人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_《解析几何初步》全章复习与巩固-基础

1、精品文档用心整理人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型(常考知识点)巩固练习解析几何初步全章复习与巩固【学习目标】1 .理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定 这两条直线平行或垂直；2 .掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系；3 .能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4 .掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5 .掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6 .掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆

2、的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7 .能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式(1)直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性， 需要根据条件灵活选用.(2)在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕.(3)确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法.常用的直线方程有： y 一y0 =k(x -Xo)； y = kx +b ; Ax +By+C =0(A2 +B2 #0)；(Ax + B1y +C1) + M A2

3、x + B2 y +C2) = 0 (入为参数)要点二：两条直线的位置关系1 .特殊情况下的两直线平行与垂直.(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为900 ,互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在(倾斜角为90°),另一条直线的倾斜角为 0°时，两直线互相垂直。2 .斜率都存在时两直线的平行：(1)已知直线 11 : y = k1x和 12: y =k2x +b2 ,则 11 /12仁 k1 = k2 且 b1 # b2(2)已知直线 li： Aix+ Biy+Ci =0和 I2 ： A2x+B2y+C2 =0 (AiBiCi #0,A2B2c2 #0),则l

4、i H I2 uAiBiA2B2C2资料来源于网络仅供免费交流使用要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。3 .斜率都存在时两直线的垂直：(1)已知直线 11 ： y = kix +bi 和 l2: y =k2x +b2 ,则 l1 _L l2 u k1k 2= 1 ；(2)已知直线 li： A1x+By+Ci =0和 I2 ： Ax + Bzy+Cz =0 ,则l1 _L l2 = A1A2 +B1B2 =0 .要点三：点到直线的距离公式1 点到直线距离公式：Ax0 By0 C点 P(x。，y。)到直线 l : Ax +By+C =0的距离为：

5、dA2 B22 .两平行线间的距离公式已知两条平行直线li和12的一般式方程为li： Ax + By+Ci=0, I2： Ax+By+C2 =0,则li与l2的距离为d =Ci -C2A2 B2 0要点诠释：一般在其中一条直线l1上随意地取一点 M,再求出点M到另一条直线l2的距离即可要点四：对称问题1 .点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。设P(xo,y°),对称中心为 A(a,b),则P关于A的对称点为P'(2a x0,2b y0)。2 .点关于直线成轴对称。利用“垂直” “平分”这两

6、个条件建由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” 立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点P(%, yo)关于直线y=kx+b的对称点为P'(x',y),则有X*-Xoy yo 二卜 xo x2 2,求出x、特殊地，点P(xo,yo)关于直线x = a的对称点为P'(2axo,yo)；点P(x0,y。)关于直线y = b的对 称点为 P'(x0,2b y0)。3 .两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：(1)点(x, y)关于x轴的对称点为(x, y)；(2)点(x, y)关于y轴的对称点为(x, y);(3)点(x, y)关于原点

7、的对称点为(-x, -y);(4)点(x, y)关于直线x y=0的对称点为(y,x)；(5)点(x, y)关于直线x + y=0的对称点为(y,x)。要点五：圆的方程求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、 半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程.运用圆的几何性质可以使运算简便.1 .圆的标准方程(x -a)2 +(y -b)2 = r2,其中(a, b )为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时 a = 0, b = 0,圆的方程就是x2 + y2 = r2.有关图形特 征与方程的转化：如：圆心在 x轴上：b=o；圆与y轴相切时：

8、|a|=r；圆与x轴相切时：|b|=r；与 坐标轴相切时：|a|=|b|=r ；过原点：a2 +b2 =r2.(2)圆的标准方程(xa)2+(y b)2 =r2 u圆心为(a, b),半径为r ,它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法2 .圆的一般方程,.2222，D E )当D2+E24F >0时，方程x2+y2 + Dx+Ey+F =0叫做圆的一般方程.一一，一 为圆心,I 22；1 . D2 E2 -4F 为半径.2要点诠释:由方程x2 y2

9、 Dx Ey F D 2=0得 x+- I +(y22_ D2 E2 _4F一 422 D E. DE、(1)当D2 +E2 -4F =0时，方程只有实数解 x = ,y = .它表示一个点(，一).2222(2)当D2 +E2 -4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.(3)当D2 +E2 -4F >0时，可以看出方程表示以 D,- |为圆心，-7d2 + E2-4F为半 .222径的圆.要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为(xa)2 +(yb)2 =r2,圆心为C(a, b),半径为r,则有222(1)右点 M (x0, v。冰圆上 u | CM |=ru (

10、/a) +(yOb) = r(2)若点 M(x0, y0 冷圆外 u |CM |>ru (x0 -af +(y0-b)2>r22.22(3)育点M以0, y而圆内u | CM |< r u x -aV0 -br要点七：直线与圆的位置关系1 .直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2 .直线与圆的位置关系的判定方法：(1)代数法：判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l与圆C有公共点；有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C

