专题16空间角教师版

1、专题16 空间角Oab600高考在考什么【考题回放】1如图，直线a、b相交与点O且a、b成600，过点O 与a、b都成600角的直线有（ C ）A1 条 B2条 C3条 D4条2在一个450的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成450角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为 （ A ）A300 B450 C600 D9003直三棱住A1B1C1ABC，BCA=，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ A ） A B C D 4已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于5PA,PB,PC是从P点引出的

2、三条射线,他们之间每两条的夹角都是60°,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 6在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1， E、F分别为BC与A1D1的中点， (1) 求直线A1C与DE所成的角；(2) 求直线AD与平面B1EDF所成的角；(3) 求面B1EDF 与 面ABCD所成的角。【专家解答】 (1)如图，在平面ABCD内，过C作CP/DE交直线AD于P，则（或补角）为异面直线A1C与DE所成的角。在中，易得，由余弦定理得。故异面直线A1C与DE所成的角为。（2）， AD在面B1EDF内的射影在EDF的平分线上。而B1EDF是菱形，DB1为EDF的平分线。故直线AD与面B

3、1EDF所成的角为ADB1在RtB1AD中，则。故直线AD与平面B1EDF所成的角为。O（3）连结EF、B1D，交于点O，显然O为B1D的中点，从而O为正方体ABCDA1B1C1D1的中心，作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心。再作HMDE，垂足为M ，连结OM，则OMDE（三垂线定理），故OMH为二面角B1-DE-A的平面角。在RtDOE中，则由面积关系得。在RtOHM中。故面B1EDF 与 面ABCD所成的角为高考要考什么【考点透视】异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.【热点透析】1转化思想： 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面

4、角,然后解三角形 2求角的三个步骤：一猜,二证,三算猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证3二面角的平面角的主要作法：定义 三垂线定义 垂面法高考将考什么【范例1】在的二面角中， ，已知点A和B到棱的距离分别为2和4，且AB=10。求（1）直线AB与棱a所成的角；（2）直线AB与平面所成的角。解：（1）如图所示，在平面内，过A作AC，垂足为C；在平面内，过B作BD，垂足为D；又在平面内，过B作BECD，连结CE，则ABE为AB与所成的角，CEBD，从而CE，ACE=1200，AEB=900。在ACE中，由余弦定理

5、得 在RtAEB中，。故直线AB与棱a所成的角为（2）过点A作，则垂足在的另一半平面上。在RtAAC中，。在RtAB中，。故直线AB与平面所成的角为【点晴】本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方法。【文】如右下图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2 E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(

6、4,1,0)、C1(4,3,2),故设向量与平面C1DE垂直，则有（II）设EC1与FD1所成角为，则。【点晴】空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点，但必须注意其程序化的过程及计算的公式，本题使用纯几何方法也不难，同学不妨一试。【范例2】如图，在四棱锥PABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点（）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离解法一：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，

7、0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，2).从而=（，1，0），=（，0，-2）.设与的夹角为，则，AC与PB所成角的余弦值为_o_E_A_B_C_D_P_x_y_8_z（） N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x, 0, z),则由NE面PAC可得即化简得即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，解法二：（）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角, 在AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，, 即AC与PB所成角的余弦值为（）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.连PF，则在RtADF中DF=.设N为PF

8、的中点，连NE，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC从而NE面PACN点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。【文】在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，沿对角线AC将折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上。（1）求证：AB平面BCD（2）求异面直线BC与AD所成的角。解：(1)在梯形ABCD中,AD=2，又平面ACD，故又，且平面BCD（2）因为BA=BC，为AC中点，取CD中点E，A

9、B中点F，连结OE、OF、EF，则OE/AD，OF/BC，所以AD与BC所成的角为或其补角.作FH/BO交AC于H，连结HE, 则FH平面ACD在三角形EOF中，又，EO=1由余弦定理知故异面直线BC与AD所成的角为【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。【范例3】如图，在斜三棱柱中，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（）求与底面ABC所成的角（）证明平面（）求经过四点的球的体积解：（）过作平面，垂足为连结，并延长交于，于是为与底面所成的角，为的平分线又，且为的中点. 由三垂线定理，且，于是为二面角的平面角，即由于四边形为平行

10、四边形，得（）证明：设与的交点为，则点为的中点连结在平行四边形中，因为的中点，故而平面，平面，所以平面（）连结在和中，由于，则，故由已知得又平面，为的外心设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线在中，故所求球的半径，球的体积【点晴】（）（）两小题注意使用二面角属于简单立几问题。（）要注意球的几何性质以及平面几何知识的合理利用。【文】在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA面ABCD，PAABa，E为BC中点.（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小解：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，PA平面

