基本不等式及其应用9

1、基本不等式的应用基本不等式的应用一、复习引入：一、复习引入：1.重要不等式：重要不等式：22,R,2( )a bababab 如果那么当且仅当时取号2.定理：定理： +,R ,( ).2a ba babab 如果那么当且仅当时取号3.公式的等价变形：公式的等价变形： 222,R,()22ababa babab 如果那么4.0,2( )baababab 如果那么当且仅当时取号2225.2()()abab结论例例1.已知已知x、y都是正数，求证：都是正数，求证：(1)如果积如果积xy是定值是定值P,那么当那么当x=y时，和时，和x+y有最小值有最小值;2 P(2)如果和如果和x+y是定值是定值S,

2、那么当那么当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值.412S证明：因为证明：因为x,y都是正数，所以都是正数，所以 xyyx 2(1)积积xy为定值为定值P时，有时，有Pyx 2Pyx2 上式当上式当 x=y 时，取时，取“=”号，号，因此，当因此，当 x=y时，和时，和 x+y有最小值有最小值P2(2)和和x+y为定值为定值S时，有时，有,2Sxy 上式当上式当x=y时取时取“=”号，因此，当号，因此，当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值241S241Sxy 二、讲解范例：二、讲解范例：(1)两个正数的和为定值，其积有最大值两个正数的和为定值，其积有最大值.(2)两个正数的积为定值，其和

3、有最小值两个正数的积为定值，其和有最小值.但应注意三个方面：但应注意三个方面：)函数式中各项必须都是正数函数式中各项必须都是正数;)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；)等号成立条件必须存在等号成立条件必须存在. 一正，二定，三相等一正，二定，三相等 结论结论:利用均值定理求最值利用均值定理求最值1y=x+x 0 x求函数（ ， ，且，求的最小值，12x 0y 0+=1x+xyy变式：已知 ， ，且，求的最大值，2222a +b1,1,ax+byxy已知：求的最大值2222a +b1,2,ax+byxy变式：已知求的最大值例例4.若若x0，y0，且且

4、x+y=2，求求x2+y2的最小值的最小值解解：x2+y2 2xy， 2(x2+y2) (x+y)22)(222yxyx x+y=2，x2+y2 2即即x2+y2的最小值为的最小值为2当且仅当当且仅当x=y=1时取得最小值时取得最小值 1求函数求函数y=(1 3x)x (0 x0)的最小值，并求相应的的最小值，并求相应的x的值的值 解：解：111) 1(11 xxxxy x 0， x+10，011 x由由x+1=11 x得得x=011 xx (x 0)有最小值，最小值是有最小值，最小值是y=1当当x=0时时y=112111)1( xxy例例3.求函数求函数41622 xxy的最大值的最大值3)

5、1(164162222 xxxxy解：解：131622 xx3213122 xx3326 y22,131222 xxxx即即当且仅当当且仅当 时取得最大值时取得最大值 (2)(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.解：解：x，y都是正数 xy2 0 xy x20， y20，x30，y30 x2y22 022x y x3y32 033x y(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3 即(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3. xy22x y33x y2 2 2（当且仅当x=y时，式中取等号）（当且仅当x=y时，式中取等号）4.随堂练习随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证(ab)(bc)(ca)abc 分析分析：对于此类题目，选择定理： 2abab（a0，b0）灵活变形，可求得结果. 解解：a，b，c都是正数 bc2