考试题库数学分析

1、第一套 一，选择题：（每题3分，共15分）1，已知 ，f (x) = ( )A：B： C： D：2, A：0 B：1 C：2 D：3 3，f (x) 在 x0 点连续，则下列命题不成立的是（ ）。A：f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在 B：f (x) 在 x0 点的极限存在 C：f (x) 在 x0 点的某邻域内有界 D：f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续 4， (x) 在 a 点连续， f (x) = | x - a | (x)， f(a) 存在的条件是 ( ) 。A： (a) = 0 B： (a) = 1 C： (a) = -1 D： (a) = a5，设 f (x)

2、 = x (x + 1)(x + 2) (x +2004) , 则 f (0) = ( )A：0 B：2003！ C：2004！ D：2005！，二，填空题：（每题3分共15分）1，数列an 收敛的柯西准则是：4，如果正方形的边长增加1 cm ，面积的微分 dS = 12 cm2 ，则原边长为 。5，方程 ex = x 2 的根是 个。三，计算题：（每题5分，共20分）五，讨论函数 f (x) = 的性态并作出其图形。 (14分)六，有一无盖的圆柱形容器，体积为 V ，问底半径与容器高的比为多少时表面积最小？ 七，对函数 f（x）= ln (1 + x) 应用拉格朗日定理证明： （8分） 八、

3、设 f (x) 在开区间 I 上为凸函数，证明： 存在。第二套一，选择题：（每题3分，共15分）1，函数f (x) = ln (ln x) 的定义域是（ ）A：x 0 B：x 0 C：x 1 D：x 12, A：奇 B：偶 C：既奇又偶 D：非奇非偶 3，f (x) 在 x0 点连续的充分条件是（ ）。A：f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在 B：f (x) 在 x0 点的极限存在 C： f- (x0 ) 、f+ (x0 ) 存在 D：f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续 4，f (x) 在 x0 点可导是 f (x) 在( x0 , f (x0) 点有切线的( ) 条件。A

4、：充分 B：必要 C：充分必要 D：非充分亦非必要5，设 f (x) = x (x + 1)(x + 2) (x +2003) , 则 f (0) = ( )A：0 B：2002！ C：2003！ D：2004！，二，填空题：（每题3分共15分）1，设函数 f (x) 在 x0 的某空心邻域 U0 (x0) 内有定义，则柯西收敛准则是：4，如果正方体各棱长增加1 cm ，体积的微分 dV = 12 cm3 ，则原棱长为 。5，函数 y = x - sin x 在（- 2，2）内的拐点个数是 个。三，计算题：（每题5分，共20分）五，讨论函数 f (x) = 的性态并作出其图形。 (14分)六，

5、某窗户上部为半圆，下部为矩形，周长为15 m ，要使窗户透光面积最大，问宽 x 应为多少米？（10分）七，设 f（x）、g（x）在D上有界，证明： （8分）第三套一、 单项选择（每小题3分，共18分） 1、 已知函数的定义域是(0,1)，则的定义域为（ ）(a) (b) (c) (d) 2、对常数函数 y = C , 下列说法中错误的是( ) (a)既是奇函数也是偶函数 (b)既有上界又有下界 (c)既单调递增也单调递减 (d)没有最小正周期的周期函数 3、是严格增加的( )条件 (a)充分 (b)必要 (c)充要 (d)既非充分也非必要4、设则( )(a) 2 (b) 0 (c) (d) 5

6、、函数的奇偶性是（ ）(a)奇函数 （b）偶函数 （c）既奇又偶函数 (d)非奇非偶函数6、点集的聚点是（ ）（a） 0 (b) 1 (c) 1 (d)1和-1二、 计算（每小题6分，共30分）1、 2、3、 4、 , 求5、 , 求三、 做一无盖圆柱形容器，给定体积为V。问底半径与高的比如何取时最省材料？（8分）四、 将函数展开到项，并用之计算极限 （8分）五、叙述类型函数极限的归结原则，并用之证明：若为周期函数，且=0，则（8分）六、证明不等式：时，（8分）七、证明Weierstrass聚点定理：直线上的有界无限点集S至少有一个聚点。（8分）八、 作函数的图像，并1、 比较与的大小。2、求

