第七讲完备市场理论

1、第 7 讲 完备市场理论6.1 Arrow-Debreu 证券和完备市场记号： Equation Chapter 6 Section 1资产i :当前价格p = (Pi,K,Pn)T ；期末价格ysi ； 状态依存价格矩阵： Y = (y1,K ,yn) = (ysi) 收益率矩阵 R = (Rsi) = YD-P1Arrow-Debreu 证券和可保险状态定义 0.1 :若存在一个资产组合 a 的状态依存收益为Ra = is = (0,K 0,1, 0,K 0)Ts则称其为对应状态s的Arrow-Debreu证券(A-D证券),称状态s为可保险的(Insurable state);而组合a的

2、投资成本1T a = q为状态s的状态价格。回忆第3章定义：YTq = p，或R Tq = 1定理0.1 :将R的行向量记为Rsx,则状态s可保险的充分必要条件是：R sx与R 1?,K R s i?Rs鬃K Rs线性无关。【证明】必要性：用反证法。假设as是对应于状态s的A-D 证券，满足 Ras = i s ，这意味着：R sxas = 1R tTxa s = 0 t ? s若存在常数 l s (s = 1,K ,s- 1,s+ 1,K ,S)，使得R s«= ? l s R ss1 s上式两边同乘以 a ，得到R b = ? l s R T as1 s但由假设上式左端为 1，右

3、端等于零，矛盾。充分性：若R sx与 R中其他行向量线性无关，则Rank( R,is) = Rank( R)这就是说，is可以写为R中各列向量的线性组合：存 在 a = (a1,K ,aN ) ，使得i s = Ra完备市场及其 s 基金分解定义0.2 :如果对任何未来状态s(s= 1,K,S)，都存在组合as,使得Ra s = i s则称经济是一个 完备市场(complete market),否则 称为不完备的。市场完备 < = >经济中存在S只收益收益率线性无 关的资产如果市场是完备的，每一种普通证券的收益都可 以通过A-D证券复合而得：S(6.1)y = (yi,K ,ys)

4、T = ? ysiss= 1这称为完备市场的S基金分解。相应地，普通资产的 定价公式：SPi = ? ysiqsi = 1,K , n.(6.2)s= 16.2完备市场中的帕累托效率经济效率：商品经济与金融经济差别在确定性的消费经济模型中，经济个体的偏好总 是定义在现存的商品集上，所以福利经济学第一定理 断言竞争均衡总是导致帕累托有效。在不确定性经济中，个体的偏好是定义在未来各种可能状态下的收益上的，而市场中存在的金融资产 可能不足以让个体将其未来收益调整到其最优的水 平，此时帕累托有效条件就无法实现。= 完备市场为经济中的个体提供了所有可能状态之间的财富交换 机会，在完全竞争均衡中经济将达到

5、帕累托有效状态。帕累托有效条件考虑一个单期投资-消费经济。 个体k在时刻t = 0的消费量记为Xko，时刻t = 1能消费的财富为Xks记个体k的初始禀赋为(Xko, xk)。任何一种可行的 配置(Xko, x k), k? K，必然要满足以下的禀赋约束：Xksk Kk挝s 1,K ,S.(6.3)如果自然在时刻t = 1实现的状态是s? S，个体 获得的消费效用为Uk(XeXks)；期望效用函数是SUk(Xk0,Xk) = ? PksU(Xk0,Xks)(6.4)s= 1帕累托有效配置问题:5max ? P1sU1(X10,xQ(XkO, x k)k?KS= IS? PksUk(Xk0,Xk

6、s)彻L?k s= 1邋Xk0 £ k挝K邋Xks ? k挝Ks.t.1(6.5)Xkok KXksk K1,K,SL函数:SL =邋 P1sU1(X10,xQ-s= 1Klk=2PksUk(Xko,Xks)- UkXko-Xk0Kxks -? xksk KFOC:S?s= 1P1s?u1(x1o，x1s)?X10(6.6)Sk?s=1k pksP1s?U1(X10,xQ = f?X=1s?Uk(Xk0,Xks) _ fPks c= f?Xk0?Uk(Xk°,Xks) _ f=f s?Xks由于Uk（Xk0，Xks）是凹函数，充分条件。综合各式得：s = 1,K ,S.k

