行列式的定义和性质及若干应用论文

1、行列式及其在初等数学中的应用【摘 要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组 引言行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、维空间的投影变换、线性微分

2、方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。 1 行列式的定义和性质1.1行列式的定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。例1 .解：不为零的项一般表示为,故1.2行列式的性质 行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式

3、不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。例2 一个阶行列式 的元素满足则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明： 由知，即.故行列式可表示为,由行列式的性质，.2行列式的若干应用2.1 行列式在线性方程组中的一个应用 设含有个变元的个一次线性方程组为 （1） 设方程组（1）的系数矩阵的秩是, 不失一般性, 假定不等于零的阶行列式是 . 行列式中的元素, 就是矩阵中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列. 我们把看作是未知数, 是已知数, 解方程组(1), 得 （2）式中是

4、行列式的第列元素换以所成的行列式. 也就是.把中第列移到第一列, 得.上式右边的行列式用表示, 行列式是矩阵中去掉第列剩余下的元素所组成. 故.代入（2）式, 得, 或.结论2: 方程组（1）中的与成比例, 式中 是从矩阵中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.3行列式在初等代数中的几个应用3.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例3.1.1 分解因式：. 解: . 分解因式: . 解: 原式 .3.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对

5、应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例3.2.1 已知, 求证.证明： 令, 则.命题得证. 已知 求证.证明： 令, 则命题得证.例3.2.3 已知, 求证.证明： 令, 则而, 则, 命题得证.4 行列式在解析几何中的几个应用4.1 用行列式表示公式4.1.1 用行列式表示三角形面积以平面内三点为顶点的的面积S是 (3)的绝对值.证明: 将平面三点扩充到三维空间, 其坐标分别为, 其中为任意常数. 由此可得： , 则面积为 = .4.1.2 用行列式表示直线方程直线方程通过

6、两点和的直线的方程为. （4） 证明: 由两点式, 我们得直线的方程为.将上式展开并化简, 得此式可进一步变形为此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证.4.1.3 应用举例例 :若直线过平面上两个不同的已知点, , 求直线方程.解: 设直线的方程为, 不全为0, 因为点在直线上, 则必须满足上述方程, 从而有这是一个以为未知量的齐次线性方程组, 且不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即.则所求直线的方程为.同理, 若空间上有三个不同的已知点, 平面过, 则平面的方程为.同理, 若平面有三个不同的已知点, 圆过, 则圆的方程为.4.2 行列式在平面几何中

7、的一些应用 三线共点 平面内三条互不平行的直线相交于一点的充要条件是.4.2.2 三点共线 平面内三点在一直线的充要条件是.4.2.3 应用举例例: 平面上给出三条不重合的直线:, 若, 则这三条直线不能组成三角形.证明：设与的交点为, 因为,将第1列乘上, 第2列乘上, 全加到第3列上去, 可得：.因为在与上, 所以, 且若与平行, 若也在上交于一点,无论何种情形, 都有不组成三角形.这说明由, 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.4.3 行列式在三维空间中的应用 平面组 设由个平面方程构成的方程组为 （5） 若方程组(5)中的各代以, 并用乘以(5)式两端

8、: 得 （6）叫做点的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵 及 的秩及有关系. 现在分别叙述如下： ()当, 则方程组中各系数全是0. ()当 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解.当, 将趋近于无穷大（假设趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这个平面在无穷远重合. ()当, 则在矩阵及中所有二阶行列式全是0. 所以我们有以上等式表示个平面相合成一个平面. ()当 方程的系数中至少有两组数如及满足以下关系式上式表示平面平行但不相合. 也就是平面组中个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合. () 则矩阵及中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设.我

9、们必可求得适合下式：式中, 否则行列式将等于0. 所以.以上等式表示平面经过直线就是个平面全经过一条直线. （）当 并假定方程组的系数至少有一组适合以下关系：（是中的一数）以上第一个等式表示组中第平面,与直线平行. 又因第二个不等式表示第平面不经过上述直线, 所以个平面有平行的交线.例如由方程组解得.因为行列式.而其它三个行列式不全是零故, 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的. （）当, 并假定.在这种情况下, 平面相交于一点. 又因,（）故平面经过前面三个平面的交点, 就是个平面有一个交点, 不在无穷远. （）当, 则矩阵中至少有一个四阶行列式不等于零. 假设.

