相似三角形的判定共边共角型与嵌入型学生郭亚琦数学

1、相似三角形的判定知识精要判定三角形相似的方法有：预备定理，三个判定定理，斜边-直角边定理。其中使用频率最高的是“两角对应相等，两三角形相似”和“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”。所有的判定方法只需证明两点：一是角相等，另一个是边成比例。证明“角相等”应特别注意：1）特殊角（如直角），2）特殊关系（如公共角，对顶角，等腰三角形的两底角，等角的余角，等角的补角等）。根据图形的结构，可将判定三角形相似的方法概括为三种基本类型：共角共边型，嵌入型，旋转翻折型。类型一：共角共边型“共角共边型”是指有一个角为公共角或对顶角的两个三角形，只要再证明一个角相等或者证明夹公共角（对顶角）的两边对应成比例

2、就能证明两个三角形相似。共以下四种基本图形：图中的ABC和ADE有一个公共角或一组对顶角，又有一组对应角相等或两条夹边对应成比例。例题精解例1 如图，ABC中，D,E分别在AC,AB上，且ABD=ACE,联结DE。求证：ADEABC。点评：（1）若将题中条件“ABD=ACE”变为“BDAC,CEAB”，则结论 。（2） 证明过程中比例式既是由ABDACE得到的结论，又是判定ADEABC的条件，也就是说，证明第一对三角形相似得到的结果（角相等或边成比例）作为条件马上用于证明第二对三角形相似，这是证明三角形相似常用的方法。引申：（1）若设BD,CE的交点为F，则还可以证明 和 可得到4对相似三角形

3、。（2） 若条件“ABD=ACE”变为“BDAC,CEAB”，即使BD,CE成为ABC的高，则共可得到8对相似三角形。【举一反三】1、如图，D是RtABC斜边AB上的中点，过D作DFAB，交BC于E，交A的延长线于点F，求证：DC2=DE·DF.2、 如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，AE交BD于F,已知BE2=EF·AE。求证：DC2=BF·BD.3、 如图，等边三角形ABC中，D,E分别在BC,AB上，且,AD交CE于F。求证：AD·DF=.点评：等腰三角形和等边三角形中相等的角为相似三角形准备了“天然”的条件。本题整个图形呈旋转对称造就了诸

4、多的边角相等关系和线段成比例关系。类型二：嵌入型“嵌入型”是指一个角镶嵌在一个三角形或四边形的内部，这个角的顶点与三角形的顶点重合，或者这个角的顶点在三角形或四边形的一条边上，而这个角的两条边分别与三角形或四边形的两条边相交。例1、如图，ABC中，BAC=90°，AB=AC,点D,E在边BC上，DAE=45°。（1） 写出图中的相似三角形；（2） 求证：AB2=BE·DC点评：本题中，ADE嵌入ABC内，两个三角形有一个公共顶点（A），称之为“正嵌型”，如例2图所示；如果嵌入的三角形顶点在该角的对边上，称之为“反嵌型”，如图所示。在ABC中，BAC=90°

5、;,AB=AC,点D在斜边BC上，E,F分别在AC,AB上，EDF=45°，可以证明BDFCED.【举一反三】1、 如图，ABC中，AB=AC,D是BC的中点，E,F分别在AB,AC上，且EDF=B，联结EF。找出图中相似三角形并说明理由。2、 如图，梯形ABCD中，AD/BC,AD=3，BC=7，AB=DC=4，点P在边BC上，点E在边DC上，APE=60°，联结AE.（1） 求证：AB·CE=BP·PC;（2） APE能否与ABP相似？若能够，求此时点P的位置；若不能够，请简要说明理由。3、 正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，AEF=90

