面S : r = ru1,u2上第一根本形式为Ingjjdddu，©=©，那么联络系数5 =.I22. 曲面S : r =ru,v上曲率线方程为 .23. 可以与平面之间建立局部保长对应的有 ，和这三类曲面.24. 曲面s : r =ru1,u2上测地线方程为.25. 设曲面S具有常曲率K ,且曲面S上某测地四边形所围成的单连通区域的面积为A，那么该测地四边形的内角和为.26. 设u,v为曲面S上的正交参数系，那么 Gauss曲率K=.I27. 曲面S : r =ru,v上渐近曲线的微分方程为 .28. 设u, v为曲面上的正交参数系，那么曲面上u曲线

5、的测地曲率©二 .29. 曲面s : r =ru1,u2上测地线方程为.30. 设曲面S为半径为R的球面，曲面S上由测地三角形ABC所围成的单连通区域的面积二、选择题1. 一条非直线的曲线为平面曲线的充分必要条件是A.二常数.B i二二常数.C三 0 .D三 0.2. 直纹面Nu,v二au v,u为可展曲面的充分必要条件是Aaff=o.Baff=o.Ca,af=o.da,af=o.3. 在曲面片r =ru,v上参数曲线网为渐近曲线网的充分必要条件是A F =M =0 .B L = N= 0.C M =0 .D LN -M2 =0.4. 曲面上以下各几何量为内蕴量的是Gauss曲率，平

6、均曲率，主曲率，联络系数:k ,测地曲率kg，曲率线.A.B.C.D.5. 假设曲面S上点P处的Gauss曲率K ： 0，那么在该点的近似曲面为A抛物柱面.B双叶双曲面.C椭圆抛物面.D双曲抛物面.6. 条非直线的曲线为平面曲线的充分必要条件是A常数.B i二=常数.C i =0 .D 三 0.7. 直纹面u,v =au vfu为可展曲面的充分必要条件是aa,Ff=0 . baff=0.0a,af=0.Da,a,f=。.8. 在曲面片r二卩u,v上参数曲线网为渐近曲线网的充分必要条件是A F 二M=0.B L 二N=0.C M=0. D LN-M2=0.9. 曲面上以下各几何量为内蕴量的是Ga

7、uss曲率，平均曲率，主曲率，联络系数-k，测地曲率g，曲率线.A.B.C.D.10 .假设曲面S上点P处的Gauss曲率K ： 0，那么在该点的近似曲面为(A)抛物柱面.(B)双叶双曲面.(C)椭圆抛物面.(D)双曲抛物面.11. 一条曲线为直线的充分必要条件是(A).二常数.(B)二常数.(D)三 0.Dupin标形为( (D)抛物线.13.在曲面片r二"u,v)上参数曲线网为曲率线网的充分必要条件是12.设曲面S在点P处的Gauss曲率K 0，那么在该点处的(A)椭圆.(B)共轭双曲线.(C)平行直线对.(A) F=M=0 .(B) L=N=0.(C) M =0 .(D)LN-

8、M2 =0.14. 曲面上以下各几何量不是内蕴量的是(A) Gauss曲率.(B)主曲率.(C)联络系数:k .(D)测地曲率kg .15. 以下不可能与平面之间建立保长对应的是(A)柱面.(B)锥面.(C)悬链面.(D)16. 一条非直线的曲线为平面曲线的充分必要条件是(A).=常数.(B) 匸.=常数.(C) . -0 .( D) =0.17.直纹面N(u,v) = a(u) vf(u)为可展曲面的充分必要条件是(a)(af,P)=o.(b)(a,Pf)=0.(c)(a,a,F)=o.(d)(a,a,F)=0.18. 在曲面片r =r(u,v)上参数曲线网为渐近曲线网的充分必要条件是(A)

9、 F 二M=0 .(B) L 二N=0.(C) M =0 .(D) LN -M2 =0.19. 曲面上以下各几何量为内蕴量的是()Gauss曲率，平均曲率，主曲率，联络系数 -k ,测地曲率kg，曲率线.(A).(B).(C).(D).20. 假设曲面S上点P处的Gauss曲率K ： 0，那么在该点的近似曲面为()(A)抛物柱面.(B)双叶双曲面.(C)椭圆抛物面.(D)双曲抛物面.21. 一条曲线为直线的充分必要条件是()(A)二常数.(B)二常数.21. 设曲面S在点P处的Gauss曲率K .0,那么在该点处的Dupi n标形为(A)椭圆.(B)共轭双曲线.(C)平行直线对.(D)抛物线.

