第四章 直线、平面相对位置

1、第四章 直线、平面的相对位置4.1 空间几何元素间的位置关系4. 2 平行问题 4. 3 相交问题4. 4 垂直问题4. 5 综合问题分析及解法4.1 空间几何元素间的相对位置一、相交关系（一、相交关系（3种）种）1、两直线相交；2、两平面相交；3、线面相交。二、平行关系（二、平行关系（3种）种）1、两直线平行；2、两平面平行；3、线面平行。三、垂直关系（三、垂直关系（3种）种）1、两直线垂直；2、两平面垂直；3、线面垂直。四、交叉关系（四、交叉关系（1种）种） 两直线交叉五、从属关系（五、从属关系（3种）种）1、点、线从属关系；2、点、面从属关系；3、线、面从属关系。4.2 直线、平面的平行

2、关系一、直线与平面平行一、直线与平面平行 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问这是解决直线与平面平行作图问题的依据。题的依据。几何条件：几何条件：D DB BC CA AP P若：若：ABABCD则：则：ABABPP运用几何条件，可以在投影图中解决有关线、面平行运用几何条件，可以在投影图中解决有关线、面平行的作图问题有：的作图问题有： （1 1）判别已知线面是否平行；）判别已知线面是否平行； （2 2）作直线与已知平面平行；）作直线与已知平面平行； （3 3）包含已知直线作平

3、面与另一已知直线平行。）包含已知直线作平面与另一已知直线平行。4.2 直线、平面的平行关系一、直线与平面平行一、直线与平面平行 例例11 试判断直线试判断直线AB是否平行于定平面是否平行于定平面解题思路解题思路?判断两直线是否平行答案：不平行n a c b m abcmn 例例2 2 过过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解d dX X正平线正平线 例例3 3 过过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和面和 平面平面 ABC。唯一解唯一解c b a m abcmnn d dX X 例例44已知直线已知直线ABAB和线外一点和线外一点C C的投影，的投影，过过C

4、C点作平行于直线点作平行于直线ABAB的平面的平面Xababccddee 例例55已知直线已知直线ABAB和线外一点和线外一点C C的投影，的投影，过过C C点作平行于直线点作平行于直线ABAB的铅垂面的铅垂面Xababccddee4.2 直线、平面的平行关系一、平面与平面平行一、平面与平面平行几何条件：几何条件： 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。ABCA1B1C1ABAABA1 1B B1 1; ;ACAACA1 1C C1 1 ; ;则：则：P PQ Qacebb a d dfc f e khk h O OX Xm m由

5、于由于ek不不平行于平行于ac, ,故两平面故两平面不平行。不平行。 例例11 判断平面判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否平行，是否平行， 已知已知ABCDEFMHABCDEFMH 例例22试判断两已知平面ABC 和DEF 是否平行。 已知由平行两直线AB 和CD 给定的平面。试过定点K 作一平面平行于已知平面。4.3 直线、平面的相交关系 直线和平面相交只有一个交点，它是直线和平面的共有点。它既属于直线又属于平面。 两平面相交，交线是一直线。这条直线为两平面的共有线。欲找出这一交线的位置，只要找出属于它的两点（或找出一点一方向）就可以了。因此，求作两平面的交线，可归纳为

6、求直线与平面的交点作图。 直线与平面相交，其交点是直线与平面的直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。共有点。1. 直线与平面相交直线与平面相交要讨论的问题：要讨论的问题：(1) (1) 求直线与平面的交点。求直线与平面的交点。 (2) (2) 判别两者之间的相互遮判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性。挡关系，即判别可见性。 我们将分别讨论一般位置的直线与特我们将分别讨论一般位置的直线与特殊位置平面和特殊位置直线和一般位置平殊位置平面和特殊位置直线和一般位置平面。面。铅垂面与一般位置直线的点.swf2. 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线两平面相交其交线为直线，交线是两平面为直线

7、，交线是两平面的共有线，同时交线上的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有的点都是两平面的共有点。点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求两平面的交线求两平面的交线方法：方法： 确定两平面的两个共有点。确定两平面的两个共有点。 确定一个共有点及交线的方向。确定一个共有点及交线的方向。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。bbaaccmmnnk k一、一般位置直线与特殊位置平面相交一、一般位置直线与特殊位置平面相交由于由于特殊位置特殊位置平面的某个投影有积聚性平面的某个投影有积聚性，交点可直交点可直接求出。接求出。判断直线的可见性kbbaac

8、cmmnnk 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，以特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，以交点交点k k为分界线能直接判别直线的可见性。为分界线能直接判别直线的可见性。 例例1 1 求直线求直线MN与铅锤面与铅锤面ABC的交点的交点K并判别可见并判别可见性。性。abcmnc n b a m k k1 (2 )21X X空间及投影分析空间及投影分析: 平面平面ABC是一铅垂是一铅垂面，其水平投影积聚成面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与一条直线，该直线与mn的交点即为的交点即为K点的点的水平投影。水平投影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平

9、面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 为可见。为可见。 还可通过重影还可通过重影点判别可见性。点判别可见性。二、投影面垂直线与一般位置平面相交二、投影面垂直线与一般位置平面相交km(n)bn c b a ack 2 11 (2 )X X空间及投影分析空间及投影分析: 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前，点前，点位于位于MN上，在上，在后，故后，故k 1 1 为不可见为不可见。m （ ）归纳：由以上作图