11、相离.(2)几何法：设直线 l : Ax +By +C =0(A2 +B2 *0),圆 C:(x -a) 21y 切 片 (2 H ,圆心 C(a,b)到直| Aa Bb C | mtt线l的距离记为d = !_1,则：,A2 B2当d <r时，直线l与圆C相交；当d = r时，直线l与圆C相切；当d >r时，直线l与圆C相离.要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般 要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线成的直角三角形，由勾股定理解得(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是 通

12、过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.要点八：圆与圆的位置关系1 .圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2 .圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离.(2)几何法：圆 C1 :(x a1)2+(y b1)2 =r12 与圆 C2: (x a )+ (y/b )= ,2 的 圆圆心 距 d =、-

13、a1)2 也 f)2 ,则：当r1 一21 <d <r +2时，两圆相交；当r1 +r2 =d时，两圆外切；当r1 +也<d时，两圆外离；当r1 -r2| =d时，两圆内切；当r1 -r2| >d时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无 解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法 .要点九：求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见

14、结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程.常见圆的切线方程：过圆x2 +y2 =r2上一点P(x0,y0 )的切线方程是Xox+yoy = r2；22过圆(x a) +(yb ) =r上一点P(x0,y0)的切线方程是:2Xo -a X -ay° -b y -b = r .要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.确定简单几何体的顶点

15、坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法.【典型例题】类型一：直线方程的综合问题例 1.已知 A (-m-3, 2) , B (-2m-4, 4), C (-m, m), D (3, 3m+2),若直线 AB LCD,求 m 的 值.【思路点拨】两直线垂直 。kik2 = -1的前提条件是kk2均存在且不为零，这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论.【答案】1或-1【解析】: A、B两点纵坐标不相等, AB与x轴不平行.AB XCD,CD 与 x 轴不垂直，-mw 3, mw-3.当AB与x轴垂直时，-m-3=-2m-4,解得 m =

16、 -1.而m=-1时，C、D纵坐标均为-1,CD / x轴，此时 AB ± CD ,满足题意。 当AB与x轴不垂直时，由斜率公式kAB4-2 22m 4 -( -m - 3)-(m 1)_3m 2 -m _ 2(m 1) kCD =3-(-m)m 3AB LCD, kA B L k C D= -1,口 2 I 2(m 1)即L -1 1 -1 ,解得 m= 1.-(m 1) m 3综上，m的值为1或-1.举一反三：【变式 1】已知 11: 3x +2ay -5 =0,l2 ：(3a 1)xay 2 = 0 ,求使 11 /12的 a 的值。,1【答案】0或_1 6【解析】解法一：当直

17、线斜率不存在，即 a = 0时，有11 :3x 5 = 0,12 ：x 2 = 0,符合11/12;33a _ 11直线斜率存在时，1112u _J=3a J_ a = - o 2a a61 故使I1/I2的a的值为0或一一。61 1解法一：由 11/12u 3(a) -(3a -1) 2a =0,解得 a = 0或，故使 11 /12的2 的值为 0或。66例2.过点M (0,1)作直线1 ,使其夹在两直线11:x3y+10 = 0,和11:2x+y 8 = 0之间的线段被M平分，求直线1的方程。【思路点拨】求直线方程需两个条件，现已知 1过M (0,1),需再求出1上的一个点或1的斜率。【

18、解析】方法一：设11nl =Pi,12nl=p2, 1门12= p.过M作MQ/1 1交1 2于Q点，则Q为PP2中点，由卜Yyy0 =0解得/ =2，/点p坐标为(2, 4),口 1口 J 12x +y -8 =0) =47 与厂又 MQ的方程为：y-1= 1 (x-0),即 x-3y+3=0,* ,广。£ .由;x-3y+3=0 得;x=3 , .q点坐标为(3, 2)。(2x+y8=0y =2由中点坐标公式可得 P2坐标为(4, 0),x由两点式可得直线1的方程为：一+y =1即x+4y-4=0。4方法二：由图示可得1的斜率存在，故设1的方程为y=kx+1 ,由J3y立0=0得

19、P1点坐标为(工，唾二1), y =kx +13k -13k -1由/ x+y-8=0可解得p2点坐标为(，曳12), y=kx+1k+2k+2M (0, 1)是 PR 的中点，一+二_=0,解之得 k=- 1 ,3k -1 k 241直线 1 的方程为：y = -x +1 ,即 x+4y-4=0.4方法三：设 Pi坐标为(m, n),由M (0, 1)为P1P2中点，P 2点坐标为(-m,2-n ),. Pi 1 1, P 2c 1 2. .有 m-3n+10=0, 2m+n+6=0.m-3n 力0=0 A7JZB m =-4由 <,解得,2m +n +6 =0n =2由两点式可得1方

