书人2012期末复习题(全部80题及完全解答)(修订版)

1、书人2012秋季期末复习题及答案（一）书人2012期末复习题（1-40题）解答1、 有一个自然数，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数是多少？【解】：ak=N，a+N=123，a（k+1）=123，a=41，k+1=3，k=2； N=82，2、 a、b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a和b。【解】：12=2×2×3；可以形成1、2、3、4、6、12这6个约数。8=4×2=（3+1）×（1+1）9=3×3=（2+1）×（2+1）a=23×3=24；b=22×32=363、 求具有15

2、个约数的最小自然数N，并求这个自然数15个约数的和。【解】：15=5×3=（4+1）×（2+1） N=24×32=16×9=144 (20+21+22+23+24)×(30+31+32)=(1+2+4+8+16)×(1+3+9)=31×13=403 1、2、3、4、6、8、9、12、16、18、24、36、48、72、1444、 如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是多少？【解】：本题就是求“完全平方数” 302=900，312=961，322=1024所以，最大

3、希望数=9615、 一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积，这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少？【解】：N=25×33×56×7 100以内最大约数=25×3=32×3=966、 一个数的约数中，将所有的约数两两求和分别是3、5、6、7、9、11、12、14、15、21、22、24、25、30，这个数是多少？【解】：这个数的约数有1、2、4、5、10、20；所以这个数是20；7、 甲乙两个数都含有2、3、5这三个质因数，它们的最大公约数是60，已知甲有18个约数，乙有16个约数，且甲大于200，则甲乙分别是

4、多少？【解】：60=2×2×3×5 （a+2+1）（b+1）（c+1）=18=2×3×3 a=0，b=1，c=2；甲=2×2×3×5×5=300；a=0，b=2，c=1；甲=2×2×3×3×5=180；因为，甲>200，所以，甲=300； （a+2+1）（b+1）（c+1）=16=4×2×2 a=1，b=1，c=1；乙=2×2×2×3×5=120；8、 有一个整数，个位是0，它共有8个约数，这个数最小

5、是多少？【解】：8=2×4=（1+1）（3+1）=(1+1)(1+1)(1+1) 因为个位为0，所以有因数2、5；N=23×5=40；Nmin=2×3×5=309、 已知a（自然数）有3个约数，那么4a有多少个约数？【解】：4a=22×a；当a=4时，4a有5个约数； 当a4时，（2+1）×3=9；4a有9个约数；10、 若A为质数，且AAAAAA的所有约数个数为48，则AAAAAA所有约数的和是多少？【解】：AAAAAA=A×111111=A×3×7×11×13×37 48

6、=（a+1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1） =3×2×2×2×2所以，当A=3时，约数和=（30+31+32）（70+71）（110+111）（130+131）（370+371）=13×8×12×14×38=663936 当A=7时，约数和=（30+31）（70+71+72）（110+111）（130+131）（370+371）=4×57×12×14×38=145555211、 某自然数是3和4的倍数，包括1和本身

7、在内共有10个约数，那么这个自然数是多少？【解】：倍数4=22、3 10=2×5=（a+2+1）（b+1）；a=2，b=1 N=24×3=48 约数为：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 12、 有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是多少？【解】：1111=11×101=（1+2+3+5）×10113、 一个自然数的3次方恰好有100个约数，那么这个自然数本身最少有几个约数？【解】：当自然数有1个因数时，（3a+1）=100，a=33；当自然数有2个因数时，（a×3+1）（b×3+1）=100，a

8、=8，b=1或a=3，b=3； （a+1）（b+1）=18或（a+1）（b+1）=16所以，这个自然数本身最少有16个约数14、 已知abc是一个质数，abcabc全部约数的和是137088，则abc等于多少？【解】137088=（abc0+abc1）×（110+111）×（130+131）×（70+71）=(1+abc)×12×14×8 （1+abc）=102；abc=10115、 A为质数，问AAAAAA有多少个约数？【解】：当A<10，且A=3、7时，AAAAAA=A ×111111=A×3×

9、7×11×13×37，24×3=48；当A<10，且A3、7时AAAAAA=A ×111111=A×3×7×11×13×37，25=64；16、 已知一个数的最小的两个约数的和是8，最大的两个约数和是1144，求这个数是多少？【解】：因为最小的约数是1，所以8=1+7；1144÷8=143，N=143×7=100117、 求具有15个约数的最小自然数N，并求这个自然数15个约数的和。【解】：同第3题，N=144，约数和=40318、 含有6个约数的两位数有几个？【解】：

