二次函数与abc关系

1、二次函数 y=ax+bx+c 的符号问题知识点一：知识点一：抛物线抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：的符号问题：开口向上开口向上a0开口向下开口向下a0与与y轴的负半轴相交轴的负半轴相交 c0与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac0,b2-4ac0 x知识点二：知识点二：2、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c在在x轴下方的条轴下方的条 件是什么？件是什么？0402acba变式：变式：不论不论x取何值时，函数取何值时，函数y=ax2+bx+c（a0）的值永远是负值的条件是什么？的值永远是负值的条件是什么？你知道吗？你知道吗？不论不论x x取何值时，函

2、数取何值时，函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的值永远是非）的值永远是非正数的条件是什么？正数的条件是什么？知识点三：知识点三：抛物线抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：的符号问题：（5）a+b+c的符号：的符号：由由x=1x=1时抛物线上的点的位置确定时抛物线上的点的位置确定点在点在x x轴上方轴上方点在点在x x轴下方轴下方点在点在x x轴上轴上a+b+c0a+b+c0a-b+c0, b0, 0.练习练习2、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符号：的符号：xyo a0, b0, c=0, 0.练习练习3、抛物线、抛物线

3、y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符号：的符号：xyo a0, b0, 0.练习练习4、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符号：的符号：xyo a0, b=0, c0, =0.练习练习5、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符号：的符号：xyo a0, b=0, c=0, =0.练习练习6、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符号：的符号：xyo a0, c0, 0.练习练习7、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的

4、图象如图所的图象如图所示，则点示，则点M（ ，a）在）在 （ ）A、第一象限、第一象限 B、第二象限、第二象限 C、第三象限、第三象限 D、第四象限、第四象限 cbxoy a0, c0,D练习练习8、已知：一次函数、已知：一次函数y=ax+c与二次函数与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（象是图中的（ ）xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）C练习练习9、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所的图象如图所示，下列结论中：示，下列结论中：abc0；b=2a；a+b+c0；a+b-c0; a-b+c0正确

5、的正确的个数是个数是 （ ）A、2个个 B、3个个C、4个个 D、5个个xoy-11C练习练习10、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所的图象如图所示，下列结论中：示，下列结论中：b0；c0所以所以b-a-c两边同时平方两边同时平方11、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所的图象如图所示，下列结论中下不正确的是示，下列结论中下不正确的是 （ ）A、abc0 B、b2-4ac0C、2a+b0 D、4a-2b+c0 xoy-1-11 1D练习练习-b2a-2a,2a+b01、抛物线、抛物线y=x2-8x+m的顶点在的顶点在 x轴上则轴上则m= .

6、2、抛物线、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在的顶点在 y轴上轴上则则b= _ 3、抛物线、抛物线 y=x2+bx+1对称轴是直线对称轴是直线x=2则则b= _ 160-4练一练：练一练：1、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的图象如图所示，下列结论中：如图所示，下列结论中：abc0；b=2a；a+b+c0；a+b-c0; a-b+c0正确的个数是正确的个数是 （ ）A、2个个 B、3个个C、4个个 D、5个个xoy-11C4错错练一练：练一练：2、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如的图象如图所示，下列结论中下正确的是（图所示，下列结论中下正确的是

7、（ ）A、abc0 B、b2-4ac0C、2a+b0 D、4a-2b+c0 xoy-1-11 1D1.(天津天津)已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c， 且且a0,a-b+c0,则一定有则一定有( ) A.b2-4ac0 B. b2-4ac=0 C.b2-4ac0 D. b2-4ac0二、典型例题分析二、典型例题分析A A2.(2.(重庆重庆) )二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图的图 像如图所示，则点像如图所示，则点M M（b,c/a)b,c/a)在在 ( )( ) A. A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D. D.

8、 第四象限第四象限D D-1a 0,c 03.(河北省河北省)在同一直角坐标系中，一次函数在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数和二次函数y=ax2+c的图像大致为的图像大致为 ( )B4.(山西省山西省)二次函数二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值的图像如图所示，则函数值 y0时，对应的时，对应的x取值范围取值范围 是是 .-3x1.-3-3-3-35、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的的 图像如图所示，下列结论：图像如图所示，下列结论： a+b+c0，a-b+c0； abc0；b=2a 中正确个数为中正确个数为 ( ) A.4个个 B.3个个 C.

9、2个个 D.1个个A6、无论、无论m为任何实数，二次函数为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点的图像总是过点 ( ) A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0)C当当x= 1x= 1时时,y=a+b+c,y=a+b+c当当x=-1x=-1时时,y=a-b+c,y=a-b+ca 0,b 0 x=- b/2a=-1D7.(7.(安徽安徽)二次函数二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图，则下列的图像如图，则下列a、b、 c间的关系判断正确的是间的关系判断正确的是( ) A.ab 0 B.bc 0 D.a-b+c 00的的 解为解为 ( ) ( ) A

10、.x a/b B.x -a/b A.x a/b B.x -a/b C.x a/b D.x -a/b C.x a/b D.x -a/b Da 0,b 0,c 0a 0,b 09.9.已知二次函数已知二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图像如图所示，的图像如图所示， 那么下列判断不正确的有那么下列判断不正确的有( )( ) A.abc A.abc0 B. b0 B. b2 2-4ac-4ac0 0 C.2a+b C.2a+b0 D.4a-2b+c0 D.4a-2b+c0 0DX= - b/2a1X= - b/2a1-b2a-b2a2a+b2a+b0 0 当当x=-2x=-2时时,

