运用Matlab进行线性规划求解(实例).

1、8.2线性规划线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。8.2.1基本数学原理线性规划问题的标准形式是：min zc1 x1c2 x2cn xna11 x1a12 x2a1n xnb1a21 x1a22 x2a2 n xnb2am1 x1am2 x2amn xnbmx1 , x2 , xn 0或nmin zc j xjj1naij x jbi, i1,2, mj 1x j0 , j1,2,n写成矩阵形式为：min zCXAXbXO线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式， 变量 b 非负。

2、不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。MATLAB采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。8.2.2有关函数介绍在 MA TLAB工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。linprog 函数的调用格式如下： x=linprog(f,A,b) ：求解问题 minf'*x ，约束条件为 A*x<=b 。 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即有不等式约束，则令A= ,b= 。Aeq*x=beq 。若没 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) ：定义设计 x 的下界 lb 和上界 ub，

3、使得 x 始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq= ,beq= 。 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) ：设置初值为 x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) ：用 options 指定的优化参数进行最小化。 x,fval=linprog( )：返回解x 处的目标函数值fval 。 x,lambda,exitflag=linprog(： )返回 exitflag 值，描述函数计算的退出条件。 x,lambda,exitflag,output=linprog(：返

4、 )回包含优化信息的输出参数output。 x,fval,exitf lag,output,lambda=linprog(： )将解 x 处的拉格朗日乘子返回到lambda 参数中。调用格式中，lambda 参数为解x 处包含拉格朗日乘子的结构。它有以下一些字段：lower 下界 lbupper上界 ubineqlin 线性不等式eqlin 线性等式exitflag 参数表示算法终止的原因，下面列出不同值对应的退出原因：1 函数在解 x 处有解0迭代次数超过options.MaxIter-2没有找到可行点-3问题无解-4执行算法时遇到NaN-5原问题和对偶问题都不可行-7搜索方向太小，不能继续

5、前进。8.2.3应用实例例 8 2某河流边有两个化工厂，流经第一个化工厂的河水流量是每天500 万立方米，在两个工厂之间有一条流量为200 万立方米的支流 （如图 8 1 所示）。第一个化工厂每天排放工业污水2 万立方米，第二个化工厂每天排放工业污水1.4 万立方米，从第一个化工厂排出的污水流到第二个化工厂之前，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%，因此两个化工厂都必须各自处理净化一部分污水，第一个化工厂处理污水的成本是0.1 元立方米， 第二个化工厂处理污水的成本是0.08 元立方米。 问在满足环保要求的条件下，各化工厂每天应处理多少污水，才能使两厂总的处理

6、污水费用最少？第一化工厂第二化工厂图 81解：设 x1 ， x2 分别表示第一个化工厂和第二个化工厂每天处理的污水量（万立方米天）。则目标函数： f 1000x1 800x2 （元天）约束条件 1：2 x10.2% ，即 x11 ；500约束条件 2：0.8(2x1 ) (1.4 x2 )0.2% ，即 0.8x1x2 1.6；700x12约束条件 3：。x21.4因此，该问题的线性规划模型归结为：min f1000x1800x2x110.8x1x21.6s.t.x12x21.4x1 , x20求解程序：%线性规划问题f=1000 800;A=-1 0;-0.8 -1;1 0;0 1;b=-1;-1.6;2;1.4;lb=zeros(2,1);x,fval,exitflag=linprog(f,A,b,lb)运行结果：x =1.00000.8000fv