2004考研数三真题及解析

1、2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 若，则a =，b =.(2) 函数由关系式确定，其中函数可微，且，则.(3) 设，则.(4) 二次型的秩为.(5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则.(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布, 和分别是来自总体和的简单随机样本, 则.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 函数在下列哪个区间内有界( )(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C

2、) (1 , 2).(D) (2 , 3). (8) 设f (x)在内有定义，且，则( ) (A)必是的第一类间断点.(B) 必是的第二类间断点.(C) 必是的连续点.(D) 在点处的连续性与a的取值有关. (9) 设, 则 ( )(A) 是的极值点, 但不是曲线的拐点.(B) 不是的极值点, 但是曲线的拐点.(C) 是的极值点, 且是曲线的拐点.(D) 不是的极值点, 也不是曲线的拐点.(10) 设有下列命题： 若收敛，则收敛. 若收敛，则收敛. 若，则发散. 若收敛，则，都收敛.则以下命题中正确的是( )(A) (B) (C) (D)(11) 设在上连续，且，则下列结论中错误的是( )(A

3、) 至少存在一点，使得>.(B) 至少存在一点，使得> .(C) 至少存在一点，使得.(D) 至少存在一点，使得= 0.(12) 设阶矩阵与等价, 则必有( )(A) 当时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, .(13) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系( )(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. (14)设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足, 若, 则等于( )(A) . (B) . (C) . (D) . 三、解

4、答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分8分)求.(16) (本题满分8分)求，其中是由圆和所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足，x Î a , b)，.证明：.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为，其中价格，为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性(> 0)；(II) 推导(其中为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设级数的和函数为. 求：(I) 所满足的一阶微分方

5、程；(II) 的表达式.(20)(本题满分13分)设, , , , 试讨论当为何值时, (I) 不能由线性表示;(II) 可由唯一地线性表示, 并求出表示式; (III) 可由线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设阶矩阵 .(I) 求的特征值和特征向量; () 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵.(22) (本题满分13分) 设，为两个随机事件,且, , , 令 求(I) 二维随机变量的概率分布;(II) 与的相关系数 ; (III) 的概率分布. (23) (本题满分13分)设随机变量的分布函数为 其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,(I) 当时, 求未

6、知参数的矩估计量;(II) 当时, 求未知参数的最大似然估计量; (III) 当时, 求未知参数的最大似然估计量. 2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】本题属于已知极限求参数的反问题.方法1：根据结论：，(1) 若，则；(2) 若，且，则因为，且，所以(否则根据上述结论(2)给极限是0，而不是5)， 由 得a = 1. 极限化，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.方法2：由极限与无穷小的关系，有，其中，解出 上式两端求极限，把a = 1代入，再求，两端同时对取极限，得因此，a = 1，b = -4.(2)【答案】 【详解】应先写出f (

7、u , v)的表达式，再求偏导数令，从而：，于是由，推知 f (u , v) =，所以 ，(3)【答案】【详解】方法1：作积分变换，令，则所以 .(也可直接推出，因为积分区间对称，被积函数是关于是奇函数，则积分值为零)方法2：先写出的表达式即：所以 .(4)【答案】 2.【详解】方法1：因为由二次型中，所以二次型对应的矩阵的元素是乘积项系数的一半，其中于是题中二次型的矩阵为, 由初等变换得从而 , 由二次型的矩阵的秩等于二次型的秩，知二次型的秩为2. 方法2：因为, 其中 . 二次型的秩=矩阵的秩=正负惯性指数之和，所以此二次型的秩为2.(5) 【答案】【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与