11、,y=4a-2b+cy=4a-2b+c0 0D10、若抛物线、若抛物线y=ax2+3x+1与与x轴有两轴有两 个交点，则个交点，则a的取值范围是的取值范围是 ( ) A.a0 B.a- 4/9 C.a 9/4 D.a9/4且且a011.某幢建筑物，从某幢建筑物，从10米高的窗口米高的窗口A用水管向用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示与墙面垂直，如图所示).如果抛物线的最高点如果抛物线的最高点M离墙离墙1米，离地面米，离地面40/3米，则水流落地点米，则水流落地点B离墙离墙的距离的距离OB是是 ( ) A.2米米 B.3米

12、米 C.4米米 D.5米米BO抛物线顶点抛物线顶点M（1,40/3) 与与y轴交点轴交点A(0.10) 求得抛物线解析式求得抛物线解析式;求出抛物线与求出抛物线与x轴的交点轴的交点;1、(青海省青海省)如图所示，已知抛物线如图所示，已知抛物线 y=-x2+bx+c与与x轴的两个交点分别为轴的两个交点分别为A(x1,0)， B(x2，0)，且，且x1+x2=4，x1x2=3，(1)求此抛物线的解析式；求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与设此抛物线与y轴的交点为轴的交点为C，过点，过点B、C作作直线，求此直线的解析式；直线，求此直线的解析式；(3)求求ABC的面积的面积.(1)y= -x2+4x

13、-3 (2) y= x-3 (3) 3 三、综合应用三、综合应用 能力提升能力提升2、已知、已知;二次函数二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1).(1)求证求证:不论不论m为何值时为何值时,函数的图像与函数的图像与x轴总轴总有交点有交点,并指出并指出m为何值时为何值时,只有一个交点；只有一个交点；(2)当当m为何值时为何值时,函数图像过原点函数图像过原点,并指出此时并指出此时函数图像与函数图像与x轴的另一个交点；轴的另一个交点；(3)若函数图像的顶点在第四象限若函数图像的顶点在第四象限,求求m的取值的取值范围范围.(2)另一个交点坐标为另一个交点坐标为(1，0) (3)当当m-1且且m3

14、时时,抛物线的顶点在第四象限抛物线的顶点在第四象限 .30. 0,) 3() 1(24) 1() 1 (22轴只有一个交点抛物线与时，时，即轴总有交点，且当抛物线与为何值时，无论xmxmmmm用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件的特点选择合适的方法来求解的特点选择合适的方法来求解一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可设顶点一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可设顶点式式y=a(x-h)2+k，在所给条件中已知抛物线与，在所给条件中已知抛物线与x轴轴两交点坐标或已知抛物线与两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴一交点坐标与对称轴，可设交

15、点式轴，可设交点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条在所给的三个条件是任意三点时，可设一般式件是任意三点时，可设一般式y=ax2+bx+c;然后然后组成三元一次方程组来求解。组成三元一次方程组来求解。例例:已知关于已知关于x的二次函数的二次函数,当当x=1时时,函数值为函数值为10,当当x=1时时,函数值为函数值为4,当当x=2时时,函数值为函数值为7,求这求这个二次函数的解析试个二次函数的解析试.由题意得：为解：设所求的二次函数,2cbxaxy724410cbacbacba5, 3, 2cba解得，5322xxy所求的二次函数是待定系数法待定系数法例：根据下列条件，分别求出对应的

16、二次函数解析式（1）已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)（2）已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3）已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k顶点是（1，2）设y=a(x-1)2+2，又过点（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1 y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知与x轴两交点横坐标，设交点式y=a(x-x1)(x-x2)由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，设y=a(x-1)(x-3),过（0，-3）， a(0-1)(0-3)=-3, a=-1 y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3(3)已知二次函数的图像过（-1，2），（0，1），（2，-7

17、）已知普通三点设一般式y=ax2+bx+c,设y=ax2+bx+c过（-1，2），（0，1），（2，-7）三点a-b+c=0c=14a+2b+c=-7a=-1b=-2c=1y=-x2-2x+1例：已知一抛物线与x轴的交点A（-2，0），B（1，0）且经过点C（2，8）（1）求该抛物线的解析式 （2）求该抛物线的顶点坐标解：设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c由已知，抛物线过点（-2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得4a-2b+c=0a+b+c=04a+2b+c=8解这个方程组得，a=2b=2C=-4所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x

18、-2)=2(x+1/2)2-9/2所以该抛物线的顶点坐标为（-1/2，-9/2）例：如图，已知二次函数例：如图，已知二次函数 的图像经过点的图像经过点A和点和点B（1）求该二次函数的表达式；）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点）点P（m，m）与点）与点Q均在该函数图像上均在该函数图像上（其中（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求称，求m的值及点的值及点Q 到到x轴的距离轴的距离24y a xx c xyO3911AB图13解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 得 解得二次函数的表达式为（2）对称轴为 ；顶点坐标为（2，-10）（3）将（m，m）代入 ，得 ，解得 m0， 不合题意，舍去 m=6点P与点Q关于对称轴 对称，点Q到x轴的距离为6cxaxy42.3439,) 1(4) 1(122caca.6,1ca642xxy2x642xxy642mmm121,6mm11m2x抛物线抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：的符号问题：