6、°，联结AF.(1) 找出图中一定相似的三角形并加以证明。(2) AEF或ADF能否与ABE相似？如果能，求此时点E的位置；如不能，试说明理由。类型三：旋转翻折型“旋转翻折型”可以看做先使其中一个三角形经过放大或缩小，再与另一个三角形呈旋转对称或轴对称的位置关系。例1 如图，若1=2=3，写出入中所有相似的三角形，并简要说明理由。【举一反三】1、如图，ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DEBC,交AB于点E,CE交AD于点F.求证：.2、 如图，CD为RtABC斜边AB上的高，G为DC延长线上一点，AFBG,垂足为F,AF交CD于E。求证：CD2=DE·DG.3、 如

7、图，ABC中，点D在BC上，ADE=B,BAD=CAE.（1） 求证：AD·AC=AB·AE;（2） 当BAC=90°时，求证：ECBC.内容提炼1、 将三角形相似的判定与三角形全等的判定进行类比：三角形全等AAS,ASASASSSSHL三角形相似AASASSSSHL可以看出，判定“相似”比判定“全等”要求要低一些：例如“两个角对应相等”无法判定全等，但可以判定相似；再例如，“两组对边对应成比例”的要求也比“两条边对应相等”的要求低，因为“两条边对应相等”是“两边对应成比例”中当比例系数为1时的特殊情况。实际上，“相似”的含义知识“像”，而“全等”的含义则是“一模

8、一样”，“全等”的要求当然要高一些。2、正因为判定相似比判定全等的要求低，所以相似形的图形变化更多，解题方法也更灵活。判定三角形相似首先要观察图形中有没有相等的角，例如，两个三角形没有公共角，是否等腰三角形的两个底角或等腰梯形同一底上的两个角，等等；其次，要把已知的乘积式化为比例式，考察所涉及的线段围成的三角形是否相似，有时还需要经过中间比转化。3、组成相似三角形的图形往往相互交错，互相渗透，图形中常包含证明相似三角形“隐含条件”。本节涉及的隐含条件分别为：在共边共角型中，提供了公共角（或对顶角）相等；反嵌入型中的三角形外交等于不相邻的两个内角和；旋转型中的旋转角相等。巩固提高（必做题，要求步

9、骤完整，思路清晰）1、 满足下列条件的两个三角形不一定相似的是（ ）A. 有一个角都等于30°的两个直角三角形；B.有一个角都等于30°的两个等腰三角形；B. 两直角边之比为1:2的两个直角三角形； D. 两条边之比为1:2的两个等腰三角形。2、 如图，在ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，BD平分ABC,ACE=ABD,与BEF一定相似的三角形为（ ）A. BFC; B.BDC; C.BDA; D.CEA3、 如图，梯形ABCD中，DC/AB,AD-BC,点P在DC上，点Q在BP上。若APB=D,PAQ=PBA，则图中相似的三角形共有（ ）A.3对； B.4对； C.

10、5对； D.6对4、 在ABC中，AB=AC,A=40°，若DEF与ABC相似，则D的度数为 5、 已知ABC与A'B'C'相似，A=A'=90°，AB=3，AC=4，A'B'=6，则B'C'= 6、 如图，若B=C,AE=EC=3，AD=2，则DB= 7、 如图，梯形ABCD中，AD/BC,BD平分ABC,A=BDC,若AB=4，BC=8，则CD= 8、 如图，四边形ABCD中，AD/BC,若AB=8，BC=4，AC=6，AD=9，则CD= 9、 如图，ABC中，D在AC上，若ABD=C,AD=9，DC=7，则BD:BC= 10、 如图，平行四边形ABCD中，AC交BD于O。已知,求证：.11、 如图，ABC中，AB=AC,射线BF交高AD于G，交AC于E，作CF/AB交BF于F.求证：.12、 如图，在ABC中，AB=AC,点D在BC延长线上，点E在AC上，联结AD,联结BE并延长，交AD于F,联结FC,已知EBC=D.(1) 求证：AD·BC=BD·BE.(2) 点E在AC上什么位置上，能使FCBD？证明你的结论。探究题（1） 如图，D,E分别在等边三角形ABC的边CB和边BC的延长线上。已知BC2=DB·