7、数列的最大项。（12分）第四套五、 单项选择（每小题3分，共18分） 1、 已知函数的定义域是（ ）(a) (b) (c) (d) 2、1、下列各组函数中相等的是( ) (a)与 (b) 与 (c) 与 （d）与 3、函数在可导是曲线在点处存在切线的( )条件 (a)充分 (b)必要 (c)充要 (d)既非充分也非必要4、设则( )(a) - (b) 0 (c) 1 (d) 不存在5、对常数函数 y = C , 下列说法中错误的是( ) (a) 既有上界又有下界 (b)既是奇函数也是偶函数 (c)既单调递增也单调递减 (d)没有最小正周期的周期函数6、（ ）（a） 1 (b) 0 (c) 1

8、(d)不存在六、 计算（每小题6分，共30分）1、 2、3、 4、 , 求5、 , 求七、 试将多项式写成()的升幂排列（8分）八、 在半径为R的半圆内作一矩形，如何作其面积最大？（8分）五、用极限的定义证明： (8分)六、 明方程(c为常数)在（0，1）内没有两个不同实根。（8分）七、已知存在，证明： (8分)八、作函数的图像（12分）第五套一、 选择题：（每题3分，共15分）1、若为的一个原函数，则（ ）。A： B： C： D：2、设，则（ ）。A： B： C： D：3、下列反常积分收敛的是（ ）。A： B： C： D：4、级数为（ ）级数。A：收敛 B：绝对收敛 C：条件收敛 D：发散

9、5、幂级数的收敛域为（ ）。A： B： C： D：二、 填空题：（每题3分，共15分）1、 设的一个原函数为，则 。2、 已知函数，则 。3、 曲线与轴围成的图形的面积为 。4、 。5、 函数的麦克劳林级数是 。三、 计算题：（每题4分，共20分）1、计算 2、计算3、求心脏线的周长。4、已知：求： 。 5、已知：， 求：。y=f(x)ab0yx四、 设为上严格增的连续函数，证明：，使得图中两阴影的面积相等。五、 证明不等式：六、证明函数列在上一致收敛。七、求的麦克劳林展开式。八、一个半径为20米的半球形容器内盛满了水，求把水抽尽所作的功。第六套六、 选择题：（每题3分，共15分）1、若可导，

10、则（ ）。A： B： C： D：2、设的一个原函数为，则（ ）。A： B： C： D：3、瑕积分收敛是收敛的（ ）条件。A：充分 B：必要 C：充分必要 D：非充分亦非必要 4、级数为（ ）级数。A：收敛 B：绝对收敛 C：条件收敛 D：发散 5、幂级数的收敛域为（ ）。A： B： C： D：七、 填空题：（每题3分，共15分）6、 。7、 已知，则 。8、 曲线与轴围成的图形的面积为 。9、 。10、 函数的麦克劳林级数 。八、 计算题：（每题4分，共20分）1、计算 2、计算3、求心椭圆所围的面积。 4、求：的收敛半径、收敛区间、收敛域。 5、求函数，的傅里叶展开式。九、 设连续可微函数，

11、求。十、 证明不等式：六、证明：在上一致收敛。七、求的麦克劳林展开式。八、有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长10米、6米，高为20米，计算当水面与上底边齐时闸门一侧所受的静压力。第七套一、 单项选择（每小题3分，共15分）1、已知, 则( )；A、 B、 C、 D、2、（ ）；A、 B、 C、 D、3、是级数收敛的（ ）条件；A、充分但不必要 B、必要但不充分 C、充要 D、既非充分也非必要4、幂级数的收敛域为( )；A、(-1,1) B、 C、 D、5、下列广义积分中，收敛的是（ ）。A、 B、 C、 D、二、 填空：（每小题3分，共12分）1、_;2、_；3、已知，则幂级数的收敛区间

