第十六章量子力学

1、第十六章量子力学基本要求1、了解波函数及其统计解释。了解一维定态的薛定格方程。2、了解如何用驻波观点说明能量量子化。了解角动量量子化及空间量子化。了解施特 恩-格拉赫实验及微观粒子的自旋。3、了解描述原子中运动状态的四个量子数。了解炮利不相容原理和原子的电子壳层结 构。§ 16- 1波函数.波函数1 .自由粒子的波函数平面简谐波的波动方程xy 二 Acos2二 C t)A指数形式：x2.t_ )y = Ae由此方程知：频率，波长，沿x正方向传播设想：动量一定的自由粒子，沿 x正向传播，有波动性，则:EhV = 丸=h 'Py(x,t)(x,t) ; A°则:屮(x,

2、t)aoe£Et -Px)式中，匸(x,t):自由粒子的波函数'0 :波函数的振幅三维运动:(r ,t)m%e-i(Et-Pr )2.波函数的物理意义2 -波函数的统计解释：波函数模的平方怦(r,t)与粒子在t时刻r处出现的概率密度w(r,t)成正比。2w(r,t) =¥(r,t)物质波(德布罗意波)概率波3.概率密度(几率密度) 某点处单位体积元内粒子出现的概率；2dW 二 dV , dV = dxdydz列dV4.波函数的性质(标准条件)单值性:某时某处概率唯一;有限性:W ：: 1 ；连续性:W的分布是连续的波函数的归一化条件:2川屮| dV =1V5.德布罗

3、意波与经典波的区别 微观粒子运动的统计描述，不是某量周期性变化的传播;德布罗意波，有归一化条件，-与C*同。经典波的I =C2I§ 16-2薛定格方程、薛定格方程1. 自由粒子的薛定格方程斗 Et-Px) x方向运动：-' 0e-d Et -P7)r方向运动：- j0e对x,y,z求二级偏导，得:(1)I 2,-;=对t求一级偏导，得:jt2m(2)将（1）式代入得:户 2-' 2? -i自由粒子的含时薛定格方程2m：t2. 非自由粒子的薛定格方程-2 .： - 汽 +卩屮=诗 一般形式的含时薛定格方程2m;t3. 定态薛定格方程设：(x,y,z,t) =>(x

4、,y,z) f(t)'定态波函数：iEt- (x,y,z,t)吕(x,y,z) e_定态势场中运动粒子的薛定格方程一 '、強亠 = E't2m例：求一维势井中粒子的能量、波函数及概率密度一维势井:U(x)解之得:0 (0 ： x ： a ) ：(x 乞 0,x - a)本征能量:h27 28mah28ma2=0（零点能）En本征波函数:-：Jn(X)n兀 sin xa概率密度:(0 < x v a)stxn(X)0alx(x)ywvzxzx2 on TTY(x)=甲n(x) = sin2() (0 ex ca)aa讨论:1. 对无限深势井来说，粒子只能在U= 0的

5、区域内运动，称为束缚态，所得到的定态方程的解，只能取一些驻波的形式2. 粒子在势井内各处出现的概率密度随量子数改变3. 相邻两能级间的距离：h28ma2(2n 1)* § 16-3势垒隧道效应微观粒子的能量小于势垒高度时，可以穿过势垒到达另一侧的现象。* § 16-4 一维谐振子一维谐振子1能量量子化：En =（ nn =0,1,213121零点能：E。 h-2§ 16-5氢原子§ 16-5-1玻尔的氢原子模型二玻尔理论的实验基础1. 原子的有核模型原子是中性的，稳定的；核外电子绕核作圆周运动;2. 氢原子光谱的实验规律 综合经验公式：=农-丄），n =

6、 m 1,m 2,m nRM096776 107m1m =1，赖曼系；m=2，巴尔末系；m = 3，帕邢系；m = 4，布喇格系; m =5，普芳德系； 里兹并合原理 =T(m) _T(n)式中：T(m),T( n)称为光谱项氢原子光谱：谱线是分裂的，线状的；原子光谱线的波数，由光谱项之差 确定。二. 经典电磁理论遇到的困难卢瑟福原子模型+经典的电磁理论，必将导出：1. 光谱连续2. 原子不可能是稳定的系统； 与事实不符！三. 玻尔理论1 .基本思想： 承认卢瑟福的原子天文模型 放弃一些经典的电磁辐射理论 把量子的概念用于原子系统中2.玻尔的三条假设 原子系统只能处于一系列不连续的稳定态(电子

7、绕核加速运动，但不发 射电磁波的能量状态，简称能态) 处于稳定态中，电子绕核运动的角动量满足角动量量子化条件hL = n 二 nh , n = 1,2,3； 频率条件：当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，放出或吸收单色辐 射的频率满足hv = En Em3. 讨论: 轨道量子化，稳定轨道半径公式n =1,2,3,n =1,2,3;.2 2 z0h n rn -2 'mZe对氢原子，Z= 1.2 2g0h nr =1 n27n men = 1 , 口 = 0.0529nm2 2rn 二 n 口 = 0.0529 n ( nm ) 能量量子化-能级(原子系统的总能量公式)4 d匚me1n

