高中总复习第一轮数学 第二章 2.4 函数的奇偶性教案 新人教A版

1、2.4 函数的奇偶性巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.奇函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)或f(x)+f(-x)=0,则称f(x)为奇函数. 2.偶函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)或f(x)-f(-x)=0,则称f(x)为偶函数. 3.奇、偶函数的性质 (1）具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称). (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. (3)若奇函数的定义域包含数0，则f(0)=0. (4)奇函数的反函数也为奇函数. (5)

2、定义在(-,+)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. 二、点击双基1下面四个结论中，正确命题的个数是( ）偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)A.1 B.2 C.3 D.4解析:不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0x(-a,a).答案:A2已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是( )A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析:由f(x)

3、为偶函数，知b=0，有g(x)=ax3+cx(a0)为奇函数.答案:A3 若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-,0上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是( )A.(-,2) B.(2,+) C.(-2)(2,+) D.(-2,2)解析：由图象法可解,由函数的性质可画出其图象如图所示. 显然f(x)<0的解集为x|-2<x<2,故选D.答案：D4已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 006)的值为( )A.2 B.0 C.-2 D.±2解析:由题意得g(-x)=f

4、(-x-1)=f-(x+1),g(x+2)=f(x+1), g(x+2)=g(-x)=-g(x). g(x+4)=-g(x+2)=g(x). g(x)为周期函数且T=4. f(2 006)=g(2 007)=g(3+2 004)=g(3)=f(2)=2. 故选A.答案:A5已知f(x)=ax2+bx+3A+b是偶函数，且其定义域为a-1，2a，则a=_，b=_.解析:定义域应关于原点对称， 故有a-1=-2a，得A=. 又对于所给解析式，要使f(-x)=f(x)恒成立，应b=0.答案: 0诱思·实例点拨 【例1】f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)

5、=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A.2 B.3 C.4 D.5解析:周期为3,且f(2)=0,是R上的奇函数, f(2)=f(-1)=-f(1),f(2)=-f(-2), f(-2)=f(1)=f(4),f(2)=f(5). f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0.答案:D【例2】 判断下列函数的奇偶性:(1）f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1)·(3)f(x)=;(4)f(x)=剖析:根据函数奇偶性的定义进行判断.解:(1)函数的定义域x(-,+),对称于原点. f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(

6、|x+1|-|x-1|)=-f(x), f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数. (2)先确定函数的定义域.由0,得-1x<1,其定义域不对称于原点， 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)去掉绝对值符号，根据定义判断. 由 得 故f(x)的定义域为-1，0(0，1)，关于原点对称，且有x+2>0.从而有f(x)=，这时有f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数. (4)函数f(x)的定义域是(-,0)(0,+),并且当x>0时，-x<0, f(-x)=(-x)1-(-x)=-x(1+x)=-f(x)(x>0).当x<0时，-x>0, f(

7、-x)=-x(1-x)=-f(x)(x<0). 故函数f(x)为奇函数.讲评:(1)分段函数的奇偶性应分段证明. (2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 函数f(x)的定义域为D=x|x0,且满足对于任意x1、x2D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且f(x)在(0,+)上是增函数，求x的取值范围.(1)解:令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.(2)证明:令x1=x2=-1,有f(-1)

8、×(-1)=f(-1)+f(-1).解得f(-1)=0. 令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),f(-x)=f(x). f(x)为偶函数.(3)解:f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3. f(3x+1)+f(2x-6)3,即f(3x+1)(2x-6)f(64). (*) f(x)在(0,+)上是增函数， (*)等价于不等式组 或 即 3<x5或-x<-或-<x<3. x的取值范围为x|-x<-或-<x<3或3<x5.讲评:解答本题易出现如下思维障碍: (1)无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性. (2）无法得到另一个不等式.解决办法:关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.链接·拓展 已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)>0的解集是(a2,b),g(x)>0的解集