8、方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.指数分布的概率密度为，其方差.于是，由一维概率计算公式，有 =(6)【答案】.【详解】根据公式和样本方差是总体方差的无偏估计量，又和 分别是来自总体简单随机样本，和都服从正态分布即是，.所以有， 对于题给式子将分子分离出来即可出现上式，也就不难求出结果.,故应填 .二、选择题(7)【答案】(A)【详解】方法1：如果在内连续，且极限与存在，则函数在内有界.当x ¹ 0 , 1 , 2时连续，而，所以，函数f (x)在(-1 , 0)内有界，故选(A).方法2：因为存在，根据函数极限的局部有界性，所以存在，在区间上有界，又如果函数f (x)在闭区间

9、a , b上连续，则f (x)在闭区间a , b上有界，根据题设在上连续，故在区间上有界，所以在区间上有界，选(A).(8)【答案】 (D) 【详解】考查极限是否存在，如果存在，是否等于g(0)，通过换元，可将极限转化为.因为 = a，又，所以， 当时，即在点处连续，当时，即是的第一类间断点，因此，在点处的连续性与的取值有关，故选(D).(9) 【答案】C【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.方法1：由于是选择题，可以用图形法解决, 令，则，是以直线为对称轴，顶点坐标为，开口向上的一条抛物线，与轴相交的两点坐标为，的图形如图.点是极小值点；又在点左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近

10、曲线是凸的，所以点是拐点，选C.方法2：写出的分段表达式： ,从而, ,，所以时，单调增，所以时，单调减，所以为极小值点.当时, ，为凹函数； 当时, ，为凸函数, 于是为拐点.(10)【答案】(B)【详解】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 是错误的，如令，所以发散，而收敛.是正确的，因为级数比级数少了前1000项，改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的敛散性，所以这两个级数同敛散.是正确的，因为由，从而有，于是正项级数在项数充分大之后，通项严格单调增加，故，从而，所以发散.是错误的，如令，显然，都发散，而收敛. 故选(B).(11)【答案】(D)【详解】利用介值定理与极

11、限的保号性可得到三个正确的选项，或应用举例法找出错误选项.方法1：举例说明(D)是错误的. 例：，.但在上.方法2：证明(A)、(B)、(C)正确.由已知在上连续，且，则由介值定理，至少存在一点，使得，所以选项(C)正确；另外，由导数的定义，根据极限的保号性，至少存在一点使得，即，所以选项(A)正确. 同理，根据极限的保号性，至少存在一点使得. 所以选项(B)正确，故选(D).(12)【答案】(D )【详解】方法1：矩阵等价的充分必要条件：矩阵与等价,是同型矩阵且有相同的秩,故由与等价，知与有相同的秩.因此，当时, , 则有, 即, 故选(D). 方法2：矩阵等价的充分必要条件：与等价存在可逆

12、，使得. 两边取行列式，由矩阵乘积的行列式等于行列式的积，得. 可逆，由矩阵可逆的充分必要条件：，故，但不知具体数值.由，知时，不能确定.但有.故应选(D).方法3：由经过若干次初等变换变为矩阵的初等变换对矩阵的行列式的影响有：(1)中某两行(列)互换得 ，则.(2)中某行(列)乘得，则.(3)中某行倍加到另一行得，则.又由与等价，由矩阵等价的定义：矩阵经有限次初等变换变成矩阵，则称与等价，知故当时，虽仍不等于0，但数值大、小、正负要改变，但，则，故有结论：初等变换后，矩阵的行列式的值要改变，但不改变行列式值的非零性，即若，若.故应选(D).(13)【答案】(B)【详解】由定理：若是的解，则是

13、对应齐次方程组的解，及，得是的解.由齐次线性方程组有非零解的充要条件，知. 由伴随矩阵的定义，知中至少有一个代数余子式即中有子式不为零，由的充要条件是的非零子式的最高阶为,故再由上面的，得，故基础解系所含向量个数为 ，故选(B).(14)【答案】(C)【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何有. 或直接利用图形求解.方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，于是即有 ，可见根据分位点的定义有，故应选(C).方法2：OO图一 图二如图一所示题设条件.图二显示中间阴影部分面积，.两端各余面积，所以，答案应选(C).三、解答题(15)【详解】求“”型极限的首要步骤是通分，或者同乘、除