20、程：乂二2即x+4y-4=0 。1 -20 4【总结升华】两个条件确定直线，求直线方程可用直接法也可用待定系数法。熟练运用中点坐标公 式，灵活运用直线方程形式，对简化解题过程是十分必要的。举一反三：1【变式1】直线l与直线x=1相交于P点，与直线9x+3y-1=0相交于Q点，并且线段PQ的中点为(_ ,33),那么直线l的斜率是()(A) 2(B) -(C) - (口 - 55252【答案】B1【解析】设P (1, y。，由P, Q中点为(，3),故Q点横坐标为-1 ,代入9x+3y-1=0中得Q ( - 1 ,-),333所以得 P(1, 14), /.tan 0=5.32例3.求直线xy-

21、2=0关于直线3x-y+3 = 0对称的直线方程.【思路点拨】求出交点坐标，转化为求点关于直线的对称点的问题.【答案】7x+y+22 = 0【解析】由得交点 P '-5,- i,取直线上点A (0,-2).设A关于直线的对称点为22A)(Xo, y°),则有八xXo解得 yo7x+y+22 = 0.故所求直线过点1 -5,- i, (-3,-1),所求直线方程为22【总结升华】 本题利用转化思想， 将对称直线问题转化成对称点问题，在中学数学中，转化与化归是最基本、最重要的思想方法之一，它无处不在.举一反三：【变式1】(2015年 宁夏固原模拟)光线从点A(-2，收)射到x轴上

22、的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(2，而，则光线BC所在直线的倾斜角为jijiA. - B .【答案】B2 二C.3D.【解析】点A关于x轴的对称点为 A'(-2，-J3),A '在直线BC上，直线 BC 的斜率是 kBC =2® _(3)=遍=J3；1 -(-2)3直线BC的倾斜角是-.3故选：B.类型二：圆的方程的综合问题例4.已知直线mx+2ny 4=0 (m, n C R),将圆x2十y2 4x 2y 4 = 0分成两段相等的弧，求m+n的值.【答案】2【解析】由直线将圆分成等弧可得直线过圆心， 将圆心坐标(2, 1)代入直线 mx+2ny 4=0

23、, 可得 2m+2 n=4 ,解得：m+n=2.举一反三：1 3-【变式1】直线l被圆C: x2 +y2 2y = 0所截得的弦的中点是 M (-,-),求直线l的方程。2 2【答案】：x -y 2=0【变式 2】已知直线 l： 2mx y 8m3 = 0和圆 C ： x2 + y2 6x+12y+20 = 0.(1) mw R时，证明l与C总相交。(2) m取何值时，l被C截得弦长最短，求此弦长。【答案】(1)将直线l整理成点斜式方程 y+3 = 2m(x-4),则直线l过定点A(4, -3),斜率为 k =2m.将圆整理为标准方程(x 3)2+(y+6)2 =25 ,则圆心C(3,6),半

24、径r=5. |AC|= (4-3)2 (-3 6)2 =10 <5.，点A(4,与)在圆C内，故mW R时，l与C总相交。(2)由kAC =3,当l与C垂直时，l被C截得弦长最短，11 ，当k =2m = 即m =时，弦长最短，36设弦端点为P、Q ,则| PQ|= 2 Jr2 | AC |2 = 2 JT5 ,即最短弦长为2而。类型三：直线与圆的方程的综合问题例5.已知O C: (x-1)2 +(y 2)2 =2 ,点P (2,-1),过点P作。C的切线，切点为 A、B.(1)求切线PA、PB的方程；(2)求线段PA的长；(3)求过A、B两点的直线方程；(4)求弦AB的长.【思路点拨】

25、用切线的几何特征、平面几何知识解题.【解析】(1) (2-1) 2+ (-1-2) 2=10>2,点 P (2, -1)在。C 外.由题意知过点P的切线的斜率存在.设所求圆的切线方程为 y+1 = k (x-2),即 kx-y -2k -1 =0.由圆心C (1, 2)到切线的距离为半径J2,得阜二3J=J2,解得卜=7或卜=-1.、1 k2故所求切线方程为 7x y15 =0或x + y-1 = 0 .(2)在 RtAAPC 中，| PA| 2=| PC|2一| AC| 2=8,| PA 户 2-2(3)以P为圆心，|AP|的长为半径的圆的方程为 (x2)2+(y+1)2 = 8,线段AB为OC与OP的公共弦，由圆系方程知，公共弦 AB所在的直线方程为 x-3y + 3 = 0.(4)圆心 C至ij弦AB的距离为d -!1-6+3| =?圆半径r=J2,由平面几何知识得.12 32-1010 5| AB | 二 21-d2 =22->4 =4710.【总结升华】用圆系方程求解过A、B两点的直线方程的方法值得重视.举一反三：