7、喂K, k 1=1,K ,S; k? 1.(6.7)(6.8)(6.9)上述必要条件同时还是7MRS：。=Pks抖4(XkO,Xks)/ Xksfs? S=1Pks抖Uk(Xk0,Xks)/ Xkoall s, k (6.10)A-D证券世界假设存在所有S种可能状态的A-D证券。个体k面临的问题是:Smax ? PksUk(Xk0,Xks)Xk0, Xk s=1Ss.t. Xk0 + ? qsXks = Wks= 1(6.11)一阶必要条件整理后可得Pks抖Uk(Xk0,Xks)/ Xks= ? sPks 抖Uk(Xk0,Xks)/ Xk° _ Pks扎k(Xk0Xs)/ Xksqs

8、Pkt抖ik(Xk0,Xkt)/ XktqtMRS：。MRSktk0>s (6.12)s,t ? S.9(6.13)= 经济达到了帕累托有效。普通证券的交换经济中不存在直接的A-D证券买卖，个体只能投资于n = S种收益线性无关的普通证券。记 ak = (ak1,K ,akn)T为个体k的投资组合，期末获得的状ssPks抖Uk(Xk0,Xks)/态依存收益为:Xks =n=?aki Rsii = 1smax 邋PksUk(Xko,XkO，a k s=1nS.t. XkO + ? aki =i = 1naki Rsi ) i= 1Wk(6.14)FOC:Uk(XkO，Xks)ml k =

9、Oi =1,K ,n% = ?s PksRsi -Xks(6.15)抖1 =叽Uk (XkO, Xks)? sPksX-kO l k = O(6.16)整理后得：从而，个体的组合投资问题是:Pks抖Jk(x k0, Xks”xks RsiXkoi = 1,K ,n.Pks抖k(XkO,Xks" XksRsi = 1s ? t?sPkt抖Jk(XkO,Xkt)/ Xko Si记 MRSk = (MRS：,o,K ,MRsS,o)T，上述 n 个等式的矩 阵形式:10#TkR (MRS ) = 1(6.17)11两边左乘一个(RT)-1，得到：状态价格性质MRS k = (RT)-11

10、= (R T)-1( RT q) = q "k76.18)与( 6.10)比较，此时的帕累托效率得到了保证实际完备市场完备市场内R-1存在在不完备市场中，矩阵R的秩小于S，线性方程 组(6.17)的解不是唯一的：如果经济中收益不相关 的证券数量n小于可能的自然状态数S，均衡时不同个 体k的边际替代率MRS：。可能是不相同的，帕累托有 效条件不能保证。不过，即使是Rank( R)< S，也不能断言均衡时 一定存在资源配置效率损失。定义0.3 :如果Rank( R)< S，但经济均衡达到了帕 累托有效，称这样的市场是 实际完备的(efficie ntly complete )

11、。查看教材上例子6.3时间可加效用函数和一致的信念时间可加效用函数Uk(Xk0,Xks) = Vko(Xko) + Vk(Xks)(6.19)期望效用:Uk(Xk0,Xk)= Vk0(Xk0)+ ? PksVk(Xks)(6.20)k=1帕累托最优分配法则(Pareto optimal sharing rules :个体消费量与社会总消费量的严格单增函数关系 定理0.2 :假设个体的效用函数如(6.19)，并且经济中 所有个体对未来不确定世界有相同的信念："k,j?l,PksPjs = PsS= 1,K,S(6.21)那么在任何一个帕累托有效配置中，必然存在与未来 状态s无关的严格单

12、增函数fk(庆使得xks = fk(Xs) s= 1,K ,S (6.22)其中Xs是所有个体在状态s下的消费总量。【证明】在效用函数(6.19)及相同信念条件(6.21)下，帕累托有效问题的一阶条件(6.6) (6.9)分别简化为：VkXk0)= f 0(6.23)PsVkXks) = fs s= 1,K ,S(6.24)lkVk«Xk0)=f°k ? 1(6.25)l kPsVkXks) = fs s = 1,K ,S; k ? 1(6.26)令11 = 1，这四个式子又可以简写为：lkVkMXko)= I jVjo(Xjo)"k,j?K(6.27)l kVk