10、22. 在曲面片r二"u,v)上参数曲线网为曲率线网的充分必要条件是()(A) F =M =0 .(B) L = N =0.2(C) M =0 .(D) LN - M =0.23. 曲面上以下各几何量不是内蕴量的是(A) Gauss曲率.(B)主曲率.(C)联络系数:k .(D)测地曲率kg.24. 以下不可能与平面之间建立保长对应的是(A)柱面.(B)锥面.(C)悬链面.(D)切线面.25. 条曲线为平面曲线的充分必要条件是(A)=常数.(B)二常数.(C) 三 0 .(D)-三 0.25.曲面上以下各几何量为内蕴量的是-ik，测地曲率kg，曲率线.Gauss曲率，平均曲率，主曲率

11、，联络系数(A).(B).(C).(D).i26. 在曲面片r二卩(u,v)上参数曲线网为渐近曲线网的充分必要条件是()(A) F 二M =0 .(B) L 二 N =0.(C) M =0 .(D) LN -M2 =0.27. 直纹面N(u,v)二玄 vf(u)为可展曲面的充分必要条件是()(a)(af)=0.(b)(aff)=0.(c)(a,a,F)=o .(d)(a,a,F)=0.28 .假设曲面S上点P处的Gauss曲率K ： 0，那么在该点的近似曲面为()(A)抛物柱面.(B)双叶双曲面.(C)椭圆抛物面.(D)双曲抛物面.三、计算题1.设曲线C :r(t) =(t sin t,1 c

12、ost,t), (a >0),(1) 求曲线C的曲率与挠率.(2) 求曲线c在点r(o)处的密切平面方程.2设曲线C : Z(t) =(t _sint,1 _cost,t),(1) 求曲线C的曲率与挠率.(2) 球曲线C在点门(1)处的主法线方程与从法线方程2I JT(3) 求曲线C在点")处的密切平面方程.23设曲线C : Z(t) =(a cost, a sin t ,bt).(1) 求曲线C的曲率与挠率.(2) 球曲线c在点r(o)处的主法线方程与从法线方程(3) 求曲线c在点r(t)处的密切平面方程.4. 设曲线 C : N(t) =(acost,asint,bt)(a

13、 0),(1) 求曲线C的曲率与挠率.(2) 求曲线C的密切平面方程.5. 设曲面 S : N(u,v) =(u v,u-v,2uv) (a 0),(1) 求曲面S的第一根本形式与第二根本形式.(2) 求曲面S的Gauss曲率K与平均曲率H .(3) 求曲面s上点卩(迁,込)处的主曲率r,.6. 设曲线 C :卩=(t -sin t,1 - cost,t), (a 0),(1) 求曲线C的曲率与挠率.(2) 求曲线c在点r(0)处的密切平面方程.7. 设曲线 C : r(t)=(t-sin t,1 -cost,t), (a 0),(1) 求曲线C的曲率与挠率.(2) 求曲线c在点r(0)处的密

14、切平面方程.8. 设曲面S :r(u ,v) =(u cosv, u sin v, u) , (a：0),(1) 求曲面S的第一根本形式与第二根本形式.(2) 求曲面S的Gauss曲率与平均曲率.(3) 求曲面S上点r(1,0)处的主曲率 w.2.9设曲线C : N(t) =(t -sin t,1 _cost,t),(1) 求曲线C的曲率与挠率.I HT(2) 球曲线C在点"一)处的主法线方程与从法线方程.2I qT(3) 求曲线C在点"一)处的密切平面方程.210 设曲面 S :卩(u, v) = (u v,u - v,2uv).(1) 求曲面S的第一根本形式与第二根本形

15、式.(2) 求曲面S的Gauss曲率K与平均曲率H.(3) 求曲面S上点*(迁,辽)处的主曲率r,-.11. 设曲面S :r(u,v) = (u cosv, u sin v, u) , (a 0),(1) 求曲面S的第一根本形式与第二根本形式.(2) 求曲面S的Gauss曲率与平均曲率.(3) 求曲面S上点卩(1,0)处的主曲率2.12. 设曲面 S : r(u,v) =(u cosv,usinv,u) , (a 0),(1) 求曲面S的Gauss曲率与平均曲率.(2) 求曲面S上点*(1,0)处的主曲率宀.四、证明题1 证明：假设曲线C在每一点处的法平面都经过一个定点，那么该曲线必是一条球面曲线.2设曲面S上的曲线C是曲率线，证明曲面S沿曲线C的法线构成一个可 展曲面.3.证明极小曲面上点只可能是双曲点或平点.4设非直线曲线C的密切平面处处平行，证明曲线 C是平面曲线.5设C为曲面S上一条曲线，且曲面S沿曲线C的法线构成一个可展曲面， 证明C为曲率线.6. 设非直线曲线C的密切平面处处平行，证明曲线 C是平面曲线.7. 证明：极小曲面上没有椭圆点.8. 设曲面S上的曲线C是曲率线，证明曲面S沿曲