10、（是中的一数）以上不等式表示平面,不经过前三个平面的交点.4.3.2 点组 设有个点, 它们的齐次坐标各是此点组的相关位置与坐标做成的矩阵的秩有关系. 分别叙述如下: （）当, 则个点的坐标全是(0,0,0,0)不能确定点的位置. （）当, 假定, 很容易推得(因为中所有的二阶行列式等于0)上式表示个点全重合. （）当, 并假设,因中所有三阶行列式全等于0, 我们可以求得适合以下方程：式中不等于0, 否则行列式将等于0. 故可求得假设点及的连线为把的等值代入上式, 易验证点在这连线上, 故该点与第一及第二两点共在一直线上. 因可以是, 所以个点全在一直线上. （）当, 并假定中所有的四阶行列式

11、全是0, 我们可以求得适合下式：式中不等于0, 否则行列式从以上方程组求得：设点及所确定的平面是把的等值代入上式, 甚易验明点在这个平面上, 故该点与前三个点共在一平面上. 又因为可以是, 所以个点共在一个平面上. （）当, 中至少有一个四阶行列式如.是中任一个数. 以上不等式表示点不在前三个点所确定的平面上, 因为假设点在平面上, 则以下关系成立.也就是行列式这与假设矛盾.5三阶行列式在高中几何中的应用5.1三阶行列式的定义：符号叫做三阶行列式（等号右边是运算结果）下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用5.2利用三阶行列式求法向量5.2.1定义：设平面内不共线的两个的向量的坐标为，则行列式

12、叫平面的一个法向量，记为例：直棱柱中，为棱的中点求平面的一个法向量如图，建立空间直角坐标系，则，取面内两个不共线向量，则平面的一个法向量为：；5.2.2应用举例（1）证明线面平行：平面的一个非零法向量是，平面外一条直线的一个非零方向向量是，则平面的充要条件是（2）求二面角：面面，面的一个非零法向量是，面的一个非零法向量是，则二面角的大小为：或【例1】正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，是的中点（I）证明：平面；（）求二面角的余弦值解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：，则：， 则，平面的一个法向量为：即，所以平面（）面的一个法向量为：，面的一个法向量为：，则，因此二面角的余弦值为（3）求异面直

13、线的公共法向量：与是异面直线， 向量是直线的方向向量，是直线的方向向量，则异面直线与的一个公共法向量是：法向量求两异面直线距离的基本思想：在空间中取两条异面直线和，且他们的一个法向量为，因为直线，记垂足为，记垂足为，则线段的长就是异面直线和的距离，如图，记法向量与的夹角为，则，即，故其中、分别为两异面直线上的任意点，并且此两点必须分居在两直线上【例2】已知正方体的棱长为求异面直线与的距离解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是异面直线与的一个法向量为分别在异面直线与各取一点、，异面直线与的距离为利用三阶行列式求平面方程定理：过三点、的平面的方程为：定理：若平面的方程为：，则平面外一点到平面的

14、距离为： 【例3】已知正方形的边长为，平面，、分别是、的中点，求点到平面的距离解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：，则：， 则平面的方程为：即：亦即：所以到平面的距离为： 利用三阶行列式求四面体的体积定理：记平行六面体的一个顶点引出的三边所对应的向量、，则平行六面体的体积为：说明：定理中的三向量只要是平行六面体的同一顶点引出的都可以，如、等都行定理：记四面体的一个定点引出的三边所对应的向量坐标分别为：、，则四面体的体积为：说明：1.定理中的三向量只要是四面体的同一顶点引出的都可以，如、等都行2.事实上，所以 【例4】已知正四棱柱，点是棱上的中点，截面与底面所成的角为，求三棱锥的体积解：记

15、与交点为，由正方形性质知是中点且，是棱上的点，易知，则，所以 ，所以，建立如图所示的空间直角坐标系：，则：，其中向量，于是三棱锥的体积为：说明：若求四棱锥，只需把四棱锥分割成两个三棱锥，分别求出三棱锥体积求和致谢 本文是在张红老师的指导和帮助下完成的, 在此对张老师表示衷心的感谢!参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)M. 北京: 高等教育出社, 2003.2高杨芝. 行列式浅说M. 江苏: 江苏人民出版社, 1958. 3王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)M. 北京: 高等教育出版社, 2003.4王品超. 高等代数新方法(下)M. 徐州: 中国矿业大

16、学出版社, 2003.5钱吉林. 高等代数题解精粹M. 北京: 中央民族大学出版社, 2002.6徐岳灿. 关于行列式的若干应用J. 上海中学数学, 2004(3), 40-41.7 梁波. 例谈行列式的几个应用J. 毕节学院学报, 2006(4), 27-28.8彭丽清. 行列式的应用J. 忻州师范学院学报, 2005(5), 40-41.9汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用J. 廊坊师范学院学报, 2008(3), 9-10.The determinant and its application in Elementary MathematicsXuLijiao 2011031142 Ad

17、visor:ZhangHongMajor in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science【Abstrac】 Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following four aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and i