高等数学二复习指导曲线积分与曲面积分

1、第十章 曲线积分与曲面积分一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1) 了解第一类曲线积分（即对弧长的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并掌握其计算方法。(2) 了解第二类曲线积分（即对坐标的曲线积分）的概念及物理意义，并掌握其计算方法，能熟练应用曲线积分计算力场沿曲线所做的功。(3) 掌握格林公式的条件和结论，熟练掌握利用格林公式把第二类曲线积分化为二重积分的计算方法，及掌握通过添加辅助曲面利用格林公式改变积分路径的计算方法。(4) 掌握在单连通区域上第二类曲线积分与路径无关的等价条件及其应用，会求全微分的原函数。(5) 了解第一类曲面积分（即对面积的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并

2、掌握其计算方法。(6) 掌握高斯公式的条件与结论，并会利用高斯公式计算第二类曲面积分。2. 重点及难点（1）重点： (a) 熟练选择适当的参数方程或坐标系将曲线积分化为定积分。(b) 熟练掌握用投影法将曲面积分化为二重积分。(c) 格林公式（熟练使用格林公式计算曲线积分）。(d) 曲线积分与路径无关的概念及条件。(e) 高斯公式（熟练使用高斯公式计算曲面积分）。（2）难点： (a) 两类曲线积分的关系。 (b) 格林公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲线的添加）。(c) 高斯公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲面的添加）。二、内容概述1、曲线积分的基本概念与性质(1) 对弧长的曲线积分（又称第一类

3、曲线积分）定义 设在xOy面内的光滑曲线上有界. 第一类曲线积分为(见课本).为空间曲线时，类似地有.物理意义 设曲线的线密度为，则其质量为 性质1 运算性质 其中为常数性质2 对弧长的曲线积分与积分路径的走向无关，即性质3 对积分路径具有可加性，即其中(2) 对坐标的曲线积分（又称第二类曲线积分）定义 设在xOy面内的有向光滑曲线上有界.为空间曲线时，类似地有.物理意义 变力沿曲线所作的功为性质1 对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关，即性质2 对积分路径具有可加性，即其中（3）两类曲线积分之间的关系平面曲线上两类曲线积分有如下关系其中为平面有向曲线上点处的切线向量的方向角空间曲线上两类曲线

4、积分有如下关系其中为空间有向曲线上点处切向量的方向角2、曲线积分的计算公式(1) 对弧长的曲线积分（1）设函数在平面曲线上连续在区间上连续，且，则（2）设平面曲线的方程为且在区间上连续，则（3）设函数在空间曲线上连续，在区间上连续，且，则注意 化对弧长的曲线积分为定积分时,定积分的上限一定比下限大（2）对坐标的曲线积分(1) 设函数在有向曲线上连续，的参数方程为: ，即为有向曲线的始点对应的参数值，为其终点对应的参数值且在以为端点的区间上连续，则(2) 若是由方程给出,的始点的横坐标为,终点的横坐标为,具有一阶连续导数,则(3) 类似地,对于空间曲线为有向曲线的始点对应的参数值，为其终点对应的

5、参数值（3）二元函数的全微分求积设函数,在单连通域内有连续的一阶偏导数,且，则在内为某一函数的全微分，且有，(如图 (a)或 ，(如图 (b)图 (b)图 (a)3、曲线积分的有关定理定理1 (格林公式) 设闭区域是由分段光滑的曲线围成,函数在上具有连续的一阶偏导数，则有其中是的取正向的边界曲线定理2 (平面上曲线积分与路径无关的条件) 设函数,在单连通域内有连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价与路径无关,即,其中、为内具有相同始点和终点任意曲线；,其中为内的任意闭曲线;在内恒成立; ,即在内为某一函数的全微分4、曲面积分的基本概念与性质（1）对面积的曲面积分（又称第一类曲面积分）定义设在光滑

6、曲面上有界.(极限存在时)物理意义 设曲面的面密度为，则其质量为性质 设曲面都是光滑的,则（2）对坐标的曲面积分（又称第二类曲面积分）指定了侧的曲面称为有向曲面定义 设在有向光滑曲面上有界.(极限存在时)(极限存在时)(极限存在时)其中是任意分割有向曲面为片小曲面后,所得到的第片小曲面上的任意一点,分别为在三个坐标面上的投影.为片小曲面的直径中的最大者曲面在点处的单位法向量为物理意义 稳定流动的不可压缩的流体（密度），如果在点处的流速是,则单位时间内流过曲面一侧的流量为性质1 设曲面则性质2 设表示与取相反侧的有向曲面，则（3）两类曲面积分之间的关系空间曲面上的两类曲面积分有如下关系其中是有向

7、曲面上点处的法向量的方向余弦5、曲面积分的计算公式（1）对面积的曲面积分 设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为，则设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为，则设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为，则（2）对坐标的曲面积分 设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为，取上（下）侧，则其中，取上侧时为正，取下侧时为负注意 当曲面是母线平行于轴的柱面时，上任意一点的法向量与轴的夹角的余弦，则设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为，则取右侧时为正，取左侧为负设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为，则取前侧时为正，取后侧为负6、曲面积分的有关定理定理1（高斯公式） 设空间闭区域是由分片光滑的闭

