GCT复习材料—数学微积分

1、一元函数微积分新阳光教育本部分内容包括：考试要求、内容综述、典型例题、真题一、函数考试要求理解函数的概念，掌握函数的表示方法；了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；会建立简单应用问题中的函数关系内容综述1函数概念（1）函数的定义（2）函数的两要素（3）函数的图形（4）函数的表示法（5）分段函数：（6）隐函数： ，2函数的性质（1）奇偶性（2）单调性（3）周期性（4）有界性3反函数与复合函数（1）反函数（2）复合函数：4初等函数（1）基本初等函数常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。（

2、2）初等函数典型例题例1 求下列函数的定义域（1）解：由 得函数的定义域为。（2）解：由 得函数的定义域为 。（3）解：由 得函数的定义域为 。例2 已知函数的定义域为，求函数的定义域解：由 得的定义域为。例3 研究下列函数的奇偶性（1），解：因为对任意的，都有定义，且，所以是奇函数。（2）解：因为，所以函数是奇函数。（3）偶函数例4 已知函数的周期是，求函数的周期解：欲找，使得，即 ，故，。所以函数的周期为。 例5 设，求的表达式解：根据得 ，解方程组得，令 得 ，所以。例6 已知, 求的表达式解：令 得 ，故。例7 已知，求的表达式解：根据 得 ，即，从而 。例8 已知 求解： 二、极限考

3、试要求 数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，无穷小与无穷大内容综述1数列的极限（1）数列的概念（2）数列极限的概念 （3）判断极限存在的两个准则单调有界有极限定理：例如：已知，证明存在并求其值提示 证明数列单调下降有下界夹逼定理：例如： 求极限提示 根据，利用夹逼定理（）。（4）数列极限的性质极限的唯一性；绝对收敛性；收敛数列的有界性；保序性（5）数列极限的四则运算2函数极限（1）时的极限且（2）时的极限且（3）夹逼定理（4）函数极限的性质（5）函数极限的四则运算、复合函数的极限3两个重要极限4无穷大量、无穷小量（1）无穷大量（2）无穷小量（3）几个关系（

4、4）无穷小的比较与等价无穷小代换典型例题例1 求下列极限的值（1）（2） （3）（4） （5）（6）（7）（8）（9）（10） （11），故所求极限等于1。（12）例2已知，求的值解：因为，所以。例3 已知，求的值解：因为，所以 解得。例4 若， ，求与的值 解：因为 ，所以。例5 已知为周期函数，且，试证证明：设函数的周期为，则对任意的都有，其中是任意整数，所以 例6 证明等价无穷小关系的传递性证明：因为 ，所以三、函数的连续性考试要求 理解函数连续性概念，会判断函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质内容综述1基本概念（1）连续及

5、连续点：（2）左、右连续：定理：函数在处连续的充要条件是：在处既是左连续又是右连续。（3）间断点及其分类第一类：左、右极限都存在（可去型：左右极限相等；跳跃型：左、右极限不等）。第二类：非一类（左、右极限中至少有一个不存在）。2连续函数的运算（1）四则运算（2）反函数的连续性（3）复合函数的连续性3初等函数的连续性：初等函数在其定义域区间上连续。 4闭区间上连续函数的性质（1）有界性：若函数在上连续，则其在上有界。（2）最大、最小值定理：若函数在上连续，则存在，使得对任意的都成立。（3）零点存在定理：设函数在上连续，且，则存在，使得。（4）介值定理：设函数在上连续，满足，则对任意的，都存在介于

6、与之间的，使得。典型例题例1研究下列函数的连续性，并说明间断点的类型（1）解：因为 ，所以是可去型间断点。（2），解：由于，所以从而是跳跃型间断点。（3），解：因为，所以 是跳跃型间断点。（4），解：因为，所以 是跳跃型间断点。例2 已知函数在上连续，求的值解：。例3 已知函数在上连续，求的值解：由于 所以，；，。根据连续性可知 解得 。例4 已知，证明：当为偶数时，至少有两个不同实根证明：当为偶数时，因为，所以存在，使得由于，从而存在至少有两个不同实根例5 设，且，证明：存在，使得证明：令，则，且，所以存在 ，使得 注：条件可以减弱为：。例6设，证明：存在，使得 证明：令 ，则，且，所以存在

