数学分析-Taylor公式与科学计算

1、编辑ppt Taylor公式与科学计算公式与科学计算 -从导数的数值计算谈起从导数的数值计算谈起 编辑pptTaylor公式与科学计算公式与科学计算 1. Taylor公式微积分顶峰公式微积分顶峰2. 计算机如何实现导数的计算计算机如何实现导数的计算3. 数值计算精度分析数值计算精度分析4. 计算机实现导数计算存在的问题计算机实现导数计算存在的问题5. Taylor公式解决问题公式解决问题6. 李查逊外推（李查逊外推（Richardson）7. Lagrange插值基本思想和方法插值基本思想和方法编辑pptTaylor公式：微分学顶峰公式：微分学顶峰)1()()(limoAxfAxf 可可微微

2、在在000)(),()(xxxfxxOBxxAxf 函数用常数（极限代替），误差是无穷小函数用常数（极限代替），误差是无穷小 )(!)(0000nknkkxxoxxkxfxf ()0( ),()nf xno xx-用 次多项式代替 产生误差函数用一次多项式逼近，产生的误差是高阶无穷小函数用一次多项式逼近，产生的误差是高阶无穷小编辑ppt应用举例：用多项式逼近函数应用举例：用多项式逼近函数)()!12()1(!7!5!3sin2121753nnnxoxnxxxxx 三角函数表哪里来？三角函数表哪里来？aylor 公式公式)()!2()1(!6!4!21cos122642 nnnxoxnxxxx编

3、辑ppt应用举例：用多项式逼近函数应用举例：用多项式逼近函数编辑ppt应用举例：用多项式逼近函数应用举例：用多项式逼近函数! 33xxy ! 33xxy xysin xy 编辑ppt应用举例：用多项式逼近函数应用举例：用多项式逼近函数xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy 编辑ppt导数的数学定义与数值计算导数的数学定义与数值计算导数的数学定义导数的数学定义计算机实现导数的计算计算机实现导数的计算 ()( )0limf x hf xhh()( )(/2)(/2)( )( )f x hf xhf x hf x hhf xf x 计算机无法实现无限次计算解决问题办法是近似计算，

4、解决问题办法是近似计算，有限次逼近无限次运算有限次逼近无限次运算编辑ppt数值计算精度分析数值计算精度分析计算精度分析计算精度分析22()()()/ 2()()()()()( )(1)fxhfxh fxo hfxhfxhfxhxffxo 无穷小阶描述数学问无穷小阶描述数学问题重要工具，不需要题重要工具，不需要精确数学表达式，仅精确数学表达式，仅需要对整体有个估计需要对整体有个估计(/2)(/2)( )( )( )f x hf x hhfxfxo h h越小，近似计越小，近似计算的精度越高算的精度越高编辑ppt计算实例计算实例 计算实例与存在的问题计算实例与存在的问题( )f xx2x h 逼近

5、值逼近值 2 0.3360 1 0.3564 0.2 0.3535 0.1 0.3530 0.02 0.3550 0.01 0.3500 0.002 0.3500 0.0010.3000 0.00020.3000注意到一个现象：注意到一个现象： (1) 从表中看出从表中看出 h=0.2时候计时候计 算效果最佳算效果最佳 (2) 取得比取得比 h=0.2 小时计算的小时计算的效果越来越差效果越来越差实验结果与数学分析结论完全不一致！透过现象看本质！编辑ppt数值运算误差的初步分析数值运算误差的初步分析n定义：假设定义：假设 为整数，为整数，如果如果 则称则称 有有n位有效数字。位有效数字。111

6、010 ,nmjjjxm11102m nx x x3.1416的近似值的近似值 具有具有5位有效数字位有效数字 例例1：结论：有效数字是从第一位不等于结论：有效数字是从第一位不等于0的数算起！的数算起！ 编辑ppt数值运算误差的初步分析数值运算误差的初步分析2104)()(:922, 1 babax解解2991()100,10 ,1xab xab 例例021010,2101010104)(10100000000001. 0101 . 0110)(992991992910109 xxbaba求两个实根，保留小数点后面位求两个实根，保留小数点后面位1,10:291 xx精精确确解解为为b没起作用，