8、123.En2 2 2, n =1,2,3,8査2h2 n2n =1, E1=-13.6eVn2eV能级：量子化的能量状态（数值）能态nE/eV基态113.6第一激发态23.4第二激发态31.5133;电离状态OO0 氢原子光谱En Em 当n很大时，量子化特征消失，玻尔结果与经典结果同EnEn -E2n 1EnEn(n-1)-=0四. 玻尔理论的局限性1 成功之处 能较好地解释氢原子光谱和类氢原子光谱; 定态能级假设； 能级间跃迁的频率条件。2.局限性 以经典理论为依据，推出电子有运动轨道、确定的空间坐标和速度 人为引进量子条件，限制电子运动 不能自洽。对稍微复杂些的系统，如氦和碱土金属的光

9、谱(谱线的强度、 宽度、偏振)等均无法解释§ 16-5-2氢原子的量子力学理论氢原子求解薛定格方程得到：主量子数n =1,2,3 决定能量E角量子数1=0,1,2,3,(n-1)，决定角动量L磁量子数mi =0,_1,_2,_3,一1，决定角动量的空间量子化。类氢离子的能级：E-Z2ev，其中原子序数Z=1时，得氢原子能级。n玻尔频率假设：hv = En-Ek氢 原 子 光 谱：疔=1 =R( -= En 一Ekk=1,2,3,4,5九 k nhcn 二 k 1,k2,；:角动量：L = .1(11)'角动量在任一方向的分量：Lz =mi原子内电子的运动不能用轨道描述，只能用

10、波函数给出的概率密度描述。§ 16-6电子自旋电子自旋：由电子自身属性决定的固有运动。施特恩-格拉赫实验：只能用电子自旋角动量的空间取向量子化来解释，是直 接证实电子自旋存在的最早实验之一。, ；3自旋角动量：S =Js(s 1)-'2自旋角动量在任一方向的分量：Sz -ms',自旋磁量子数ms-2§ 16-7多电子原子原子中的电子的状态用四个量子数 n,l,mi ,ms决定。(1) 主量子数n =1,2,3，决定电子能级的主要部分。一般情况下，n越大，电子 的能量越高。(2) 角量子数l = 0,1,2,3 ,(n-1)，决定电子角动量 L，还轻微影响电子

11、能量。 一般情况下，n相同的电子中，l越大，电子的能量越高。(3) 磁量子数ml = 0, _1,_2, _3,_l，决定电子角动量的空间取向。(4) 自旋磁量子数ms = 1，决定电子自旋角动量的空间取向。2炮利不相容原理：一个原子系统中，不可能有两个或两个以上的电子处于相同的 状态。即它们不可能具有完全相同的四个量子数(n ,l,mi,ms)。原子的壳层结构：主壳层由n相同的状态组成，最多可容纳2n2个电子，包括n 个支壳层。支壳层由l相同(n定)的状态组成，最多可容纳2(2l1)个电子。电子组态：1s22s22p6 3s2 本章小结1、波函数波函数：全面描述微观粒子波粒二象性的波函数？(

12、r,t)2 波函数的统计解释：波函数模的平方甲(r,t)与粒子在t时刻r处出现的概率密度 w(r,t)成正比。w(r,t)二?(r,t)波函数的标准条件：单值、连续、有限。一 2波函数的归一化条件：出韶甲(r,t) dV=12、薛定格方程2 2 -2宇 UY - i'2m: t定态波函数：v(r,t) = (r) f(t) = (r)eh2 d M>一维定态薛定格方程：笃= E2m dx*3、隧道效应微观粒子的能量小于势垒高度时，可以穿过势垒到达另一侧的现象。*4、一维谐振子1能量量子化：En = (n)2n = 0,1,2,3, 21零点能：E0 = h .25、氢原子求解薛定

13、格方程得到：主量子数n = 1,2,3 决定能量E 角量子数I =0,1,2,3 (n -1)，决定角动量L磁量子数mi =0,一1,一2,一3,，一1，决定角动量的空间量子化。2 13 6类氢离子的能级：En二-Z2 2 eV，其中原子序数Z=1时，得氢原子能级。n玻尔频率假设：hv=En-Ek氢原子光谱：111 、 En -EkRJ 2 一 2)-kknhck=1,2,3,4,5n = k 1, k 2,角动量：L1(1 1)'角动量在任方向的分量：Lz - mI原子内电子的运动不能用轨道描述，只能用波函数给出的概率密度描述。6、电子自旋电子自旋：由电子自身属性决定的固有运动。施特恩 格拉赫实验：只能用电子自旋角动量的空间取向量子化来解释，是直接证实电子 自旋存在的最早实验之一。自旋角动量：ss(s 1)一 =：-1自旋角动量在任一方向的分量:Sz = ms ,自旋磁量子数ms -27、多电子原子原子中的电子的状态用四个量子数n,l, m, ,ms决定。主量子数n =1,2,3，决定电子能级的主要部分。一般情况下， n越大，电子的能量越 高。（2） 角量子数I = 0,12,3 ,（n-1），决定电子角动量 L,还轻微影响电子能量。一般情况 下，n相同的电子中，I越大，电子的能量越高。（3）磁量子数m, = 0,二1,