2019-2020年江苏省高三模拟考试数学试卷

1、高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式:1锥体体积公式：V=Sh,其中S为底面积，h为局.3圆锥侧面积公式：S= M ,其中r为底面半径，l为母线长.一、 填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共1t 70分.1 .已知集合 A = 0, 1, 2,集合 B = 1, 0, 2, 3,则 AAB=.2 .函数f(x)=lg (3-x)的定义域为 .,3 .从1, 2, 3, 4, 5这5个数中，随机抽取 2个不同的数，则这 2个数的和为6 ; 7一的概率是I *2；while r0的实数x的取值范围是 .9 .右 2cos 2 a= sinQ a 处 町，则

2、sin 2 a=.10 .已知 ABC是边长为2的等边三角形，D, E分别是边AB, BC的中点，连结 DE并延长到点F,使得DE = 3EF,则AF bC的值为.11 .已知等差数列an的公差为d(dw0),前n项和为Sn,且数列，Sn+n也为公差为d的等差 数列，则 d =.1 412 .已知 x0, y0, x+y = x + y,贝U x+y 的最小值为 .13 .已知圆O: x2+y2=1,圆M：仅一0)2+82)2=2.若圆M上存在点P,过点P作圆。的两 条切线，切点为 A, B,使得PAXPB,则实数a的取值范围为 .14 .设函数 f(x) = ax3+ bx2+ cx(a,

3、b, cC R, aw).若不等式 xfx)af(x)w 2 对一切 xC R 恒成b -I- c立，则山的取值范围为 a二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)在 ABC 中，角 A , B, C 所对的边分别为 a, b, c,且 ccos B + bcos C=3acos B.2求cos B的值;(2)若 |CA CB|= 2, ABC 的面积为 2y2,求边 b.16 .(本小题满分14分)如图，在四棱锥 VABCD中，底面ABCD是矩形，VD，平面ABCD ,过AD的平面分别与 VB ,VC交于点M , N.(1

4、)求证：BC，平面VCD;(2)求证：AD / MN.17 .(本小题满分14分)某房地产商建有三栋楼宇 A, B, C,三楼宇间的距离都为 2千米，拟准备在此三楼宇围成 的区域ABC外建第四栋楼宇 D,规划要求楼宇 D对楼宇B, C的视角为120。，如图所示，假设楼宇 大小高度忽略不计.(1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；(2)当楼宇D与楼宇B, C间距离相等时，拟在楼宇A, B间建休息亭E,在休息亭E和楼宇A,a,D间分别铺设鹅卵石路 EA和防腐木路ED,如图.已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为2a(单位：元/千米，a为常数).记/ BDE= 为求铺设此鹅卵石路和防腐

5、木路的总费用的最小值.(2)18 .(本小题满分16分)22已知椭圆C: X2 + b2=1(ab0)的长轴长为4,两准线间距离为4亚.设A为椭圆C的左顶点, 直线l过点D(1 , 0),且与椭圆C相交于 巳F两点.求椭圆C的方程；若4AEF的面积为 标，求直线l的方程；已知直线AE,AF分别交直线x=3于点M, N,线段MN的中点为Q,2设直线l和QD的斜率分别为k(kw。)，k求证：k 凶定值.19 .(本小题满分16分)设数列an是各项均为正数白等比数列，ai=2, a2a4 = 64,数列bn满足：对任意的正整数n,都有 aibi + ab2+ + anbn= (n1) 2n 1+2.

6、(1)分别求数列an与bn的通项公式；(2)若不等式 入2b；j r h-2b-j= 对一切正整数n都成立，求实数入的取 值范围；(3)已知kC N*,对于数列bn,若在bk与bk+1之间插入ak个2,得到一个新数列5.设 数列Cn的前m项的和为Tm,试问：是否存在正整数 m.使得Tm=2 019?如果存在，求出 m的值； 如果不存在，请说明理由.20 .(本小题满分16分)已知函数 f(x) = aln x bx(a , b C R).(1)若a=1, b=1,求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程；(2)若a=1,求函数y=f(x)的单调区间；(3)若b=1,已知函数y= f(x)在

7、其定义域内有两个不同的零点x1, x2,且x1x2.不等式a0)恒成立，求实数 m的取值范围.2019届高三年级第一次模拟考试(二)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21 .(本小题满分10分)求函数y=3cosj2x 3和图象在x= 12处的切线方程.22 .(本小题满分10分)已知定点A( 2, 0),点B是圆x2+y28x+12=0上一动点，求 AB中点M的轨迹方程23 .(本小题满分10分)AC = 4, AAi=3, D 是 BC 的中点.在直三棱柱 ABCAiBiCi中，已知 ABAC, AB = 2, 求直线DCi与平面AiBiD所成角的正弦值；(2)求二面角BiD