12、为_；4、_；三、 计算不定积分或求定积分的值。（每小题6分，共24分）4、设，求四、 用定积分求极限 。(9分)五、求幂级数的收敛域及和函数。（10分）六、求曲线、和所围平面区域的面积。（10分）七、证明：（每小题10分，共20分）1、设是以T为周期的连续函数，证明：2、 函数列在上一致收敛。第八套五、 单项选择（每小题3分，共15分）1、已知, 则( )；A、 B、 C、 D、2、（ ）；A、 B、 C、 D、3、连续是可积的（ ）条件；A、充分但不必要 B、必要但不充分 C、充要 D、既非充分也非必要4、幂级数的收敛域为( )；A、(-1,1) B、 C、 D、5、下列广义积分中，收敛的

13、是（ ）。A、 B、 C、 D、六、 填空：（每小题3分，共12分）1、_;2、_；3、幂级数的收敛半径为_；4、_。七、 计算不定积分或求定积分的值。（每小题8分，共24分）八、 用定积分求极限 。(9分)五、求幂级数的收敛域及和函数。（10分）六、求椭圆绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。（10分）七、证明：（每小题10分，共20分）1、 设在 a , a 上连续，证明：当为偶函数时，当为奇函数时，3、 函数项级数在上一致收敛。第九套一、确定集的内点、外点、聚点集和边界。（8分） .二、考查函数在原点的可微性（8分） . .三、用定义,验证极限 .（8分）四、, . 求和（8分）五、验证方

14、程在点满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数（10分） . 六、要做一个无盖的圆柱形容器，其容量为V，问如何截取容器的高和底面半径，所用材料最省？（10分）七、由曲面所围成；（12分）八、，其中是立体的边界曲面；（12分）九、，为以为顶点的正方形沿逆时针方向（12分）十、 ，为球面的外测。（12分）第十套一、确定集的内点、外点、聚点集和边界（8分） .二、叙述的定义（6分）三、已知. 求.（8分）四、求极限 .的值。（8分）五、已知, . 求和.（10分）六、 将数12分成三个正数之和， 使得为最大。七、求方程所确定的隐函数的导数 . （12分） 八、求球体被圆柱面所割下立体的体

15、积 （12分）.九、由曲面所围成；（12分）十、，其中是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形（12分）；第十一套一，选择题：（每题3分，共15分）2, 函数 f (x, y) = 的全微分为( ) 。A： B： C： D：二，填空题：（每题3分共15分）3，设 z = f (x, y) , x = r cos t , y = r sin t , 则 4，曲线 x = t - sin t ， y = 1 + cos t ，z = 1 - cos t 在点 ( ，0，2 ) 的法平面方程为 。三，计算题：（每题5分，共计20分）1，求 u = ln ( x2 + y ) 在 (4,

16、3 ) 点处的全微分。2、求曲面 9 x 2 + y 2 - z 2 = 9 在点（1，1，1）处的切平面方程。4、计算二重积分 ，D：0 y x，0 x 1 。四、求圆 (x - 3)2 + y 2 = 1 与抛物线 y = x2 之间的最短距离。(10分)五、设 u = f (x 2 - y 2)，证明： （ 10分） (10分)第十二套一，选择题：（每题4分，共20分）1、设，则( )。A： B： C： D：2、函数在的全微分为 ( )。A： B：C： D：3、已知，则( )。A： B：C： D：4，设，则交换积分次序后为 ( )。A：B：C：D：5，锥面被柱面所截部分的面积是( )。A

17、： B： C： D：二，填空题：（每题4分共20分）1、抛物柱面与平面所围成的空间几何体在平面上的投影是： 。2、由方程所确定的隐函数的极小值是 。3、已知，则 。4，曲线在点切线方程为 。5，设L是抛物线从到的一段，则 。三、计算题：(每题5分，共20分)(1)、 设，求。 (2)、 求函数在处的泰勒展式。 (3)、 求在条件下的极值。 (4)、计算曲线积分，其中L是与相交的圆周。四、证明函数在连续，但偏导数不存在。(10分)五，证明平面曲线上任一点处的切线被坐标轴所截的线段等长。 ( 10分)六，设，请给出二重积分在极坐标变换下的两个累次积分。( 10分)七，对于全微分式，验证原函数存在，

