《极坐标系》导学案(共10页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第2课时极 坐 标 系1.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用.2.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.李先生是个外地人,他想到市教育局去,却不知道该怎么去.于是他向路人询问去市教育局如何走?路人说市教育局就在我们现在的位置东南方3公里处.请问路人的回答,能让李先生找到目的地吗?“在我们现在的位置东南方3公里处”是一个确定的位置吗?问题1:极坐标系的建立在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位和角的正方向(通常取方向),这样就建立了一个

2、平面极坐标系,简称为. 问题2:对于平面内任意一点M,用表示点M到极点O的距离,用表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中叫作,叫作,有序数对(,)就叫作点M的,记为. 问题3:将点M的极坐标(,)化为直角坐标(x,y)的关系式为. 问题4:将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(,)的关系式为. 1.在极坐标系中,点M(-2,6)的位置,可按如下规则确定().A.作射线OP,使xOP=6,再在射线OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使xOP=76,再在射线OP上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使xOP=76,再在射线OP的反向延长线上取点

3、M,使|OM|=2D.作射线OP,使xOP=-6,再在射线OP上取点M,使|OM|=22.若1+2=0,1+2=,则点M1(1,1)与点M2(2,2)的位置关系是().A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称D.关于过极点且与极轴成4的直线对称3.点P的直角坐标为(-2,2),那么它的极坐标可表示为. 4.在极坐标系中作下列各点,并说明每组中各点的位置关系.(1)A(2,0)、B(2,6)、C(2,4)、D(2,2)、E(2,32)、F(2,54)、G(2,116);(2)A(0,4)、B(1,4)、C(2,54)、D(3,54)、E(3,4).

4、化极坐标为直角坐标分别把下列点的极坐标化为直角坐标.(1)(2,6);(2)(3,2);(3)(4,23);(4)(4,-12).极坐标的概念已知极坐标系中点A(2,2),B(2,34),O(0,0),则AOB为().A.等边三角形B.顶角为钝角的等腰三角形C.顶角为锐角的等腰三角形D.等腰直角三角形极坐标与直角坐标间的互化在极坐标系中,点P(2,3)和点Q(4,56)之间的距离为. 把下列各点的极坐标化为直角坐标,并判断所表示的点在第几象限.(1)(2,43);(2)(2,23);(3)(2,-3);(4)(2,-2).在极坐标系中,已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2,3),

5、B(2,),C(2,53).(1)判断ABC的形状;(2)求ABC的面积.极坐标平面内两点P(4,32)、Q(,-4)之间的距离为10,则=. 1.在极坐标系中,若点A、B的坐标分别是(2,3)、(3,-6),则AOB为().A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.将极坐标(6,43)化为直角坐标为().A.(-33,3) B.(-33,-3)C.(-3,-33)D.(-3,33) 3.在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为(3,3)、(4,6),则AOB(其中O为极点)的面积为. 4.在极坐标系中,已知三点M(2,53),N(2,0),P(23,6

6、).(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.在极坐标系中,已知两点A(2,4),B(2,54),且ABC为等腰直角三角形,求直角顶点C的极坐标与该三角形的面积.考题变式(我来改编):第2课时极 坐 标 系知识体系梳理问题1:极轴逆时针极坐标系问题2:极径极角极坐标M(,)问题3:x=cos,y=sin问题4:2=x2+y2,tan=yx(x0)基础学习交流1.B当<0时,点M(,)的位置按下列规定确定:作射线OP,使xOP=,在OP的反向延长线上取|OM|=|,则点M就是坐标(,)的点,故选B.2.A因为点(,)关于极轴所在的直线对称的点为(

7、-,-),由点M1(1,1)和M2(2,2)满足1+2=0,1+2=,可知点M1与M2关于极轴所在的直线对称.3.(2,34)(答案不唯一)直接利用极坐标与直角坐标的互化公式求解,即=(-2)2+(2)2=2,tan =-1.因为点P在第二象限,所以可取一个极角为34.4.解:(1)所有点都在以极点为圆心,半径为2的圆上.点B、G关于极轴对称,点D、E关于极轴对称,点C、F关于极点对称.(2)所有点都在倾斜角为4,且过极点的直线上.点D、E关于极点对称.重点难点探究探究一:【解析】(1)x=cos =2cos6=3,y=sin =2sin6=1.点(2,6)的直角坐标为(3,1).(2)x=c