7、 ，使得 例7 已知，且存在，证明在上有界证明： 令则，所以存在，使得，从而四、导数与微分考试要求 导数的概念，求导法则及导数基本公式，高阶导数，微分（理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则，会求函数的微分；了解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数，会求复合函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数）内容综述1导数概念（1）导数的定义导

8、数：右导数：左导数：（2）导数的几何意义；切线方程：法线方程：（3）可导与连续的关系：可导必连续。2导数运算（1）基本导数公式（2）导数的四则运算（3）复合函数的链导法（4）隐函数的求导法反函数的求导法：幂指函数求导法：(参数方程所确定的函数的求导法)3微分概念（1）微分的定义：，（2）可微与可导的关系微分计算公式；定理：函数在处可微的充分必要条件是在处可导，且。（3）微分的几何意义：4高阶导数（1）高阶导数的概念：（2）常见的几个函数的高阶导数，（3）复合函数、隐函数二阶导数的求法典型例题例1 用导数定义求解 例2 研究函数在处的可导性解 因为 ，所以当，即时，函数在处可导，且；当时，函数在

9、处不可导例3 已知存在，求下列极限的值（1）；（2）例4 已知函数在处可导，求的值解：因为 ，所以；又因为，所以。例5 设在处可导，且当时，已知，求极限解：。例6 已知，且在处连续，求解：因为，所以。例7设在的某邻域内有定义，则在处可导的充分必要条件是 A （A）. (B) 存在 (C) 在处连续 (D) 在处可导解：，。例8已知，求解：因为 所以。例9 求下列函数的导数（1），（2）,（3），（4），（5），例10 已知函数由确定，求解：由 得，当 时，得 ，所以 2例11 求下列函数的高阶导数（1），（2），（3），（4），例12 已知函数由确定，求曲线在处的切线方程与法线方程解：由 得，

10、当 时，得 ，所以要求的切线与法线方程分别为。例13 设曲线在点处的切线与轴的交点为，求解：曲线在点处的切线方程是 ，令得，所以 。例14设在上一阶可导，且，证明存在，使得简证：不妨设，则存在，使得因此存在，使得例15 已知，且，证明：存在，使得简证：由于，所以存在，使得，故均不是函数在闭区间上的最大值因此存在，使得五、中值定理与导数应用考试要求 中值定理，导数的应用（理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理；理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，掌握函数最大最小值的求法及简单应用；会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平和铅直渐近线；掌握用洛必达法则求未定式极限

11、的方法）内容综述1中值定理（1）Fermat定理：极值，极值点；可导极值点导数为零。（2）Rolle定理：若，且，则存在，使得。（3）Lagrange中值定理：若，则存在，使得2洛必达法则（1）型：（2）型：（3）其他不定式（）3函数的单调性与极值（1）函数单调性的判别法步骤1 求出和不存在的点；步骤2 利用点将函数的定义域分成几个小区间；步骤3 在每个小区间上利用的符号给出函数的单调性结论。（2）函数极值点的求法4函数的凹凸性和拐点（1）函数的凹凸性和拐点的概念（2）函数凹凸性的判别法步1 求出和不存在的点；步2 利用点将函数的定义域分成几个小区间；步3 在每个小区间上利用的符号给出函数的凹

12、凸性结论。（3）函数拐点的求法5曲线的渐近线（1）水平渐近线：或，（2）铅直渐近线：或，（3）斜渐近线：，典型例题例1 求下列极限（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），例2 求函数的单调区间和极值点解 ，由得单增区间为，单减区间为和是极小值点，是极大值点例3 当为何值时，点可能为的拐点，此时函数的凹凸性如何？解 由点在曲线上和拐点处的二阶导数为零，得解得 由于 ，所以为函数的凹区间，为函数的凸区间，点是的拐点例4 设函数在上二阶连续可导，且，试判断是否为的极值点？是否为的拐点？ 解：因为 ，所以在附近，从而，因此不是的拐点。由于，所以单增，又，从而易知是的极小值点。例