10、可知，求归纳：由以上作图可知，求一投影面的垂直线与一般位一投影面的垂直线与一般位置平面的交点，可归结为在置平面的交点，可归结为在面上取点。面上取点。例2 求铅垂线求铅垂线EFEF与一般位置平面与一般位置平面ABCABC的交点并的交点并判别其可见性。判别其可见性。作图步骤：1、求交点kk2、判别可见性2112( )( )三、一般位置平面与特殊位置平面相交三、一般位置平面与特殊位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。 1.求交线 2.判断平面的可见性MmnlFKNLMmnlacbPPHABCFKNLnlmmlnbaccabf

11、kfk1、求交线 利用投影的积聚性，可直接求出它与直线ML和MN两条直线的交点，K和F，连接K、F，即为两平面的交线。只判断两面投影面重合处的可见性，不重合的地方都是可见的。abcdefc f db e a m (n )例例3 3 求两平面的交线求两平面的交线 MN并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析：空间及投影分析： 求交线求交线 判别可见性判别可见性 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在在上，其水平投影可见。上，其水平投影可见。mn 平面平面ABC与与DEF都为都为 正垂面，它们的交线为一正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投条正垂线

12、，两平面正面投影的交点即为交线的正面影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂投影，交线的水平投影垂直于直于OX轴。轴。abcdefc db e a m (n )mnf 2 2、从正面投影上可看从正面投影上可看出，在交线左侧，平面出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可在上，其水平投影可见。见。 1 1、从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线右侧，平面在交线右侧，平面DEF在在上，其水平投影可见。上，其水平投影可见。a abd( (e) )ebdh( (f) )cfchmn空间及投影分析：空间及投影分析： 平面平面DEFH是一铅垂面，是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其它的水平投

13、影有积聚性，其与与ac、bc的交点的交点m 、n 即为即为两个共有点的水平投影，故两个共有点的水平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投影。的水平投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上，点上，点在在FH上，点上，点在前，点在前，点在后，在后，故故mc 可见。可见。作图作图X X211 1(2(2) )mn四、一般位置直线与一般位置平面相交 由于直线与平面均处于一般位置，其投影都没有积聚性，所以这种情况，不能再图上直接定出点来。通常我们是用辅助平面的方法把求一般位置的线面交点的问题转化为特殊位置平面与一般位置平面交线的问题。具体步骤如下：1、含已知 直线作特殊位置的辅助平面

14、（铅垂面）；2、求辅助平面与一般位置平面的交线；3、求交线与一般位置直线的交点，交点即为一般位置平面与一般位置直线的交点。EABCEFQ以正垂面为辅助平面求线面以正垂面为辅助平面求线面交点。交点。过过EF作作正垂面正垂面Q1 2 QV21kk步骤：步骤：1过过EF作正作正垂平面垂平面Q。2求求Q平面与平面与ABC的交线的交线。3求交线求交线与与EF的交的交点点K。以正垂面为辅助平面求直线以正垂面为辅助平面求直线EF与与ABC平面的交点平面的交点2PH1 步骤：步骤：1过过EF作铅作铅垂平面垂平面P。2求求P平面与平面与ABC的交线的交线。3求交线求交线与与EF的交的交点点K。kk2 以铅垂面为

15、辅助平面求直线以铅垂面为辅助平面求直线EF与与ABC平面的交点平面的交点11 (2)(4)3利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性直线直线EF与平面与平面 ABC相交，判别可见性。相交，判别可见性。fee直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。1243（ ）kk(3)4( )213注意：两投影图都必须判断可见性。五、五、 两一般位置平面相交两一般位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 因而可利用求一般位置直线和一般位置平面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线MBCAFKNL1、用直线与平面求交点的方法求两平面的交线2、用三面共点法求两平面的交线空间分

16、析作图步骤判别可见性空间分析作图步骤五、五、 两一般位置平面相交两一般位置平面相交MBCAFKNL用直线与平面求交点的方法求两平面的交线判别可见性用三面共点法求两平面的交线用三面共点法求两平面的交线一、直线与平面垂直二、两平面相互垂直5-4 直线与平面垂直、两平面垂直线面垂直定理综合练习空间几何元素之间相对位置问题的求解方法直线与平面垂直中途返回请按“ESC”键 直线与平面垂直，则该直线必垂直于平面上的任何直线。 LK平面P 则： LK水平线AB LK正平线CD 线面垂直定理中途返回请按“ESC”键给定平面ABC，试过定点S 作平面的法线。中途返回请按“ESC”键SF 即为所求作特殊位置平面的

17、法线中途返回请按“ESC”键已知由平行两直线AB 和CD 给定的平面，试判断直线MN 是否垂直于该平面垂直垂直不垂直不垂直中途返回请按“ESC”键答：直线MN不垂直于该平面试过点N 作一平面，使该平面与V 面的夹角为60 ,与H 面的夹角为45MN长度任取中途返回请按“ESC”键两平面垂直两平面相垂直两平面不垂直中途返回请按“ESC”键过定点S 作平面垂直于平面ABC.中途返回请按“ESC”键两相交直线FS、SN 即为所求是否唯一解？试判断KMN 与相交两直线AB 和CD 所给定的平面是否相垂直。正平线水平线中途返回请按“ESC”键答案：不垂直在直线AB 上取一点K，使其与投影面V、H 等距离

18、。中途返回请按“ESC”键作一直线与已知三直线相交，且有一交点K 平分线段CD中途返回请按“ESC”键KL 即为所求本章小结（一）平行问题（一）平行问题 1熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题（二）相交问题 1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 2熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位