10、6=（5+1）=（1+1）（2+1） 25=32、2×32=18、2×52=50、2×72=98、22×3=12、22×5=20、22×7=28、22×11=44、22×13=52、22×17=68、22×19=76、22×23=92、3×52=75，32×5=45、32×7=63、32×11=99，共16个；19、 写出360到630的自然数中，有奇数个约数的数【解】：361=192，400=202，441=212，484=222，529=23

11、2，576=242，625=252；20、 在一个数的约数中，将所有不同的约数两两求和，所有的和中，最小的是4，最大的是2012，求这个数是多少？【解】：4=1+3，2012÷4=503；N=503×3=150921、 A、B两个数只含有质因数2和5，它们的最大公约数是100，且A有15个约数，B有12个约数，求A和B？【解】：100=22×52（a+2+1）（b+2+1）=15，a=2，b=0；A=24×52=400或=22×54=2500；（a+2+1）（b+2+1）=12，a=1，b=0；A=23×52=200或=22×

12、;53=500；所以A=400、B=500或A=2500、B=200。22、 100以内只有4个约数的自然数共有多少个？【解】：23=8、33=27、2×3=6、2×5=10、2×7=14、2×11=22、2×13=26、2×17=34、2×19=38、2×23=46、2×29=58、2×31=63、2×37=74、2×41=82、2×43=86、2×47=94、3×5、3×72+14+9+5+2=3223、 求不大于60的，约数个数最

13、多的自然数有哪些？【解】：60=2×2×3×512=3×2×2=（a+1+1）（b+1）（c+1）24、 有一个只含有质因数2和5的自然数，且它的所有约数和为217，求这个自然数？【解】：217=7×31=（20+21+22）（50+51+52）=7×31 N=22×52=10025、 有一个整数，个位是0，它共有8个约数，这个数最小是多少？【解】：同第8题，因为个位是0，所以有因数2、5， 8=4×2=（3+1）（1+1）=2×2×2 N=23×5=40；N=2×

14、3×5=3026、 数A=（2×2×2×2×2）×（3×3×3）×（5×5）×7有许多约数，其中最大的两位数约数是多少？【解】：最大两位数约数=（2×2×2×2×2）×3=9627、 有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是多少？【解】：2800=24×52×7 10=2×5=（4+1）（1+1），A=24×7=112； 9=3×3=（2+

15、1）（2+1），B=22×52=10028、 边长为自然数，面积为210的形状不同的长方形有多少个？【解】：210=2×3×5×7，个数=（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=16 16÷2=8个29、 已知自然数N，它能被3、4、5整除，且有24个约数，求满足条件的最小N?【解】：24=（a+1）（b+2+1）（c+1）=2×2×2×3 a+1=2，b+2+1=4，c+1=3；a=1，b=1，c=2；N=3×23×52=600 或 N=5×23

16、×32=360; a+1=2，b+2+1=6，c+1=2；a=1，b=3，c=1；N=3×25×5=480;a+1=4，b+2+1=3，c+1=2；a=3，b=0，c=1；N=33×22×5=540;所以，N=360 30、 某个自然数有12个约数，并且它的所有的约数和为195，问这个数是多少？【解】：195=5×3×13=15×13，12=2×2×3=4×3=2×6， 15=（20+21+22+23），13=（30+31+32） N=23×32=72 31、 10

17、0以内约数个数最多的自然数有5个，它们分别是几？【解】：约数个数最多=4×3=3×2×2=6×2=12 a3×b2或a2×b×c或a5×b N= 23×32=72；N=33×22=108；N= 23×52=200； N= 22×3×5=60；N= 22×3×7=84；N= 22×3×11=132；N= 32×2×5=90；N= 25×3=96N：60、72、84、90、9632、 某自然数是3和4

18、的倍数，这个数包括1和其本身在内共有15个约数，这个自然数是多少？【解】：（a+2+1）（b+1）=15，a+2+1=5，b+1=3；a=2，b=2； N=24×32=144；N=22×34=32433、 求自然数N，它能被4和49整除，且有12个约数。【解】：4=22，49=72；12=4×3；N=23×72=392或N=22×73=137234、 将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是78的大于1的约数，求这个两位数？【解】：78=2×3×13， 则a+b=13，a-b=3，a=8，b=5；a+b=6，a-b=2；b=2，a=4；当b=0时，a+b=2，a-b=2；a=2；a+b=3，a-b=3；a=3；a+b=6，a-b=6；a=6；N=85；42；20、30、60； 35、 将一个两位数的十位数字减去它的个位数字，所得到的数是12的大于1的约数，求满足这个条件的两位数有几个？、【解】：12的约数：1、2、3、4、6、12； 满足a-b=2，有8个； 满足a-b=3，有7个； 满足a-b=4，有6个； 满足a-b=6，有4个； 8+7+6+4=25个36、 20n是1×2×3×4××2011×2012的因数