11、ABCD， ADPA、AB, PAAB=ADA平面BPA于A, 过A作AOPF于O，连结OD,则AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。得，故面PDE与面PAD所成二面角的大小为（2）解法1（面积法）如图ADPA、AB, PAAB=ADA平面BPA于A, 同时BC平面BPA于B,PBA是PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为,cos=SPAB/SPCD=/2 =450即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。解法2（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，则PQPA、PD，于是APD是两面所成二面角

12、的平面角。 在RtPAD中，PA=AD，则APD=45°。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°。【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循一作二证三计算的步骤，但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。【范例4】如图，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且.（I）证明：C1CBD；（II）假定CD=2，C1C=，记面C1BD为，面CBD为，求二面角 BD 的平面角的余弦值；（III）当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明。（I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结 四边形ABCD是菱形， ACBD，BC=CD又， ， ，

13、DO=OB， BD，但 ACBD，AC=O， BD平面又 平面， BD（II）解：由（I）知ACBD，BD， 是二面角的平面角在中，BC=2， OCB=， OB=BC=1 ， 即作OC，垂足为H 点H是OC的中点，且OH ，所以 （III）当时，能使平面证法一： ， BC=CD=，又，由此可推得BD=三棱锥C- 是正三棱锥设与相交于GAC，且OC=21，GO=21又是正三角形的BD边上的高和中线，点G是正三角形的中心，CG平面即平面证法二：由（I）知，BD平面，平面，BD当时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD的证法可得又 BD=B，平面PACDB【点晴】本题综合考查了立体几何的各种基础

14、知识，（III）作为开放题有一定难度，常使用猜测（或特殊情形猜测）再分析证明的解决方法。【文】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，并且PD=a，PA=PC=。（1）求证：PD平面ABCD；（2）求异面直线PB与AC所成的角；（3）求二面角A-PB-D的大小。（4）在这个四棱锥中放一个球，求球的最大半径。解：（1）PC=，PD=PC=a，DPDC是RtD，且PDDC，同理PDAD，又ADDC=D， PD平面ABCD。（2）连BD，因ABCD是正方形，BDAC，又PD平面ABCD。BD是PB在面ABCD上的射影，由三垂线定理得PBAC，PB与AC成90°角。（3

15、）设ACBD=O，作AEPB于E，连OE，ACBD，又PD平面ABCD，ACÌ平面ABCD，PDAC，又PDBD=D， AC平面PDB，则OE是AE在平面PDB上的射影。由三垂线定理逆定理知OEPB， ÐAEO是二面角A-PB-D的平面角。又AB=a，PA=，PB=， PD平面ABCD，DAAB，PAAB，在RtDPAB中，AEPB=PAAB。AE=，又AO= ，ÐAEO=60°，二面角A-PB-D的大小为60°。（4）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面相切，球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个小四棱锥，它们的高

16、均为R，由体积关系得：。【点晴】解决（4）的关键是确定球与四棱锥具有怎样的位置关系时，半径最大，此时怎样建立关于球的半径的等量关系式。立体几何中的最值问题，常有两种解决方法： （1）建立所求量的函数关系式，再求最值；（2）根据立体几何的有关知识，确定在什么位置时，所求量取最值。自我提升1平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（ A ） （A）一条直线（B）一个圆 （C）一个椭圆（D）双曲线的一支2如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长的3倍，那么这条斜线与平面BAHCDEFG IJ所成角的余弦值为( A )A B C D 3如图在正三角形ABC中,E、D、F分别为

17、各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将三角形沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ B ）A90° B60° C45° D30°4已知二面角的大小为，为异面直线，且，则 所成的角为（ B ） A B C D5在ABC中,M,N分别是AB,AC的中点,PM平面ABC,当BC=18,PM=时,PN和平面ABC所成的角是 30°6正六棱柱ABCDED-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角为 60° 。7在正四面体ABCD中，E、F分别为

18、AD、BC的中点。（1）求CE与AF所成的角；（2）求直线CE与平面BCD所成的角。解：（1）连结FD，取FD的中点G，连结GE，E、G分别是AD、FD的中点，故CEG（或其补角）即为CE与AF所成的角。设AB=a，在CEG中， ABCDEFGH故CE与AF所成的角为。（2）正四面体ABCD，BCAF，BCDF，BC面AFD，面AFD面BCD，过E作EHDF于H，则EH面BCD，则ECH为CE与面BCD所成的角。在RtCEH中，即CE与平面BCD成的角为。8已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面AMC与面BMC所成二面角的大小方法一：（）证明：PA面ABCD，CDAD，由三垂线定理得CDPD因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，CD面PAD又CD面PCD，面PAD面PCD （）解：过点B作BE/CA，且BE=CA，则PBE是AC与PB所成的角连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形 由PA面ABCD得PEB=90°在RtPEB中BE=，PB=， （）解：作ANCM，垂足为N，连结BN在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB， AMCBMC,BNCM，故A