8、CiAi的余弦值.24.(本小题满分i0分)已知x, y为整数，且xy0 , 帆, + y2)ncosn 0, Bn= (x2+ y2)nsin n 0 .(i)试用x, y分别表示Ai, Bi；(2)用数学归纳法证明：对一切正整数n, An均为整数.x cos 0= Fx-y2工7sin 0= 2 1y 2,记 An=(x22019届高三年级第一次模拟考试(二)(镇江)数学参考答案1. 0,2 2. x|x 0, （6 分）则 cos B = 1.（7 分） 3（2）因为 BC（0,九 则 sin B0 , sin B =1 cos2B =l =232.（9 分）因为 |CA CB|=|bA

9、|=c=2, （10 分）又 S= :acsin B= jax 2xp=2/2, 223解得a= 3.（12分）由余弦定理得，b2= a2+c22accos B= 9+4 2 x 3X 2 x；= 9,则 b=3.（14 分）3故边b的值为3.16 .（1）在四棱锥 VABCD中，因为 VDL平面 ABCD , BC?平面ABCD ,所以VD BC.（3分）因为底面ABCD是矩形，所以 BCCD.（4分）又 CD?平面 VCD , VD ?平面 VCD , CD n VD = D ,则BC，平面 VCD.（7分）（2）因为底面ABCD是矩形，所以 AD /BC, （8分）又AD ?平面VBC

10、, BC?平面 VBC ,则AD /平面 VBC , （11分）又平面 ADNM n平面 VBC = MN , AD ?平面 ADNM ,则 AD / MN.（14 分）17 .（1）因为三楼宇间的距离都为2千米，所以 AB=AC = BC = 2, （1 分）因为楼宇D对楼宇B, C的视角为120,所以/ BDC = 120, （2 分）在4BDC 中，因为 BC2 = BD2+DC22BD- DC cos/ BDC , （3 分）所以 22= BD2+CD22BD CD- cos 120= BD2 + CD2+ BD CD2BD CD + BD- CD = 3BD- CD,则 BD CD函

11、数f（的增函数.所以当0=, f（瞰最小值,i 人,1 + 2sin 0，令f （=0方解得此时 ymin=4a（元）.（12 分）答：（1）四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为峥平方千米;3（2）铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元.（14分）18. （1）由长轴长2a= 4,准线间距离22Xac=4也解得a= 2, c=m,（2分）则 b2= a2 c2= 2, 22即椭圆方程为：+y = 1.（4分）(2)若直线l的斜率不存在，则 EF=乖, AEF的面积S = 2AD-EF = 3*不合题意；(5分)若直线l的斜率存在，设直线l: y = k(x-1),代入得，(

12、1+2k2)x2-4k2x+ 2k2-4=0,因为点D(1, 0)在椭圆内，所以 A 0恒成立.设点 E(xi, y) F(x2, y2),皿4k*/2/3k2+2则八2= 2(? +V)，(6分)l-r222 2走x/3k2+2EF=q (x 一x2)十 ( yi y2) =/1 + k |xi x2|= V1 + k d , O1-2 .(7 分)1十2K点A到直线l的距离d为j3|K| , (8分),1 + K2则AAEF的面积sSdEF.早/口 呼苧=对2sm=皿，(9分)22 W + k1 + 2K1+2K解得K= 虫.综上，直线l的方程为x-y-1 = 0或x+y1 = 0.（10

13、分）(3)设直线 AE: y = xT2(x+2),令x=3,得点M消2j,一5y2同理可得点 N 3, x；+i 所以点Q的坐标为2 （普丁+2（：% ）（12分） 所以直线QD的斜率为K= 473 +xy2 （13分）而 *7 + *= K I1) + K (XL J =x1 + 2 x2+2x+2x2+2f 2x1x2+x1 + x2-4K 11x2 + 2 (x + x2)+4 J(14 分 )(15 分)2 k2 4由(2)中得，x1+ x2= 1 + 2k2, x1x2= 1 +2卜2,代入上式得，y1y2l j4K2-8+4K24 (1 + 2K2) x1 + 2 + x2+ 2

14、 = K! 2K24+8K2+4+8K2 ;12K2218k23k.则K =-56K.5 .所以k 忆一 6为7E值.(16分)19.(1)设等比数列an的公比为q(q0),因为 a=2, a2a4= aiq aiq3= 64,解得 q=2,则 an= 2n.(i 分)当 n= 1 时，aibi = 2,则 bi = 1, (2 分)当 n2 时，abi + a2b2+ anbn= (n_ 1) 2n 1 + 2, aibi + a2b2+ an ibn i= (n - 2) 2n+ 2, 由一得，anbn= n 2n,则 bn= n.因为 G-%-41G-2n)。,n都成立,当入w。时，不等

