二次函数知识点总结材料与典型例题

1、实用标准二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数的概念和图像1 、二次函数的概念一般地，如果y = ax2+bx+c(a,b,近常数，a#0),那么y叫做x的二次函数。y=ax2 +bx+c(a,b,c是常数，a =0)叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像b二次函数的图像是一条关于x =-上-对称的曲线，这条曲线叫 抛物线。2a抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法-五点法：二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：(1) 一般式：y = ax2+bx + c(a,b,cM常数，a#0)(2)顶点式：y = a(xh)2 + k(a, h,k 是常数，

2、a*0)(3)当抛物线y = ax2 +bx+c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2+bx + c = 02有头根xi和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax +bx + c = a(xx1)(xx2),二次函数y=ax2 +bx + c可转化为 两根式y = a(x-x1)(x-x2)。如果没有交点，则不能这样表不。三、抛物线 y = ax2+bx + c中，a,b, c的作用(1) a决定开口方向及开口大小，这与 y = ax2中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线又称轴的位置 .由于抛物线y = ax2+bx+ c的对称轴是直线b. 一 bx=，故：b =0时，对称轴为y轴所在

3、直线；一 >0(即a、b同节)时，2aab对称轴在y轴左侧；b <0 (即a、b异号)时，对称轴在 y轴右侧.a(3) c的大小决定抛物线 y = ax2+bx+c与y轴交点的位置.当x=0时，y=c,，抛物线y =ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0, c)： c = 0 ,抛物线经过原点；c a 0 ,与y轴交于正半轴；c < 0 ,与y轴交于负半轴以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 -<0.a四、二次函数的性质函数1、二次函数的性质y =ax2 +bx + c（a,b,c是常数，a = 0）a<0图像性质(1)抛物

4、线开口向上，并向上无限延伸；一一一 b(2)对称轴是x=,顶点坐标是2a/ b 4ac -b2 .(,);2a 4a(3)在对称轴的左侧，即当 x<工时，y随x2a b的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增；b(4)抛物线有取低点，当 x=-时，2a,24ac -by有取小值，y最小值=4a(D抛物线开口向下，并向下无限延伸；b(2)对称轴是x=,顶点坐标是2a/ b4ac-b2、(,);2a 4a(3)在对称轴的左侧，即当 x<- -b-时，y2a随x的增大 b而增大；在对称轴的右侧，即当 x>- b2a时，y随x的增大而减小，

5、简记左增右减；b(4)抛物线有取局点，当 x=时，2a24ac-by有取大值，y最大值一4a五、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的 b = b2 -4ac ,在二次函数中表示图像与 X轴是否有交点。当A>0时，图像与x轴有两个交点；当A=0时，图像与x轴有一个交点；当4<0时，图像与x轴没有交点。补充： 函数平移规律：左加右减、上加下减六、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当b gx =- 时,2a4ac -b2y最值4ab 如果自变量的取值范围是 x1 &

6、lt; x < x2,那么，首先要看 是否在自变量取值范围 2ax WxWx?内，若在此范围内，则当b ,4ac-b2x=一 时，y最值=2a4a若不在此范围内，则需要考虑函数在x1 Ex Ex2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x = x2时，y最大=ax2 + bx2+c ,当x = x1时，y最小=ax；+bxI+c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x = x1时，y最大=ax12 + bx1 + c,当x = x2时，y最小=ax2+bx2 +c。典型例题1.已知函数y = J'X 1) 1"、3),则使y=k成立的x值恰好有三个，

7、则k的值为()x -5 2 -1 x>3A. 0 B. 1C. 2D. 32 .如图为抛物线 y =ax2+bx+c的图像，A B、C为抛物线与坐标轴的交点， 且OAOG1, 则下列关系中正确的是()A. a+b=-1B. a b=1C . b<2aD .ac<0a3 . 一次函数y =ax+bx+c的图象如图所不，则反比例函数y= 与一次函数y = bx + cx在同一坐标系中的大致图象是().5.在平面直角坐标系中，将抛物线y = x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180° ,所得抛物线的解析式是().A.y = -(x+1)2+2B.y=-(x-1)2+42

8、2C.y = -(x-1) +2D.y=-(x+1)+46 .已知二次函数y =ax2 +bx +c的图像如图，其对称轴x = 1 ,给出下列结果.2b >4acabc >02a+b =0a+b+c a 0a b+c < 0 ,则正确的结论是（）7 .抛物线y =ax2+bx + c上部分点的横坐标 x,纵坐标y的对应值如下表:x-21012y04664从上表可知，下列说法中正确的是 .（填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（3,0）；函数y = ax2 + bx + c的最大值为6；1 抛物线的对称轴是 x=；在对称轴左侧， y随x增大而增大.2 y8 .如图，在平面直角坐标

9、系中，O是坐标原点，点 A的坐标是（一2, 4）,过点A作AHy轴，垂足为B,连结OA（1）求AOAB勺面积；（2）若抛物线y =x2 2x+c经过点A.求c的值；将抛物线向下平移 m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB勺内部（不包括 O用的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）.9 .已知二次函数y=4 x 2+ 3 x的图像如图.(1)求它的对称轴与 x轴交点D的坐标；(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A R C三点，若/ ACR90。，求此时抛物线的解析式；(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为 M以AB为直径，D为圆心作。D,试判断

10、直 线CM与O D的位置关系，并说明理由.精彩文档10 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，AB在x轴上，AB= 10,以AB为直径的。O'与y轴1正半轴交于点 C,连接BC ACCDO O的切线，ADL CDT点D, tan / CAD=，抛物线2y=ax +bx + c过 A, B, C三点.(1)求证：/ CAD= / CAB(2)求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点 E是否在直线CD上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点 P,使四边形PBC屈直角梯形.若存在，直接写出点 P的 坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由.11.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABC四直角

11、才!形，BC/ AD / BAB 90° , BC与y轴相交于点 M且M是BC的中点，A B D三点的坐标分别是 A (-1 , 0), B( -1 , 2), D( 3 , 0),连接DM并把线段 DMgDAT向平移到 ON若抛物线y=ax2+bx+c经过点D M N.(1)求抛物线的解析式(2)抛物线上是否存在点P.使得PA= PC若存在，求出点 P的坐标；若不存在.请说明理由。(3)设抛物线与x轴的另一个交点为 E.点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点 Q 在什么位置时有 QE -QC最大？并求出最大值。12 .如图，抛物线y= 1 x2+bx 2与x轴交于A B两点，与y轴交于C点，且A( 1, 0)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断 ABC勺形状，证明你的结论；点Mm 0)是x轴上的一个动点，当 cmdm勺值最小时，求 m勺值.13 .在平面直角坐标系中，如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形 OABC相邻两边2O府口 OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线 y=ax+bx+c(