8、曲面所围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有或其中是的整个边界曲面的外侧，是上点处的法向量的方向余弦三、典型例题分析例1： 计算,其中为圆周,直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.分析 由于曲线分段光滑,所以先将分为若干光滑曲线段之和,再利用曲线积分的可加性计算曲线积分.解: 的方程为 的方程为：的方程为 ，.所以例2 ：具有连续偏导数的函数应满足怎样的条件才能使曲线积分与积分路径无关。解： 设 (充要条件)例3：计算 ,其中为由点到点的曲线.解： , 从而此曲线积分与路径无关，取折现，。例4 ：确定值，使曲线积分(与路径无关， 解： 系数相等： 4a=6(a-1) a=3例5：计算,其

9、中为由点到点的上半圆周.解： （如右图）例6：计算，其中是由沿到的曲线段。解：本题方法较多。可在直角坐标系下计算，分为取为积分变量，取为积分变量，亦可利用参数方程计算。(方法一) 取为积分变量，需分为两段：，有 。(方法二 ) 取为积分变量，的方程为，始点，终点，则有被积函数中，第一项是关于的奇函数，第二项是关于的偶函数，于是。在方法二中，这里是无穷间断点，由于原曲线积分存在，可知此广义积分收敛，故能算出结果。这种把曲线积分化成广义积分的情形常会发生。(方法三) 利用积分曲线的方程化简被积表达式的方法求解，作法如下：由于，故，于是 ，所以。(方法四) 将曲线用参数方程表示，则有。(方法五) 利

10、用格林公式计算。注：用不同方法计算曲线积分，既可以比较不同方法的繁简，也有利于理解曲线积分的概念和训练计算技巧。例7：证明曲线积分在整个坐标面上与路径无关,并计算积分值.解 ，因为且在坐标面上有一阶连续偏导数,故曲线积分与路径无关.例8：设,求.解 设由 , 所以注意 利用上述方法求函数时，选择的起点不同求出的可能相差一个常数。例9：计算曲面积分,其中为平面在第一卦限的部分.解 设，在坐标面上的投影区域为：.由于所以 例10：设为椭球面的上半部分,点为在点处的切平面,为点到平面的距离,试求.解 设为上任意一点,则,在点处的切平面的方程为：，即 在坐标面上的投影区域记为,由,则所以 例11：计算

11、，其中为曲面在第一象部分（）的上侧解：（方法一）投影法（直接计算）设，分别表示在平面、平面、平面的投影，相应把的方程分别是，则（方法二） 高斯公式 此时要补上三个平面块，与曲面块构成封闭曲面，所围成的空间区域记为，注意到取内侧，因此（方法三）（化为第一类曲面积分） 曲面块方程，得，从而 ， ， 例12：计算，其中：，上侧解： ，补有向曲面：取下侧，则 所以 四、自测题及解答（一）选择题1、设L是起点为A(1,1)终点为B(2,2)的任意不通过原点的路径，则为( )(A) ln2 (B) 0 (C) 2 (D) 2、设函数在单连通域D上具有一阶连续偏导数，则曲线积分在D域内与路径无关的充要条件是

12、 ( )（A） （B） (C） （D）3、记以点A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶点的正方形为ABCDA,则为( )(A) ln2 (B) 2 (C) 0 (D) 14、设, 则曲线积分 ( )(A)与的取向无关，与的值有关（B）与的取向无关，与的值无关(C)与的取向有关，与的值有关（D）与的取向有关，与的值有关5、设,为在第一卦限的部分,则有( ) .（二） 填空题1、设L为取正向的圆周，则=_.2、设C为逆时针方向的闭曲线，其方程为，则=_.3、设L为曲线依参数t增加的方向上的一段弧，则 =_.4、设C为闭域D的正向边界闭曲线，则可通过A表示为_(A为D面积)5

13、、 是光滑闭曲面的外法向量的方向余弦，又所围的空间闭区域为；设函数和在上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 = 。(三) 计算题 1、 I=，其中L： 2、 I=其中L是从A(0,1)沿曲线到 3、证明：，并求。 4、求质点受作用力沿路径L顺时针方向运动一周所作的功。其中L为椭圆 5、计算,其中为圆周。6、设是沿动圆周的逆时针方向，计算含曲线积分的极限其中为常数。7、计算，其中是上半球面的上侧。自测题参考答案（一）1、(A) 分析：积分与路径无关 2、(D) 3、(C) 4、(D) 分析：因,Q=.且,故在L为边界的区域D内，有偏导数不存在的点（0，0），可取C为不过原点但含于L内部并与L同

14、向的曲线，在L与C所围区域应用格林公式：当为正向闭曲线时，取+号，否则取-号。因上，从而即 =，此积分与C的方向也即L的方向有关，但与a,b无关。 5、（C）（二）1、 分析：由于 故应用格林公式，= 2、 0 . 分析：设C所围成的区域为D，由于 所以在D上， 故应用格林公式，= 3、 4、 2A分析：因.由格林公式原式=5、 （三）1、解: 2、解: . 在xoy面内， 从而在xoy面内与路径无关 取O(0,0)，则有3、证: 在xoy面内，. 所以 为某函数u(x,y)的全微分.4、解: 其中D为L所围成闭域，D： 注：使用格林公式时，要注意积分曲线的封闭性及方向性。此题L为封闭的顺时针方向曲线