7、“大数吃小数”!编辑ppt数值运算误差的初步分析数值运算误差的初步分析.),2(),cos1(10)(:207要要求求保保留留四四位位计计算算设设例例gxxg 61250175. 0102)2(2sin102)(:1:27027 gxxg方方法法解解 6000994. 01102cos110)2(:27070 g方方法法方法和方法哪个更精确？方法和方法哪个更精确？编辑ppt数值运算误差的初步分析数值运算误差的初步分析0006. 02cos1,cos0 有有四四位位有有效效数数字字假假如如x两个相近的数相减有效数字会严重损失！两个相近的数相减有效数字会严重损失！寻求补救办法！寻求补救办法！编辑p

8、ptTaylor公式解决问题公式解决问题 23(3)23(3)2(4)42()( )( )( )( ) .( )23!()( )( )( )( ) .( )23!()()( )( )( ).()23!5!由公 式nnnTaylorhhf x hf xf xhf xfxohhhf x hf xf xhf xfxohf x h f x hf xhfxhf xohh 编辑pptTaylor公式解决问题公式解决问题12(4)422(4)4242412()()( )2( )( )( )( ).()3!5!( )( )( )( /2).()2(3!)2(5!)( /2)4( )( ).()14( /2)4

9、nnnf xhf xhG hhfx hfx hfxG ho hfx hfx hfxG ho hG hG hfxc ho hG hG 1321( ),()14G hfxGo h 看到看到解决解决问题问题希望希望编辑pptTaylor公式解决问题公式解决问题 11( )( )/2414mmmmmG hG hGhGhGh将上述方法推广到一般情况将上述方法推广到一般情况数学归纳法，善于归纳一般结论数学归纳法，善于归纳一般结论编辑pptTaylor公式与导数计算公式与导数计算)2(hG2( )G h3G (h)4( )G h2( )2hG3( )2hG2()2hG22()2hG3()2hG计算过程分析计

10、算过程分析 (6)(9)(3)(5)(8)(hG(10)(1)(2)(4) (7)计算过程相当于计算过程相当于半二次循环！半二次循环！编辑pptTaylor公式解决问题公式解决问题 计算计算 的一阶导数值，的一阶导数值， 实验结果如下实验结果如下： ( ),f xctgx(0.004) 625.33344002fhG1G2G4G0.0128696.6346914623.4601726625.3455055625.33342260.0064641.7538023625.2276722625.33361440.0032629.3592047635.32699020.0016626.3350438编

11、辑ppt李查逊外推（李查逊外推（Richardson） 李查逊外推（李查逊外推（Richardson） 假设假设 逼近逼近 有渐进展开的形式：有渐进展开的形式：( )f hf121( ),0.kpknkff hahppp11( )( )1,2,3,.( )( )( )1mmpmmmpf hf hmf qhq f hfhq(1)1mkpmmkkffah善于提炼善于提炼一般性问一般性问题，透过题，透过现象现象看本质看本质编辑ppt外推法和割圆术外推法和割圆术22sin2nrSnn设圆的内接正设圆的内接正n边形面积为边形面积为由由Taylor展开展开35721sin( 1)3!5!7!(21)!kk

12、xxxxxxk 从而从而1(1,)rhn编辑ppt外推法和割圆术外推法和割圆术2462123knkSc hc hc hc h462,12234133knnnkSSShhh 24622123( )( )( )( )2222knkhhhhScccc其截断误差为其截断误差为 ，令，令2()O h4()O h其截断误差为其截断误差为 编辑ppt外推法和割圆术外推法和割圆术62,22 ,1,131611515knnnkSSShh 4622 ,123( )( )( )222knkhhhS其截断误差为其截断误差为 6()O h,2 ,12 ,1,11()41n kn kn kn kkSSSS最后得最后得Ri

13、chardson外推公式外推公式 编辑ppt外推法和割圆术外推法和割圆术1010 表格比较了外推法和常规方法表格比较了外推法和常规方法4105106108109101010111012101310141012896-806448403224n215606374275345741605275423460160734816276n1可以看到对逼近精度为可以看到对逼近精度为 时时,用用Richardson外推方法仅需计算圆的内接外推方法仅需计算圆的内接80正边形面积，而正边形面积，而用常规公式经需要内接用常规公式经需要内接7542边形，在逼近精度边形，在逼近精度为为 时，时， Richardson

