考点空间直角坐标系空间向量

1、温馨提示：高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点25】空间直角坐标系、空间向量2009年考题1.（2009安徽高考）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_。【解析】设由可得故答案: (0,-1，0).k.s.5.u.c.o.m 2.（2009安徽高考）如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大小；（II）求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD

2、公共部分的体积.【解析】（I）（综合法）连结AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角BAFD 的平面角。由， ，得， 由，得（向量法）以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面ABF的法向量，则由得令，得，同理，可求得平面ADF的法向量。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-AB

3、CD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP平面ABCD，P为垂足。因为EA平面ABCD，FC平面ABCD，所以平面ACFE平面ABCD，从而由得。又因为故四棱锥H-ABCD的体积3.（2009福建高考）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且MD=NB=1，E为BC的中点（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标依题意得。，所以异面直线与所成角的余弦值为（2）假设在线段上存在点，使得

4、平面.,可设又.由平面，得即故，此时线段.经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时线段.4.（2009广东高考）如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影zyxE1G1（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值.【解析】（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，.（2）以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，则，即，又，平面.（3），则，设异面直线所成角为，则.5.（2009海南

5、宁夏高考）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （）求证：ACSD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。【解析】方法一：（）连BD，设AC交BD于O，由题意知。在正方形ABCD中，所以,则. ()设正方形边长，则。又，所以,连，由（）知,所以, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大

6、小为。（）在棱SC上存在一点E，使由（）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.方法二：（）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。设底面边长为，则高。于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故，从而()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为（）在棱上存在一点使. 由（）知是平面的一个法向量，且设 则 而即当时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 而不在平面内，故E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 6.（2

7、009山东高考）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1） 证明：直线EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】方法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连结A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC，平面F

8、CC，所以直线EE/平面FCC.（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在正三角形BCF中,在RtCC1F中, OPFCC1F, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为.方法二:（1）因为AB=4,

9、BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以BAD=ABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE/平面FCC. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以,由图可知二

10、面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7.（2009上海高考）如图，在直三棱柱中，,求二面角的大小。 【解析】如图，建立空间直角坐标系则A（2，0，0）、C（0，2，0） A1（2，0，2），B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） 2分设AC的中点为M，BMAC, BMCC1;BM平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。5分设平面的一个法向量是 =（-2，2，-2）， =（-2，0，0） 7分设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角.14分.8.（2009天津高考）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平

11、面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】方法一：（）由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EPPC，EPAD。由ABAD，可得PCAD设FA=a，则EP=P

12、C=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60° （II）因为（III）（III）由（I）可得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （I） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以异面直线与所成的角的大小为.（II） ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （III） w又由题设，平面的一个法向量为 9.（2009天津高考）如图，在四棱锥中，且DB平分，E为PC的中点，, （）证明 （）证明（）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值【解析】设，连结E

13、H，在中，因为AD=CD，且DB平分，所以H为AC的中点，又由题设知，E为PC的中点，故,又,所以（2）因为，所以由（1）知，,故(3)由可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以为直线与平面PBD所成的角。由,在中，,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。10.（2009浙江高考）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离【解析】（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O， 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又

14、直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离分别为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11.（2009浙江高考）如图，平面，分别为的中点（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值【解析】（）连结，在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD（）在中，所以 而DC平面ABC，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE由（）知四

15、边形DCQP是平行四边形，所以 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是 在中， ，所以12.（2007辽宁高考）如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。（I）若平面ABCD 平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（I）方法一：取CD的中点G，连接MG，NG。设正方形ABCD，DCEF的边长为2， 则MGCD，MG=2，NG=因为平面ABCD平面DCED，MG平面ABCD，平

16、面ABCDDCEF=CD.所以MG平面DCEF，可得MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=所以sinMNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 6分方法二： 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(1,1,2). 又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，可得cos(,)=· 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos· 6分()假设直线ME与BN共面， 8分则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面

17、，故AB平面DCEF。又AB/CD，所以AB/平面DCEF。EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB/EN。又AB/CD/EF，所以EN/EF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线. 12分13.（2009全国）如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）证明：（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。【解析】（I）连结BE，为直三棱柱， 为的中点，。又平面，（射影相等的两条斜线段相等）而平面，（相等的斜线段的射影相等）。（II）作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得