8、os =3cos2=0,y=sin =3sin2=3.点(3,2)的直角坐标为(0,3).(3)x=cos =4cos23=-2,y=sin =4sin23=23.点(4,23)的直角坐标为(-2,23).(4)cos12=1+cos62=1+322=6+24,sin12=1-cos62=1-322=6-24,x=cos =4cos(-12)=4cos12=6+2,y=sin =4sin(-12)=-4sin12=2-6.点(4,-12)的直角坐标为(2+6,2-6).【小结】严格按照x=cos,y=sin进行转化,注意准确计算.探究二:【解析】显然OA=2,OB=2,AOB=4,由余弦定理得

9、AB=OA2+OB2-2OA·OB·cosAOB=2,故OB=AB,ABO=2,即AOB为等腰直角三角形.【答案】D【小结】极坐标中的和分别表示到极点的距离和极轴逆时针转过的角度.探究三:【解析】(法一)由公式x=cos,y=sin ,得点P(2,3)和点Q(4,56)的直角坐标分别为P(1,3)和Q(-23,2),由两点间的距离公式得|PQ|=(1+23)2+(3-2)2=25.(法二)在极坐标系中,已知点P(2,3)和点Q(4,56),故POQ=2,所以|PQ|=22+42=25.【答案】25【小结】如果极坐标系中的两点确定,那么它们之间的距离也确定,可以把各点极坐标转

10、化为直角坐标,在平面直角坐标系中计算,也可以利用极径、极角的定义和余弦定理在三角形中计算.思维拓展应用应用一:(1)由题意知x=2cos43=2×(-12)=-1,y=2sin43=2×(-32)=-3,即点(2,43)的直角坐标为(-1,-3),是第三象限内的点.(2)由题意知x=2cos 23=-1,y=2sin 23=3,即点(2,23)的直角坐标为(-1,3),是第二象限内的点.(3)由题意知x=2cos(-3)=1,y=2sin(-3)=-3,即点(2,-3)的直角坐标为(1,-3),是第四象限内的点.(4)由题意知x=2cos(-2)=2cos 2<0(2

11、<2<),y=2sin(-2)=-2sin 2<0,即点(2,-2)的直角坐标为(2cos 2,-2sin 2),是第三象限点.应用二:(1)画图可知,A、B、C三点都在以极点为圆心,2为半径的圆上,且所对的圆心角均为23,|AB|=|AC|=|BC|,ABC为正三角形.(2)由(1)知12|AB|=2sin 3,|AB|=23,ABC的面积为S=12×23×23×32=33.应用三:2或32根据x=cos ,y=sin ,得P、Q的直角坐标分别为P(0,-4)、Q(22,-22).|PQ|=(0-22)2+(-4+22)2=10,解得=2或=3

12、2.基础智能检测1.B由题意知AOB=3-(-6)=2,故选B.2.C由公式x=cos,y=sin,得x=6×(-12)=-3,y=6×(-32)=-33,所以直角坐标为(-3,-33),选择C.3.3结合图形,AOB的面积S=12OA·OB·sin(3-6)=3.4.解:(1)将三点坐标代入公式x=cos,y=sin,可知点M的直角坐标为(1,-3),点N的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(3,3).(2)kMN=32-1=3,kNP=3-03-2=3,kMN=kNP,M、N、P三点在同一条直线上.全新视角拓展(法一)利用坐标转化.点A(2,4)

13、的直角坐标为(2,2),点B(2,54)的直角坐标为(-2,-2),设点C的直角坐标为(x,y).由题意得ACBC,|AC|=|BC|.AC·BC=0,|AC|2=|BC|2,于是(x-2,y-2)·(x+2,y+2)=0,即x2+y2=4.(x-2)2+(y-2)2=(x+2)2+(y+2)2,即y=-x.将代入得x2=2,解得x=±2,x=2,y=-2或x=-2,y=2,点C的直角坐标为(2,-2)或(-2,2).=2+2=2,tan =-1,=74或34,点C的极坐标为(2,34)或(2,74).SABC=12|AC|·|BC|=12|AC|2=12×8=4.(法二)设点C的极坐标为(,)(>0,0<2),|AB|=2|OA|=4,C=2,|AC|=|BC|,|AC|