14、外推法的优势更明显外推法的优势更明显.1410编辑ppt外推法和割圆术外推法和割圆术编辑ppt外推法和割圆术外推法和割圆术编辑ppt外推法和割圆术外推法和割圆术编辑ppt外推法和割圆术外推法和割圆术编辑ppt外推法和割圆术外推法和割圆术Richardson外推法计算圆周率快速的提外推法计算圆周率快速的提高了计算精度，尤其在高精度逼近时其收高了计算精度，尤其在高精度逼近时其收敛速度是常规方法无法比拟的。敛速度是常规方法无法比拟的。编辑ppt数值运算误差的初步分析数值运算误差的初步分析n用计算机表示任何数字只能是有限位，计算机用计算机表示任何数字只能是有限位，计算机实现任何运算都会有舍入误差，在科

15、学计算中实现任何运算都会有舍入误差，在科学计算中必须充分重视舍入误差对计算结果的影响，这必须充分重视舍入误差对计算结果的影响，这也是科学计算重要而十分艰难的重要研究课题。也是科学计算重要而十分艰难的重要研究课题。n因此在计算机计算的过程中应该避免两个相近因此在计算机计算的过程中应该避免两个相近数字的减法运算。任何一个工程或者科学问题，数字的减法运算。任何一个工程或者科学问题，其数值计算的次数是巨大和海量的，我们必须其数值计算的次数是巨大和海量的，我们必须设计有效的算法控制舍入误差的传播。设计有效的算法控制舍入误差的传播。编辑pptLagrangeLagrange插值基本思想插值基本思想 ( (

16、 ) )(),1,2,3, .niiinP xyf xin= = = =K K构构造造 次次多多项项式式满满足足编辑pptLagrange插值算法和误差估计插值算法和误差估计1.1,()1,2,3, .0,kikilxknki = = = K K构造n个n次多项式，称之为基函数构造n个n次多项式，称之为基函数，011101110()()()()()( )()()()()()kknkkkkkkkknnjjkjj kxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxxxx 编辑ppt0002.Lagrange( )( )nnnjnkkkkkjkjj kxxP xlx yyxx插值多项式为插值多项式为

17、Lagrange插值算法和误差估计插值算法和误差估计 (1)110( )( )( ),(1)!( )()nnnnnnjjffxPxRxxnxxx3 3. .误误差差估估计计 Lagrange插值是否插值是否随着插值随着插值节点的增节点的增加确保收加确保收敛敛,在什么在什么条件下收条件下收敛敛?编辑ppt样条插值逼近算法基本思想样条插值逼近算法基本思想 0121121.),.) ( ),1,2,3, .) ( ),.kiiaa baxxxxbb s xxxikc s xCa b4 4三次样条函数的定义三次样条函数的定义分割分割在每个子区间上是三次多项式,在每个子区间上是三次多项式,满足上述性质的

18、函数集合记为S满足上述性质的函数集合记为S 样条函数体现了分段函数的思想样条函数体现了分段函数的思想编辑ppt样条函数的表达式样条函数的表达式 323012311.0;00.2.( )/6,00 ,.mmkiiiiiiiuuuus xxxxxxaxbsxsxxa b+ +考虑一类跳跃函数考虑一类跳跃函数 样条函数的表达式样条函数的表达式 编辑ppt样条插值逼近定义与算法样条插值逼近定义与算法 40101,0,1,2,1;,.,0,1,2,1,.iikiiks xSs xy iksays byyfxikyfayfb求满足求满足 编辑ppt样条插值逼近定义与算法样条插值逼近定义与算法 411110010001111111,1, 2, 3,12,1, 2,26,226.,1,1, 2,.6iijjjjjjkkkkkkkjjjjjjjjjjjjjjsxSMsxikMMMdjkyyMMyhhyyMMyhhhhxxjkhhyyydh假假 设设这这 里里 1111,1, 2,jjjjyhhjkh 编辑ppt三次样条插值逼近误差估计三次样条插值逼近误差估计 4411,max.iii kfx