直线与圆锥曲线——直线圆过定点定值问题

1、定点定值过定点问题直线与曲线相交与两点，求证变式：xAyOBM如图，抛物线上有两点A（）、B（），且·0，又（0，2），（1）求证：1.（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（）求椭圆C的标准方程；（）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。解：(I)由题意设椭圆的标准方程为， (II)设，由得，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，解得，且满足.当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为2. 已知椭圆

2、C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为（II）设，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又，椭圆的焦点为，即故当时，MN过椭圆的焦点。3.（2010江苏）18.（16分）在平面直角坐标系中

3、，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点的直线TA,TB与椭圆分别交于点，其中.设动点P满足PF2PB2=4,求点P的轨迹设x1=2,x2=，求点T的坐标设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)圆过定点4.（08江苏）18设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C（）求实数b 的取值范围；（）求圆C 的方程；（）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论解：（）令0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b0 且0，解得b1 且b0（）设所求圆的一般方程为令0 得这与0 是同一个方程，故D2，F令0 得

4、0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1所以圆C 的方程为.（）圆C 必过定点（0，1）和（2，1）证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边012×0（b1）b0，右边0，所以圆C 必过定点（0，1）同理可证圆C 必过定点（2，1）5.已知椭圆,点是椭圆上异于顶点的任意一点,过点作椭圆的切线,交轴与点直线过点且垂直与,交轴与点试判断以为直径的圆能否经过定点？若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由.解:设点,直线的方程为代入,整理得.是方程的两个相等实根,解得或根据求导解得直线的方程为令,得点的坐标为又点的坐标为又直线的方程为令,得点的坐标为以为直径的圆方程为整理得由得以为直径的圆

5、恒过定点和6.如图，点A，B，C是椭圆的三个顶点，D是OA的中点，P、Q是直线上的两个动点。 （）当点P的纵坐标为1时，求证：直线CD与BP的交点在椭圆上； （）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，试判断以线段PQ为直径的圆是否恒过定点，请说明理由。解：（）由题意，时，直线CD方程为，直线BP方程为, -2分由方程组 解得， -3分+=+=1， 在椭圆上，直线 CD 与BP的交点在椭圆上 -5分（），焦点， -6分设， -8分， ，线段PQ为直径的圆圆心是的中点（4，），半径为，圆的方程为 -10分 -12分令，得 或 ，以线段为直径的圆恒过定点 -13分定值7.已知定点C(1,0)及椭圆x2

6、3y25，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使·为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解析假设在x轴上存在点M(m,0)，使·为常数设A(x1，y1)，B(x2，y2)当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)，将yk(x1)代入x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.则所以·(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.整理得·m2m2m22m.注意到·是与k无关的常数，从

7、而有6m140，m，此时·.当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为A(1，)、B(1，)，当m时，亦有·.综上，在x轴上存在定点M(，0)，使·为常数8.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：由条件知，设，解法一：（I）设，则则，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是（II）

8、假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为.9.已知椭圆:点的坐标为,过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点,对于任意的是否为定值？若是求出这个定值;若不是,请说明理由.解析:由已知得直线的方程为由消去得设则由此可知,为定值.10.（07湖北理科）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。（）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y