13、5 求曲线的渐近线。解：因为 ，所以铅直渐近线的方程为 。又因为 ，所以斜渐近线的方程为 。例6 证明简证 令，则，且，所以，即例7 证明下列不等式（1），简证 由于 ，其中，所以。（2）；简证 令，则，所以当时，即 ，故（3）简证 令，由得，由于，所以函数在区间上的最大、最小值分别为和，从而有例8讨论方程的实根情况解 令 ，由 得 ，从而是函数的单减区间，和是函数的单增区间，极大值为，极小值为由于 所以当时，原方程只有一个实根，位于内；当时，原方程有两个不同实根，一个为，一个位于内；当时，原方程有三个不同实根，分别位于，内；当时，原方程有两个不同实根，一个为，一个位于内；当时，原方程只有一个

14、实根，位于内例9 证明方程至多有两个不同实根简证：令，若有多于两个不同的实根，根据Rolle定理便知至少有两个不同实根，至少有一个实根，这与矛盾例10 设函数在上可导，证明简证：由于，所以存在使得当时，有.当时，根据Lagrange定理，有，从而，故有六、不定积分考试要求理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质、基本积分公式；掌握不定积分的换元积分法与分部积分法内容综述1原函数与不定积分（1）原函数的定义：（2）原函数的构造（3）不定积分的定义：（4）不定积分的性质（5）基本积分公式2不定积分的换元积分法（1）第一换元积分法（凑微分法）；例如：（2）第二换元积分法例如：令 ，则3不定

15、积分的分部积分法：典型例题例1 与是否为同一个函数的原函数？解：，。例2 已知的一个原函数为，求，解 例3 设，求解 因为 ，所以 因此 例4 解 例5 解 例6 解 例7 解 例8 解 例9 解 例10 解 例11 解 例12 解 例13 解 例14 解 例15 解 例16 解 例17 解 例18 解 令 ，则 所以 例19 解 令 ，则例20 解 令 ，则例21 解 例22 解 例23 解 令 ，则例24 解 例25 解 因为 所以 例26 解 例27 解 例28 解例29 ，求解 因为，所以 因此 七、定积分考试要求 理解定积分的概念、基本性质及定积分中值定理；理解变上限定积分函数及其求

16、导公式，掌握牛顿-莱布尼兹公式；掌握定积分的换元积分法和分部积分法；掌握用定积分表达和计算一些几何量（如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、截面面积已知的立体体积等）的方法。内容综述1定积分的概念（1）定积分的定义：（2）定积分的几何意义（3）函数可积的必要条件和充分条件：可积函数有界；连续函数可积。2定积分的性质3变限定积分函数（1）变限定积分函数的定义：（2）变限定积分函数的导数：4定积分的计算-牛顿-莱布尼兹公式：5定积分的换元积分法和分部积分法。6定积分的几何应用（1）平面图形的面积（2）旋转体的体积（3）平面曲线的长度典型例题例1 利用定积分的几何意义求：（1）， （2）解

17、 ，例2 解 例3 比较与，与的大小解 因为当时，所以，例4 求下列函数的导数（1）， （2），（3）， （4），（5）， （6），（7）解 （1）， （2），（3），（4）， （5），（6），（7）， 例5 求极限 解 例6 研究函数的奇偶性解 因为对任意的，都存在，且所以是偶函数例7讨论函数在处的连续性解 因为 ，所以 ，但，因此在处不连续，是它的一个可去型间断点例8 已知，求解 因为 ，所以 ，取，得例9 已知，求的值解 因为，所以 ，因此又 ，所以 .例10已知函数由方程确定，求解 因为 ，所以，因此 例11 设，求解 例12已知，求，解 因为 ，所以，因此 ，例13已知，求的值解 因

18、为 ，所以例14如果函数在区间上连续，且，求的值解 例15已知，求解 例16 计算下列定积分的值（1）， （2），（3）解 （1）当时，当时，当时，（2）（3）例17已知，求解 因为，所以例18已知，求解 例19设在上连续、单增，证明：对任意的，都有证明 当时，“=”显然成立当 时，令 ，则又 ，所以 ，故 例20 证明（1），（2）证明 （1）（2）例21设函数在上可导、单增且，证明解 令，则 ，又 ，所以 ，故 另解：因为，所以。例22 求函数的单调区间和极值点解 由 ，得当时，单减，当时，单增，是的一个极小值点，当时，单减，是的一个极大值点，当时，单增，是的一个极小值点例23 求曲线与直