18、并求原函数。( 10分)八、计算，其中S是球面的上半部分并取外侧。参考答案第一套 一，选择题：（每题3分，共15分）1，C； 2，A； 3，D； 4，A； 5，C。二，填空题：（每题3分共15分）1，2，a = 1，b = -1； 3， 2 f (a) ； 4 ，6 ； 5， 2 。三，计算题：（每题5分，共20分） 解： 解： 解：证： ， 故结论成立。五，讨论函数 f (x) = 的性态并作出其图形。 (14分)解：1 定义域：R ； 2 f (x) = , 令 f (x) = 0 得：x = 1 ； 3 f(x) = ，令 f(x) = 0 得：x = 2 ；4列表：? ? x(-，1)

19、1(1，2)2(2，+)yyy极大拐点5渐近线： ， y = 0 为水平渐近线； 6 特殊点：(0，0)，(1，1)，(2, 2e -2) 7作图：xy1120六，有一无盖的圆柱形容器，体积为 V ，问底半径与容器高的比为多少时表面积最小？解：设底面半径为 r ，高为 h ，则目标函数为：S = 2r h + r 2约束条件为：V = r 2h，代入目标函数得： , 令 S= 0 得：, 代入约束条件中得：所以 当高等于半径时，窗容器表面积最小。七，对函数 f（x）= ln (1 + x) 应用拉格朗日定理证明： （8分）证：由拉格朗日定理得：即 八、设 f (x) 在开区间 I 上为凸函数，

20、证明： 存在。证：作函数 f (x) 在开区间 I 上为凸函数， F(x) 在 x = 0 的右邻域内单调上升，而 I 是一开区间，所以 I 中能找到一点 x 0 上有下界， 由单调有界定理知：存在，故 存在 ，同理可证 存在。第二套 一，选择题：（每题3分，共15分）1，C；2, A；3，C；4，A；5，C。二，填空题：（每题3分共15分）2，a = 4 ；b = - 12； 3，f (x) ； 4，2； 5，3。三，计算题：（每题5分，共20分）解：设 u = xn ，v = ( 1 - x )- 1 , 则 u(k) = n (n - 1) (n - k + 1) xn-k = 而 v(

21、k) = k! ( 1 - x)- k - 1 , 由莱布尼兹公式得：五，讨论函数 f (x) = 的性态并作出其图形。 (14分)解：1，定义域：x 1； 3，列表：x(- , -1)-1(-1, 1)(1, 3)3(3, +)y+0-0+y-+y-2极大 0极小 4，与坐标轴的交点：（3，0）、（0，- ） y；6，作图：x01六，某窗户上部为半圆，下部为矩形，周长为15 m ，要使窗户透光面积最大，问宽 x 应为多少米？（10分）解：七，设 f（x）、g（x）在D上有界，证明： （8分）第三套一、1.c 2.a 3.a 4.d 5.a 6.d二、1、 原式= 2、原式= 3、原式=4、

22、5、,三、 底半径为R,高为kR,则,即,表面积,令四、 五、都有证明：设周期为T。反证：若则令，但矛盾六、时，（8分）设当时，当时，综上，命题得证。七、见书八、略第四套九、 1.d 2.a 3.a 4.c 5.b 6.b二、1、 原式= 2、原式=3、 4、5、, 三、四、如图：矩形的面积为令OO五、证明： 限制即,只需取即可六、反证：设,若,则可由罗尔中值定理，然而方程在（0，1）内无实根，故原命题成立。 (8分)七、证明：以上两式相加得：所以八、 略第五套十一、 选择题：（每题3分，共15分）1、D：2、C；3、D；4、B；5、C。十二、 填空题：（每题3分，共15分）11、 ；2、1；