14、以某一式以化简.(16)【详解】利用对称性与极坐标计算.方法1：令，根据二重积分的极坐标变换：，则：化为极坐标：所以 ；化为极坐标：所以 所以 区域关于轴对称，中被积函数为的奇函数，根据区域对称性与被积函数的奇偶性：设在有界闭区域上连续，若关于轴对称，对为奇函数，则，所以所以 .方法2：.(17)【详解】令，. 因为已知，所以 ，,又 ，所以 从而 ，由于，故有, 即也即是 因此 .(18)【详解】(I) 由于需求量对价格的弹性> 0，所以；(II) 由，得要说明在什么范围内收益随价格降低反而增加，即收益为价格的减函数，即证，换算成为，解之得：，又已知，所以，此时收益随价格降低反而增加.

15、(19)【详解】对进行求导，可得到所满足的一阶微分方程，解方程可得的表达式.(I) ，易见 ，因此满足下述一阶线性微分方程及相应的初始条件：，.即 ，(II) 为一阶线性非齐次微分方程，其对应的线性齐次微分方程为：，分离变量：，两边积分：，用常数变易法来求非齐次方程的通解：令于是：代入：所以, 因为，所以, 所以；或直接由通解公式，方程的通解为由初始条件，得. 故.(20)【详解】可否由线性表示的问题可以转化为线性方程组是否有解的问题. 因此，设可有数使得. (*)记. 对矩阵施以初等行变换, 有 .当时, 是任意数时，有.可知，. 由非齐次线性方程组有解的充要条件：系数矩阵的秩等于增广矩阵的

16、秩，知方程组(*)无解, 不能由线性表示.当, 且时, 由可知，, 由非齐次线性方程组有解得充要条件：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，由定理：设是矩阵，方程组，则，(1)有唯一解；(2)有无穷多解(3)无解：可知方程组(*)有唯一解.由同解阶梯形方程求解，得：, , 此时可由唯一地线性表示, 其表示式为 当，时, 对矩阵施以初等行变换, 由，可知，,由定理：设是矩阵，方程组，则，(2)有无穷多解，知方程组(*)有无穷多解，其全部解为, , ， 其中为任意常数可由线性表示, 但表示式不唯一,其表示式为(21)【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 可以直接用求特征值，

17、和求特征向量或将分解令，其中，则，是多项式，求的特征值、特征向量.【详解】(I) 方法1： 时，故，的特征值为，对， 因为矩阵的秩为，故方程组，基础解系的个数为，故有一个自由未知量.选为自由未知量，取, 解得，所以的属于的全部特征向量为 (为任意不为零的常数)对，,矩阵的秩为 故方程组，基础解系的个数为，故有个自由未知量. 选为自由未知量,将他们的组值，得基础解系为，故的属于的全部特征向量为(是不全为零的常数)当时，,特征值为，任意非零列向量均为特征向量方法2：，其中若有特征值，特征向量，则当是多项式时，有特征值，其特征向量仍是. 因故，是的特征值，其对应特征向量为.从而有，有特征值，其对应特

18、征向量仍是.又，是实对称阵，由可知，由实对称矩阵的特性：，其中为特征值的重数，故是的重特征值，其对应的特征向量应满足，即只需满足，其基础解系的个数为，故有个自由未知量.选为自由未知量,将他们的组值 . 得基础解系为，从而知有重特征值.对应的特征向量仍是，其全部特征向量为(是不全为零的常数)() 当时，由与对角矩阵相似的充要条件：有个线性无关的特征向量，知，令，则当时，对任意可逆矩阵, 均有 (22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。先确定的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】(I) 由于，所以 ， ， =(或)，故的概率分布为 0 1 0 1 (II) 的概率分布分别为所以的概率分布为 0 1 0 1 由分布的数学期望和方差公式，则， =, 所以=,故，从而(III)的可能取值为：