15、式显然成立；（5分）1入111设 f(n) = (1 2)(1 4)(1 -2n)N2n+ 1,则402n+ 1 /2n+ 3，4n2+8n+32n+24n2 + 8n+ 4f(2)f(3) f(n) ,13所以予f(n)max=f(1)= Q , 2贝 u 0入 233,综上入驾3.（8分）3 在数列cn中，从bi至bk（含bk项）的所有项和是:(1+2+3+ k) + (21+22+ 2k 1)x2=k ； 1)+2k+1 4.(10 分) 当 k=9 时，其和是 45+210-4= 1 0652019, (12 分)又因为 2 019- 1 065=954 = 477X2, (14分)所

16、以当 m= 9+(2+22+ 28)+ 477=996 时，Tm=2 019.即存在 m=996,使得Tm=2 019.(16分)20.当 a= 1, b= 1 时，f(x) = ln x-x, (1 分)则 f (x)11,则 f (句；一1 = 0.(3 分) x1又 f(1)=1,则所求切线方程为 y= 1.(4分)(2)当 a= 1 时，f(x) = ln x bx,则f，(x) - - b = -, (5 分) x x由题意知，函数的定义域为(0, +8),若b01成立，则函数f(x)的增区间为(0, +8)； (6分)1若b0,则由f(x)0,得x 二 当xC b 1 ;忖，f (

17、x) 0则函数f(x)的单调增区间为o, b (7分)当xC +寸，f (x)0时，函数f(x)的单调增区间+ 0 .(3)因为x1，x2分别是方程 aln x x=0的两个根，即 aln x1 = x1，aln x? = x2.两式相减 a(ln x2ln x1) = x2 x1, 1, x2 Xi -则a=, (9分),X2lnX1则不等式a0),可变为X2 x1X2 ln(1 m)x1 + mx2,邃-1两边同时除以X1得，X11 -m+mx2, (10分)X2 lnx;X1aX2t 1. .令t =,则-0 , In t0,LL r、r .t - 1.,所以 In t-1 _m+mt0

18、 在 tC(1, +8)上恒成立，(11 分)4t 1 ，令 k(t) = ln t-则 k传1 - m+ mt2(m 1)1 ,当m2时，k (t)%(1, +8)上恒成立,则k(x)在(1, +oo )上单调递增，2t (1 m + mt)m2 (t- 1)(m 1)21I2mJ(t1) m2t ( m 1) 22,t (1 m+ mt)又k(1)=0,则k(t)0在(1, +8)上恒成立；(13分)当(1 m) 2r 一1 71 ,即 0m2时,(1 m)-加，k (t)0则 k(x)在1,(1 m) 2,比单调递减,则k(x)2.(16分)21.因为 y=3cos2x-y所以 y= 6

19、sin?x 3 j, (4 分)所以函数图象在x = 12处的切线斜率k = 6sinj3；= -6.(6分)当x =,y=3cos3 0, (7 分)所以所求切线方程为y0= 612/,即 y= 6x+金.(10 分)22 .设点 M(x , y),点 B(x。, y).因为M为AB的中点，dX0 -2yo + 0 八所以 x=-2-, y = -2-，(4 分)所以 Xo=2x+2, y0=2y.(6 分)将点 B(xo, yo)代入圆 x2+y28x+12 = 0 得(2x 2)2 + 4y2=4,化简得(x-1)2+y2=1.即点M的轨迹方程为(x 1)2 + y2= 1.(10分)2

20、3 .(1)在直三棱柱 ABCAiBiCi 中，有 AB LAC , AAiAB , AAJAC,故可以AB , AC, aAi为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.（1分）因为 AB = 2, AC =4, AA1 = 3,所以 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 4, 0), A1(0, 0, 3), B1(2, 0, 3), C1(0, 4, 3).因为D是BC的中点，所以D(1 , 2, 0).所以 DC=(1, 2, 3).设n 1=(x，y,4)为平面A1B1D的法向量, 因为 AB1 = (2, 0, 0), 跄=(1, 2, 3),A. A1B1 n1 = 0, 所以旧1 D n 1 0,2x1 = 0, 即x + 2y 一 3z1 = 0,13m = (0, 3, 2). (3 分)令y1=3,则x = 0, z = 2,所以平面 A1B1D的一个法向量为设直线DC1与平面A1B1D所成的角为0,则 sin 仁 CU5 DC, n 1 |=12= 82,.13X 1491所以直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值为 唔82.（5分） 9 1. . ，,一-，一 -(2)由知DC1 = (T,