考研数四真题及解析

1、1992年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设,则 _ . (2) 设商品的需求函数为,其中分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_ .(3) 已知,则 _ 的定义域为_ . (4) 矩阵的非零特征值是_ .(5) 设对于事件、,有,则、三个事件中至少出现一个的概率为_ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设,其中为连续函数,则等于 ( )(A) (B) (C) 0 (D) 不存在(2

2、) 当时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设,均为阶可逆矩阵,则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 设均为维列向量,那么,下列结论正确的是 ( )(A) 若,则线性相关(B) 若对任意一组不全为零的数,都有,则线性无关(C) 若线性相关,则对任意一组不全为零的数都有(D) 若,则线性无关(5) 设当事件与同时发生时,事件必发生,则 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题满分5分)求极限.四、(本题满分5分)计算五、(本题满分5分)求连续函数,使它满足.六、(本题满分6分)设,求(其中函数具有二阶偏

3、导数).七、(本题满分6分)设生产某产品的固定成本为10,而当产量为时的边际成本函数为,边际收入函数为.试求：(1) 总利润函数； (2) 使总利润最大的产量八、(本题满分6分)求证：方程恰有一个实根,其中,为常数,且九、(本题满分8分)给定曲线.(1) 求曲线在横坐标为的点处的切线方程；(2) 求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.十、(本题满分5分)设矩阵,矩阵满足.其中为三阶单位矩阵,试求出矩阵.十一、(本题满分5分)设线性方程组的系数矩阵为,三阶矩阵,且.试求的值.十二、(本题满分6分)已知实矩阵满足条件：(1) ,其中是的代数余子式；(2) .计算行列式.十三、(本题满分7分)假

4、设测量的随机误差,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字).附表 1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 十四、(本题满分7分)一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20,和0.30.假设各部件的状态相互独立,以表示同时需要调整的部件数,试求的概率分布、数学期望和方差.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】此题考

5、查重要极限：将函数式变形,有,故.【相关知识点】两函数乘积的求导公式.(2)【答案】【解析】根据,得价格,又由得,按照经济学需求弹性的定义,有,令,解得.所以商品价格的取值范围是.(3)【答案】,【解析】本题主要是要弄清楚反函数和原函数的定义域、值域之间的关系.由于的反函数的定义域为,而,故应满足,解此不等式即得.因此,的定义域为.(4)【答案】4【解析】对矩阵的特征多项式进行行列式的等价变换,注意到各列和相等,所以将第二、三、四行都加到第一行上,有将第一行的公因式提出到行列式外面,有再将第一行分别加到第二、三、四行上,有.令,得矩阵的特征值：.故矩阵的非零特征值为4.【相关知识点】矩阵特征值

6、与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.(5)【答案】【解析】因,而,故由概率的广义加法公式：二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】方法1:为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以可应用洛必达法则.故应选(B).方法2: 特殊值法.取,则.显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则.(2)【答案】(D)【解析】由于时,故是同阶无穷小. 故应选(D).事实上,由洛必达法则,为“”型的极限未定式,又分子分母

7、在点处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有,可知,当时,是的三阶无穷小量.【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限(1) 若称在该极限过程中为同阶无穷小；(2) 若称在该极限过程中为等价无穷小,记为；(3) 若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为.若不存在(不为),称不可比较.(3)【答案】(C)【解析】因为,都可逆,由可逆矩阵的定义,有,.由逆矩阵运算的性质 ,所以有 .故本题选(C)注:一般情况下,不要与转置的性质相混淆.(4)【答案】(B)【解析】选项(A)没有指明不全为,故(A)不正确选项(C)要求任意一组不全为的数,这只能全是零向量,不是线性相关定义

8、所要求的对任意一组向量,恒成立而是否线性相关？就是问除去上述情况外,是否还能找到不全为的一组数,仍能使成立若能则线性相关,若不能即只要不全为,必有.可见(B)是线性无关的定义.而(D)没有指明仅当时,成立故(D)不正确所以应选(B).【相关知识点】向量组线性相关的定义：对任意一组不全为零的数,使,则称线性无关(5)【答案】(D)【解析】依题意：由“当事件与同时发生时,事件必发生”得出,故；由概率的广义加法公式推出；又由概率的性质,我们得出,因此应选(D).三、(本题满分5分)【解析】方法1:利用洛必达法则求极限,因为 为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则