18、.设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为14.（2009北京高考）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【解析】方法一：（）四边形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）设ACBD=O，连接OE，由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角，O，E分别为DB、PB的中点， OE/PD，又，OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中，即AE与平面PDB所成的角的大小为.方法二：如图，以D为原点建

19、立空间直角坐标系，设则，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）当且E为PB的中点时，设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角，即AE与平面PDB所成的角的大小为.15.（2009湖南高考）如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（）证明：平面平面; （）求直线AD和平面所成角的正弦值。【解析】（）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE平面.又DE 平面，故平面平面. （）方法一: 过点A作AF垂直于点,连接DF.由（）知，平面平面，所以AF平面,故是直

20、线AD和平面所成的角。因为DE平面，所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因为，所以= 4, , .即直线AD和平面所成角的正弦值为 .方法二 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）.设是平面的一个法向量，则解得.故可取.于是 =. 由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为.16.（2009湖北高考）如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，BD=2a，点E是

21、SD上的点，且（）求证：对任意的，都有（）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值【解析】（）方法一：如图1，连接BE、BD，由面ABCD是正方形可得ACBD。 SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE（）如图1，由SD平面ABCD知，DBE= , SD平面ABCD，CD平面ABCD, SDCD。 又底面ABCD是正方形， CDAD，而SD AD=D，CD平面SAD.连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DFAE于F，连接CF，则CFAE，故CFD是二面角C-AE-D的平面角，即CFD=。在RtBDE中，BD=2a，DE=在RtADE中, 从而

22、在中，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由，得.由，解得，即为所求.方法二（）：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 图2所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），A（，0，0），B（，0），C（0，0），E（0，0，）， ，w 即。（）由（I）得.设平面ACE的法向量为=(x，y，z)，则由得。 易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为. . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0<， . 由于，解得即为所求。17.（2009湖南高考）如图4，在正三棱柱中，D是的中点，点E在上，且。（）证明平面平面（）求直线和平面所成角的正弦值。w.w.w.k.s

23、.5.u.c.o.m 【解析】（I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A,所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。（2）方法1 如图所示，设F是AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD，ABDF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又CDDF=D，所以AB平面CDF，而ABAB，所以AB平面CDF，又AB平面ABC，故平面AB C平面CDF。过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C.w.w.k.s.5.u.c.o.m 连接AH，则HAD是AD和平面A

24、BC所成的角。由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2，DF=，D C=，CF=，AD=，DH=，所以 sinHAD=。即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。方法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)， B（，0，0），C（0，1，），D（，-，）。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设平面ABC的法向量为=（x，y，z）,则有解得x=-y， z=-，故可取=(1，-，)。所以，(·)=。由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正

25、弦值为。2008年考题1（2008山东高考）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.【解析】（）证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60°，可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AEBC. 又BCAD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A，所以AE平面PAD，又PD平面PAD.所以 AEPD.（）设AB=2，H为PD上任意一点

26、，连接AH，EH.由（）知AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以 当AH最短时，EHA最大，即 当AHPD时，EHA最大.此时tanEHA=因此AH=.又AD=2，所以ADH=45°，所以 PA=2.解法一：因为PA平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC平面ABCD. 过E作EOAC于O，则EO平面PAC，过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在RtAOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=, 又F是PC的中点，在RtASO中，SO=AO

27、83;sin45°=, 又 在RtESO中，cosESO= 即所求二面角的余弦值为解法二：由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以 设平面AEF的一法向量为则 因此取因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cos, 因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为2.（2008海南宁夏高考）如图，已知点P在正方体ABCD-

28、的对角线上，.（）求DP与所成角的大小；（）求DP与平面所成角的大小.【解析】如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系。则.连结。在平面中，延长DP交于H。设，由已知,由可得。解得。所以.（）因为,所以，即DP与所成的角为。（）平面的一个法向量是. 因为,所以.可得DP与平面所成的角为.2007年考题1（2007山东高考）如图,在直四棱柱中,已知,.(I)设是的中点,求证: ;(II)求二面角的余弦值.【解析】(I)连结，则四边形为正方形，且，为平行四边形，.(II) 以D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则设为平面的一个法向量，由得，取，则. 设为平面的一个法向量，由得，取,则.由于该二面角为锐角，所以所求的二面角的余弦值为2.（2007海南宁夏高考）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为的中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值【解析】（）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）方法一：取中点，连结，由（）知，得为二面角的平面角由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值为方法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴,轴的正半轴，建立如图的空间直