等差数列教师

1、都江堰校区 （数学） 辅导讲义任课教师: 岳老师 Tel:课题数列版块等差数列一、数列的常用递推关系 对于任何数列的前项和，则有时， 则常使用与的关系得到递推式：【强调】在求解时，若直接写成的形式，则是错误的。因为是无意义的，故在前面必须要有这个条件，再验证时，是否满足所求的。【例1】已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式。 （1） （2）【解】（1）当时， 当时， 当时，故 （2）当时， 当时， 当时，故【例2】数列中，求通项。【解】由，则当时，两式左右相减，得 则 当时，满足上式，故【例3】已知数列的首项为1，且，求数列的通项公式。【解】由，即，则当时，将个等式累加，得，即当时，故【例

2、4】已知数列，以后各项由给出。 （1）写出数列的的前5项；（2）求数列的通项公式。【解】（1），； （2）当时，由，得 则 当时，故【小结】（1）递推公式形如或求通项，使用“累加法”方法如下：由 得：当时，将个式子相加得 即：再验证时，是否满足上式。（2）列项求和常用公式： ； ； 【例4】设是首项为的正项数列，且，则 【解】，则，故【例5】已知数列中， ，前项和。（1）求，； （2）求的通项公式。【解】（1）由与，得（2）当时， 可得，即：故有而，所以的通项公式为【小结】递推公式形如或求通项，使用累乘法。（必要时，需要书写首尾各34各等式找规律）二、等差数列（一）等差数列的概念（1）表示形式

3、：， ，（）（2）等差中项：如果三个数成等差数列，则叫与的等差中项则（二）通项公式：（三）前项和公式： （推导方法为：倒序相加法）（四）函数的观点认识等差数列（1）是关于项数的一次函数（一般情况下）（2）是关于项数的二次函数且缺常数项（一般情况下）（五）等差数列的判定方法（1）定义法：（常数）是等差数列（2）中项公式法：是等差数列（3）通项公式法：（为常数）是等差数列（4）前项和公式法：（为常数）是等差数列（六）常用性质（1）若数列，为等差数列，则数列，（为非零常数)均为等差数列；（2）对任何，在等差数列中，有，特别的，当时，便得到等差数列的通项公式。另外可得公差（3）若，则=.特别的，当时，

4、得（4）若是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即。（5）在等差数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为（例如：，仍为公差为的等差数列）（6）如果是等差数列，公差为，那么，也是等差数列，其公差为（7）若数列为等差数列，则记，则，仍成等差数列（8）若为等差数列的前项和，则数列也为等差数列（9）记等差数列的前项和为： 若，公差，则当时，则有最大值； 若，公差，则当时，则有最小值。求最值的方法也可先求出，再用配方法求解。【例6】（1）等差数列中，则 （2）等差数列中，则 （3）已知等差数列中，与的等差中项为，的等差中项为，则（4）已

5、知等差数列中，则 【解】（4）设首项为，公差为，则，解得 故【小结】熟用，问题【例7】（1）等差数列中，若，则 180 （2）等差数列中，若，则 1125 （3）等差数列中，若，则（4）等差数列中，若，则 210 （5）等差数列中，若，则 60 （6）等差数列中，则 180 【小结】熟练掌握性质的应用【例8】（1）等差数列中，则的最大值为 （2）等差数列中，则的最小值 （3）等差数列中，当最大时， 6或7 （4）等差数列中，若，公差，当为最大值的自然数值为 5或6 【解】（1），则；（2），则 （3），则，故，则 （4）由，显然，则，故，则【例9】（1）等差数列中，则 24 （2）等差数列中，

6、则 12 （3）等差数列中，则 5 【解】（1），则 （2） （3）【小结】利用性质：也成等差数列【例10】已知数列的通项公式为且为常数 （1）当和满足什么条件时，数列是等差数列？ （2）证明：对任意实数和，数列是等差数列。【解】（1）欲使是等差数列，则 应是一个与无关的常数。 则只有，即 （2）， 则为一个常数，即是等差数列【例11】已知数列满足，令。 （1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式。【解】（1）， 则数列是首项为，公差为的等差数列 （2）由（1）知，又 则【例12】已知数列的前项和为，且满足，。 （1）求证：是等差数列；（2）求数列的通项公式。【解】（1）时，由，得，则

7、 又，故是首项为，公差的等差数列。 （2）由（1）知，则 当时，；当时，不满足上式。 故【例13】已知等差数列的前项和满足。 （1）求得通项公式；（2）求数列的前项和。【解】（1）设的公差为，则，解得，故 （2）由（1）知 则的前项和【例14】在公差为的等差数列中，已知，且。 （1）求；（2）若，求。【解】（1）由，得，解得或 则，或 （2）设数列的前项和为，当，由（1）知， 则当时， 当时， 综上所述，【例15】设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且。 （1）证明： （2）求数列的通项公式； （3）证明：对一切正整数，有。【解】（1），当时，有，则 （2）当时，则，有 则，故是从第2项起，

8、公差为2的等差数列 由，得，解得 由（1）得，满足，故是首项为1，公差为2的等差数列 故 （3）由（2）得每课一练1如果等差数列中，那么（ C ）A14 B21 C28 D352设等差数列的前项和为，若，则当取最小值时，（ A ）A6 B7 C8 D9【解】设等差数列的公差为，则由得，则，则，解得，则，故当时，取最小值3（2011四川）数列的首项为3，为等差数列且，若，则（ B ）A0 B3 C8 D11【解】，解得，则；由则4（2012全国）已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为（ A ）A B C D【解】，解得，则，故则数列的前100项和为5已知等差数列满足，若数列满足，则（ B

9、 ）A B C D【解】，；又，则，即而，则数列是首项为2、公比为2的等比数列，故6等差数列中，若，则 7等差数列中，若，则 210 8等差数列中为其前项和，若，则 380 9如图是一个有层的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，第层每边有个点，则这个点阵的点数共有 个【解】设第层共个点，结合图形可知，则前层所有点数之和为10已知数列满足：，求。【解】11已知数列满足：，求。【解】12在数列中，求。【解】13已知等差数列满足：，的前项和为。（1）求及；（2）令，求数列的前项和。【解】（1）设的公差为，则，解得，故， （2） 则14在等比数列中，已知，。（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，的前项和为，当满足什么条件时，?【解】（1）设数列的公比为，则，解得，则（2）由（1）得，则，设数列的公差为，则，解得，则数列的前项和令，即，解得或故15（2012四川）已知数列的前项和为，且对一切正整数都成