13、S(Xks) = I jVjs(Xjs)"k,j ? K;s 1,K ,S.(6.28)欲证明：如果Xs > Xt ,必然有Xks > Xkt o事实上， 当 Xs > Xt 时， 至少存 在 一个 个 体 j ? K ， 满 足 Xjs> X j；因为Vj仔是严格凹函数，其一阶导数Vj窃是 严格单减函数，从而(注意 l j > 0)I jVjZ(Xjs) < I jVjt(Xjt) 由(6.28)，对任意个体 k ? K ，都有I kVkl(Xks) < I kVkt(Xkt)而Vk(是严格凹函数，其一阶导数 Vk窃是严格单减函 数，故有X

14、ks > Xkt成立。亚状态 推论 0.1 ：(1 )在定理 6.2 成立的条件下，所有个体 在未来各状态下消费间的大小顺序相同，并且与社会 总消费Xs,s? S的大小顺序一致；(2)若存在s,t ? S ? Xs = Xt ,则对任何个体k ? K都 14必然有Xks = Xkt，并且(6.29)生=9PsPt【证明】只需证明最后一个推断(6.29)。根据帕累托 有效条件(6.10),"k? K.t qtPsVkg) _ fs = qsPtVk(Xkt)由条件Xks = Xkt ,生二AlPsPt因此，消费者没有必要区分社会总消费相等的那 些状态。将原来的状态集合S中所有总消

15、费相等的状 态一一合并为一个个 亚状态 (mega state :W= wlw? S,Xs?w Xw,Xw 构Xw«W w$ 相应地定义个体的信念及(亚)状态价格：Pw = ? Ps，qw = ? qs = bwPw(6.30)s?ws?w其中 bw = qs/ps (s ? w)。推论：只要经济中对每一个亚状态都存在对应的A-D证券，经济即可达到帕累托有效。or：如果Xs不 同的状态数量是S尬S，那么经济中只要存在S只收 益无关的普通证券即成为一个实际完备的市场。定价公式:Pi =邋 q$yss挝S=邋?W蜽Bqsys 骣？ Psysi s? w9w? Psysi s?wPs馨W=

16、 ? qwE%|w1 少?wPS 王 wW(6.31)16#代表性投资者在定理6.2条件下，由于总消费量唯一地决定了 每个个体的消费一投资决策，我们可以假想经济中存 在一个巨大的“代表性个体”，代表所有个体进行消费 投资选择。定理0.3 :假设个体的效用函数如(6.19),并且经济中所有个体对未来不确定世界有相同的信念；证券市场 是完备的，均衡状态下各状态的状态价格是qs,s? S。那么，可以构造一个具有信念Ps,s?S的代表性个体，在拥有社会总财富W = ? kWk的条件k下，由这个代表性个体为市场中唯个投资者的经17济所达到的均衡状态价格也是qs,s? S 0【证明】在时间可加效应函数和一

17、致信念下， 到效用最大化的一阶条件是：个体k达Vk§x；0)= l : = Ps Vk(xks)s= 1,K ,S.(6.32)qs取其中拉格朗日系数l k的倒数为权，定义：_ 1Vo(X)= xma?K ?也区)k k?K l ks.t. ? xk = Xk?K1V(X) = mc?x ?*Vk(Xk)Xk，k?Kk?K l ks.t. ? xk = Xk?K假设个体k的最优消费计划是Xko，Xks，s ? S，满足一阶条件(6.32);记：Xo =邋 Xko， Xsk挝(6.33)(6.34)*Xksk Ks = 1,K ,S.(6.35)* 1 *Vo(Xo)=遇丁 Vko(X

18、ko)k 挝 l kdXkodX。如=1k K dX o(6.36)v (x；)=邋*Vk(x；s)汁虫dr"k挝 l kdX sPs k K dX s生Ps(6.37)现在考虑另一个经济，这个经济由唯一的个体组 成，其期望效用函数定义为1920U(X°,X) = V°(X°)+ ? spV(Xs)且时刻t =0拥有初始收入W = ? kWk。记这个经济在均衡时达到的状态价格是 qss? S。容易验证，由(6.35)定义的收益恰好是 这个虚构个体的最优消费计划。所以，X；,Xs*,s?S 满足个体的效用最大化一阶条件：*qs°(6.38)PV