9、,有 .方法2:利用变量代换与等价无穷小代换,时,；.求极限,令,则有 .四、(本题满分5分)【解析】方法1: 用分部积分法,有 其中为任意常数.方法2：换元法,令,则,再分部积分,有 其中为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】假定与均具有连续的导函数,则 或者 五、(本题满分5分)【解析】本题实质上是个积分方程,这类问题一般都是两边对求导化为微分方程求解,而对求导时,应先通过变量代换将被积函数中的换到积分限上来.令,时,有；时,有,且,则,从而有 ,即,两边求导得

10、 .则 .积分得 (分部积分法). 其中为任意常数.六、(本题满分6分)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求,再求.由复合函数求导法,首先求,由题设 ,再对求偏导数,即得 .【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点的两个偏导数存在,且有；.七、(本题满分6分)【解析】(1) 因为边际成本函数是可变成本的微分,而总成本固定成本可变成本.则总成本函数,边际收入函数是总收入函数的微分,所以总收入函数,总利润总收入总成本,所

11、以,总利润函数.(2) 由经济学含义时,可使得总利润最大.由知,于是得到驻点(舍去).由于,即在内只有一个极大值点,可见,当产量为时,总利润最大.注：本题的重点是利用变限定积分求出总成本函数与总收入函数,从而求得总利润函数八、(本题满分6分)【解析】本题主要考查方程根的问题,方程根的问题一般可分为两个具体问题：一个是根的存在性问题,另一个是根的个数问题.令,由于,则存在,使.又 ,则存在,使.由于在上连续,由介值定理可知在内至少有实根. 而,在实数域上单调递增,故在内最多有一个实根.综上所述,恰有一个实根.【相关知识点】 关于根的存在性问题常用的是两种方法：一种是利用连续函数介值定理；另一种是

12、利用罗尔中值定理. 关于根的个数问题常用的也是两种方法：一种是利用函数的单调性；另一种是利用罗尔中值定理的推论：“若在内,则方程在内最多有个实根.”九、(本题满分8分)【解析】(1)过曲线上已知点的切线方程为,其中当存在时,.由可知,曲线在横坐标为的点处的切线方程为(2)由(1)中所求切线方程不难求得该切线在轴和轴上的截距分别为.设该切线被两个坐标轴所截线段长度为.因为,而,所以函数和应该在同一点取得极值,讨论函数比较方便.,令,得驻点又,显然,由此可知在处取极小值,即最小值.十、(本题满分5分)【解析】由,移项有,因式分解即.由,知,由矩阵可逆的判定定理,行列式不为0,则矩阵满秩,有可逆.

13、故 .十一、(本题满分5分)【解析】对于条件应当有两个思路：一是的列向量是齐次方程组的解；另一个是秩的信息即.要有这两种思考问题的意识.方法1：令,对3阶矩阵,由,知必有,否则可逆,从而,这与矛盾. 故,用行列式的等价变换,将第三列加到第二列上,再按第二列展开,有.解出.方法2：因为,故中至少有一个非零列向量.依题意,所给齐次方程组有非零解,得系数矩阵的列向量组线性相关,于是,以下同方法一.【相关知识点】对齐次线性方程组,有定理如下:对矩阵按列分块,有,则的向量形式为那么, 有非零解 线性相关对矩阵按列分块,记,那么.因而,即是的解.十二、(本题满分6分)【解析】 因为本题矩阵为抽象矩阵,条件

14、中涉及代数余子式,所以考虑将行列式按某一行或者某一列展开.因为,即,亦即.由逆矩阵的计算公式 ,故.两边取行列式,得.因为为三阶行列式,所以,从而,得或.由于,对按第1行展开,有故必有.【相关知识点】将行列式对任一行按下式展开,其值相等,即 ,其中是中去掉第行第列全部元素后按原顺序排列成的阶行列式,它称为的余子式,称为的代数余子式.十三、(本题满分7分)【解析】设事件“每次测量中测量误差的绝对值大于19.6”,因为 ,即.根据正态分布的性质则有：.设为100次独立重复测量中事件出现的次数,则服从参数为的二项分布.根据二项分布的定义,则至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率为：.根据泊松定理,对于成功率为的重伯努利试验,只要独立重复试验的次数充分大,而相当小(一般要求),则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分布,具体应用模式为若,则当充分大,相当小时当近似服从参数为的泊松分布,即 .设为100次独立重复测量中事件出现的次数,则服从参数为的二