19、线所围图形的面积解曲线与直线的交点为，所以例24求曲线及其在点处的切线与轴围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积解 曲线在点处的切线方程为 ，此切线与轴的交点是，所以所求的体积为例25 求由及在处的法线所围图形的面积。解 在处的法线方程为 ，此法线与轴的交点是 ，所以例26 求曲线段的一条切线，使该切线与直线及此曲线段所围平面图形的面积最小解 曲线在处的切线方程为，曲线在处的切线与直线及此曲线段所围平面图形的面积为，。由 ，得由于当时，；当时，所以最小，故所求切线方程为 真题2003年1设，则的极值点的个数是 （导数应用）AB* CD2.如果在处可导，则极限 （微分概念）A等于B等于C等于*D

20、不存在3甲乙两人百米赛跑成绩一样，那么 （连续函数性质）A甲乙两人每时刻的瞬时速度必定一样B甲乙两人每时刻的瞬时速度都不一样C甲乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样*D甲乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样4方程的实根个数是 （导数应用）AB*CD5设，则 （定积分换元）ABCD*2004年16如图，是两个逐段线性的连续函数，设，则的值为 A。 （函数求值、复合函数求导法、导数的几何意义）A*BCD12345678xy6f(x)g(x)分析：由于，所以17.过点作曲线的切线，设该曲线与切线及轴所围成的面积为，曲线与直线及轴所围成的面积为，则 D （导数的几何意义、定积分的几何意义、洛必达法则）ABC

21、D*分析：由于，所以18如下不等式成立的是 B （导数的应用：利用导数符号判断函数的单调性）A在区间上，B在区间上，*C在区间上，D在区间上，分析：令 ，则，又，所以在区间上，有，即19设为连续函数，且，则 C （定积分的换元积分法、定积分性质）ABC*D分析：因为且，所以20如图，抛物线把曲线与轴所构成的区域面积分为与两部分，则 B （定积分的几何意义）AB*CD与的大小关系与的数值有关分析：由得由于，所以2005年16设函数的定义域是，则函数的定义域是 D 。（函数）A. B. C. D. 分析：考虑得解得。即正确选项为D。17.函数在上有 D 。（渐近线）A。1条垂直渐进线，1条水平渐进

22、线B。1条垂直渐进线，2条水平渐进线C。2条垂直渐进线，1条水平渐进线D。2条垂直渐进线，2条水平渐进线分析：因为，所以曲线在上有2条垂直渐进线，2条水平渐进线。即正确选项为D。18.设在点处可导，且，则 C 。（连续定义、导数定义）A.0 B.1 C.2 D.3分析：因为在点处可导，所以其在点处连续，从而，。即正确选项为C。19.若的二阶导数连续，且，则对任意常数必有 A 。（拉格朗日中值定理）A. B.1 C.0 D. 分析：根据微分中值定理可知，存在介于和之间的使得。由于，所以。即正确选项为A。20.设是的一个原函数，则不定积分= C 。（原函数概念、分部积分）A. B. C. D.3分

23、析：由于，所以。即正确选项为C。21.设连续函数在内严格单调递增，且，若是的反函数，则= B 。（反函数概念、定积分几何意义）A. B. C. D. 分析：aaAB如图，根据定积分的几何意义可知：，所以。即正确选项为B。2006年：16. 设，且导数存在，则 D 。A. 0 B. C. D. 分析：（本题是一元函数微分学题目。考查导数概念与复合函数的求导公式）根据导数定义，极限是复合函数在点的导数，所以其值为。17.曲线y= 在（0，2）区间内有 A 。A. 2个极值点，3个拐点 B. 2个极值点，2个拐点C. 2个极值点，1个拐点 D. 3个极值点，3个拐点分析：（本题是一元函数微分学题目。考查函数极值点和拐点的求法）根据易知分别是函数的极大值点和极小值点。由于且在不存在，易判断经过三点时二阶导数都变号，所以这三点都是函数的拐点。18.设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r，在正圆锥的体积最大时， C 。A. B. 1 C. D. 分析：（本题是一元函数微分学与几何的简单综合题。考查了勾股定理、圆锥体积公式和函数的最值问题）圆锥体积为 ，所以由得（易知这时体积最大），从而，故。19.设，则在上方程根的个数为 B 。A. 0 B. 1 C. 2 D. 3分析：（本题是一元微积分题。主要考查变限定积分的性质和连续函数的零点存在定理）记，则，所以