19、(Xs)*Vo(Xo)但由(6.36)和(6.37),(6.39)PsV (X；) = PsqsVo (X0) = ps两式相比较，得知qsd qss= 1,K ,S线性Pareto分配法则在时间可加效用函数(6.19)下，如果帕累托有效分 配原则(6.23)还是线性的：Xks = ak + hXs k? K,s 1,K ,S (6.40)其中ak ? 0, 0 bk < 1,而且经济中还存在无风险资产，则可以证明完全竞争经济总能够达到帕累托有效。 假设无风险资产的收益率是R，考虑个体k的这样一个可行的消费-投资组合：购买 ak/R份无风险资 产；同时购买比例为d的市场组合；余下的初始禀

20、赋 作为现时t = 0的消费。容易看出个体k在时刻t = 1所获的状态依存消费水平恰好是(6.40)LRT效用函数命题：如果每一个体的风险容忍系数具有线性形式:Tk(x)?型=Ak+BxVk¥x)(6.41)22#则所有的帕累托有效配置都满足线性分配原则(6.40)先看B 1 0的情况。注意到ln恥)=篤(6.41)可以写为-In vM=1Ak + Bx#对等式进行不定积分:ln Vk 致)=Bx) + Ck#-6- 1/B=lne Ck(Ak + Bx)其中Ck是常数。记U = e-Ck，这就得到#vQ)= r,Ak+ Bx)(6.42)#利用帕累托有效条件(6.28)，得桫桫&#

21、177; (Ak+ Bxks)= Aj + BXjs " k, j ? I 对j加总，注意到？xjs = Xs，最终得到BXs+ ? j?KAjBQkrJB? j?I Aj(l jPj)B这显然是Xs的线性函数。如果B = 0 , (6.41)等价于Vk©)= kke x/'代入帕累托有效条件(6.28)：lkkke XksAk = l jkje-yjs Aj"k,j ? IXksj?KAkB(6.43)(6.44)等式两端取对数，并乘以AkAj :AkAj ln( l kkk) - AjXks = AkAj ln( l j kj)- 对j加总，整理后得到

22、Ak? j?K Aj ln(l j)Xks = Ak ln(l 汀k)-邋j挝K AjAkXjsj?KAXs j K Aj(6.45)这显然也是X s的线性函数。事实上，(6.41)还是(6.40)的必要条件Litze nberger, 1988)。(Huang and246.4普通证券定价（代表性投资者方法）亠般条件下的定价公式推导如果证券市场是完备的，经济中所有个体都具有 时间可加型效用函数（6.19），并且他们有一致的信念， 则可以构造一个代表性的个体，并由此来确定状态价 格（A-D证券价格）假设经济中共有n只风险资产，其中一份资产i的 状态依存支付是yi = （yii,K,ysJT。记

23、均衡中状态价格 向量为q =（qi,K ,qs），则资产i的当前价格口当是：s(6.46)Pi = yiT q = ? ysiqss= 1按（6.34）和（6.33）定义代表性个体的效用函数， 状态价格qs可以写为（6.39）：qs =pV (Xs)V。仅 °)25#将其代入（6.42）:Pi = ? Psf?1 Vo(Xo)ysi =(6.47)#因完备市场中无风险资产总是存在的（如分别购 买所有的A-D证券就构成一个无风险资产组合），将（6.43）运用于无风险资产:#或写为or:1 =E(6.48)在等式(6.43)两端同除以p :犏(X)% 犏0 (Xo)piCov|l2%)%

24、0(Xo)ko?Xo)EEf%- R= - RCov犏(X)fo(Xo),%(6.49)将t = 1时的消费X换为市场组合总收益M%：Ef%- R= - RCov臌o(Xo)将其应用于市场组合这一特殊的风险资产:(6.50)Ef% - R= - RCov 犏Ro(X0)，Rm(6.51)两式相除，得到资产定价公式：CovV 瞇),Rh % -ERo- R= CovV (M), RM R(6.52)二次效用函数下的情况26记t = 1时代表性个体的效用函数为V(X)= X - bX2 b> 02贝iV & 1- bY。将其代入定价公式(6.48),得到E%- R=ERm - RCov1- bMlR%Covi - bMRMCovl%Covl%JERM - RCovlRM%CovR% ,