23、3、；4、；5、十三、 计算题：（每题4分，共20分）1、计算 2、计算解： 解：作变换得： 所以 3、求心脏线 4、已知：的周长。 求： 。解： 解： 所以 5、已知：， 求：。y=f(x)ab0yx解：十四、 设为上严格增的连续函数，证明：，使得图中两阴影的面积相等。证：设则而，所以，即，故结论成立。十五、 证明不等式：证：故结论成立。六、证明函数列在上一致收敛。证：因为而 所以在上一致收敛。七、求的麦克劳林展开式。解：因为而，所以 故 八、一个半径为20 米的半球形容器内盛满了水，求把水抽尽所作的功。解：如图建立坐标系，在中取微元，则体积微元，质量微元，微功 ，求积分得总功为：= 769

24、69.02(千焦). 此即所求。第六套一、选择题：（每题3分，共15分）1、A；2、D；3、D；4、B；5、B。二、填空题：（每题3分，共15分）1、；2、5；3、；4、；5、三、计算题：（每题4分，共20分）1、计算 2、计算解： 解：3、求心椭圆所围的面积。解： 4、求：的收敛半径、收敛区间、收敛域。 解： ，收敛区间、收敛域为：-2，25、求函数，的傅里叶展开式。解：，四、设连续可微函数，求。解：五、证明不等式：证：设，则，令得：时上升，时下降，所以，故六、证明：在上一致收敛。证：因为关于单调上升，所以而收敛，所以由优级数判别法知：在上一致收敛。七、求的麦克劳林展开式。解：八、有一等腰梯

25、形闸门，它的上、下两条底边各长10米、6米，高为20米，计算当水面与上底边齐时闸门一侧所受的静压力。解：腰的直线方程为：在0，20中取微元，则面积微元压力微元所以压力为：=14373.33(千牛)第七套九、 单项选择（每小题3分，共15分）1、D 2、C 3、B 4、C 5、A 十、 填空：（每小题3分，共12分）1、 2、2 3、（1，3） 4、十一、 计算不定积分或求定积分的值。（每小题6分，共24分）解： 4、设，求四、用定积分求极限 。(9分)解：原式=五、求幂级数的收敛域及和函数。（10分）解: ,收敛域为 1, 1)六、求曲线、和所围平面区域的面积。（10分）1yoxx七、证明：（

26、每小题10分，共20分）1、设是以T为周期的连续函数，证明：证明：,令4、 函数列在上一致收敛。证明：5、 x = 0时也成立。6、 所以函数列在上一致收敛。第八套一、单项选择（每小题3分，共15分）1、C 2、 C 3、A 4、B 5、A二、填空：（每小题3分，共12分）1、 2、 3、 4、三、计算不定积分或求定积分的值。（每小题8分，共24分）解：令,原式=解：原式解：令,原式四、 用定积分求极限 。(9分)解：原式=五、求幂级数的收敛域及和函数。（10分）解：, 逐项求导得：，, 收敛域为六、求椭圆绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。（10分）解：七、证明：（每小题10分，共20分）1

27、、设在 a , a 上连续，证明：当为偶函数时，当为奇函数时，证明：,令,当为偶函数时, 当为奇函数时, 2、函数项级数在上一致收敛。证明：，（x=0时也成立）收敛，在上一致收敛。第九套一、内点集为，外点集为聚点集为边界为二、,同理，.若,而,所以三、证明： 四、五、(1)在点的邻域内连续；(2)； (3)在点的邻域内连续；(4)；所以方程 六、设底面半径为x,高为y,则,表面积为设令七、八、九、由格林公式，十、由高斯公式，第十套一、内点集为，外点集为聚点集为边界为二、三、所以四、令，则五、 六、七、设z = 0八、.。九、十、第十一套 一，选择题：（每题3分，共15分）1、A； 2、C； 3、A； 4、D； 5、C。二，填空题：（每题3分共15分）1、； 2、y sin 2 xy ； 3、4，x = ； 5，三，计算题：（每题5分，共计20分）1，求 u = ln ( x2 + y ) 在 (4, 3 ) 点处的全微分。解： du | （4，3）= ，此即所求。2、求曲面 9 x 2 + y 2 - z 2 = 9 在点（1，1，1）处的切平面与法线方程。解：设 F（x，y，z）= 9 x 2 + y 2 - z 2 - 9 ，则 F x (1，1，1) = 9 ，F y (1，1，1) = 2 ，F z (3，1，1) =