安徽蚌埠2018-2019学年高二下学期期末考试数学理试题版含解析

1、安徽省蚌埠市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题第I卷（选择题，共 60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A, B , C , D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上1 .已知为虚数单位，复数满足 （1+2）7 = 4+31,则复数对应的点位于复平面内的（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【解析】分析：先求出复数 z,再得到复数z对应的点所在的象限详解：由题得4fl 31)(1 21)1 + 2i (1 +2i)(l-2i)吃岂=2-i,所以复数z对应的点为（2, -1 ）,故答

2、案为：D.点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.（2）复数二="十bi-bER）对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数 L/bi对应的点所在的象限.复数工=u十日（3工E R）和点（a,b ）是一一对应的关系.2 . “指数函数是增函数，函数 f（x）=2*是指数函数，所以函数是增函数”，以上推理（）A.大前提不正确B.小前提不正确C.结论不正确D. 正确【答案】A【解析】分析：利用三段论和指数函数的单调性分析判断详解：由三段论可知"指数函数是增函数”是大前提，但是指数函数不一定是增函数，对于指

3、数函数¥ =3>0且至1,当a>1时，指数函数是增函数，当 0vav1时，指数函数是减函数.所以大前 提不正确，故答案为：A.点睛：本题主要考查三段论和指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平3 .曲线Rx） = 2x-在点Qf处的切线方程是（）A. '】- B. ,.： C.；,一D. "1.一。【答案】B【解析】分析：先求出切点，再利用导数求切线的斜率，再写出切线的方程详解：由题得=-1,所以切点为（0,-1 ）,由题得 . .所以切线方程为故答案为：B.(2) 函数点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和求切线的方程，意在考查学生对这些知

4、识的掌握水平y = f（x）在点、处的导数是曲线在式乂渣立）处的切线的斜率，相应的切线方程是4 .已知回归方程y = 2x-l ,则该方程在样本（3,41处的残差为（）A. 5 B. 2 C. 1 D. -1【解析】分析：先求当 x=3时，歹的值5,再用4-5=-1即得方程在样本（3总处的残差.详解：当x=3时，y=2>3-1=5, 4-5=-1 ,所以方程在样本（3,4）处的残差为-1.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查残差的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）残差=实际值-预报值，不要减反了 .5 .用数学归纳法证明不等式13,-> (:n> 2)的过程中，归

5、纳递推由n = k至g=k+I时, 2n 24不等式的左边（）A.B.增加了一项增加了两项12(k+ 1)I 12k + 1 2(k-F 1)I 11C.增加了两项+-T-又减少了一项 2k + 1 2（k -H I）11 1D.增加了一项 又减少了一项 2（k+ 1）k+ 【解析】分析：先求出n=k时左边的式子，再求出 n=k+1时左边的式子，再比较两个式子得解.详解：当 n=k 时，左边=1 4- - - - 4- - , (1)k+ J k + 22k当 n=k+1 时，左边= ,(2)k 十 2 k 十 32k 十 1 2k-2所以增加了两项 !+,又减少了一项 ,故答案为：c. 2k

6、+1 2(k-nl)k+ 1点睛：本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的掌握水平6.从1, 2, 3, 4, 5中不放回地依次选取 2个数，记事件A= "第一次取到的是奇数”，事件"第二次 取到的是奇数”，则P(B|A)=()1231A. B. C. D.25105【答案】A【解析】分析：利用条件概率公式求 P(B|A).详解：由条件概率得咱向总一；故答案为：A.n(AB)点睛：(1)本题主要考查条件概率的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 条件概率的公jP(AB)式：.二金：P(A)7.已知，b,均为正实数，则的值()b cA.都大于1 B. 都小于1C

7、.至多有一个不小于 1 D.至少有一个不小于1【答案】D【解析】分析：对每一个选项逐一判断得解.详解：对于选项 A,如果a=1,b=2,则1所以选项 A是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则aa 4 b 2- = 2>l,所以选项B是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,贝卜-=- =2>1,所以选项C是错误的.对于选项D,假设;二,则 b c aa b ca b c ,la b c-+- + -O/-+- + ->33-=3,显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D是正确的.故答b c ab c a qbca案为：D.点睛：(1)本题主要考查反证法，意在考查

8、学生对该知识的掌握水平.(2)三个数至少有一个不小于1的否定是8 .某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布M300J0G）,则用电量在320度以上的居民户数估计约为（）【参考数据：若随机变量服从正态分布内,则Kr-c y M B十七0,6827,+09545 ,P(R-3o +。.为 73.A. 17 B. 23 C. 34 D. 46【答案】B【解析】分析：先求用电量在320度以上的概率，再求用电量在 320度以上的居民户数详解：由题得 、,所以P300-2。MgE300十20) = PQ80M自M320) =。.954S,所以1-0.9545工 0.0”，所以求用电量在

9、320度以上的居民户数为1000X 0.023=23.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方 法.（2）对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解9 .设是函数f（x）的导函数，y = P（k）的图象如图所示，则y=fg的图象可能是（）【答案】C【解析】由导函数的图象可知，函数在SQ超）2 Rx）单调递增；在（0,2）f（x）c。，f（x）单调递减，在a > o, f的单调递增，故选 c.10.下列等式中，错误的是（）n!n(n-1)=SRA1c. ：_2_2 d. -，.”： n nin-m【答

10、案】C【解析】分析：计算每一选项的左右两边，检查它们是否相等详解：通过计算得到选项 A,B,D的左右两边都是相等的对于选项C,4"3广Ji,所以选项 mlC是错误的.故答案为:C.点睛：本题主要考查排列组合数的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本计算能力.11 .将3颗相同的红色小球和 2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（）A. 40 B. 28 C. 24 D. 16【答案】B【解析】分析：分两类讨论，其中一类是两个黑球放在一个盒子中的，其中一类是两个黑球不在一个盒子中的，最后把两种情况的结果相加即得不同的分装方案种数详解：分两种

11、情况讨论，一类是两个黑球放在一个盒子中的有C： x 1 = 4种，一类是两个黑球不放在一个盒子中的：如果一个黑球和一个白球在一起，则有£ = 4x3= 2种方法;如果两个黑球不在一个盒子里，两个白球在一个盒子里，则有 温=4乂3 = 12种方法.故不同的分装方案种数为 4+12+12=28.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查排列组合综合应用题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）解答本题时，要注意审题，黑球是一样的，红球是一样的，否则容易出错 12 .若存在入耳*,使得不等式2xlnx I xJmx+3"成立，则实数m的最大值为（）1 3,A. : 1

12、. e ; B. 二-已： C. 4 D. I ee【答案】A【解析】3二 m < 21nx + x + - x3 ，23 (x+3)(x-l)设h(x) = 21nx i-k 斗一，贝Uh(x) = _ +I _工=;xxX2X-当1W工士1时，h&)vo, h(x)单调递减 e当IbxWe时，h"(K)3 0, M制单调递增一1 1.3 ,存在 x E - e , m < 21nx x + 一成乂 nx,-V h(航.，v h- = - 2 + -+ 3e, h(e) = - 2 e + -e/ ee二冲h(e)1m < - 3e - 2 e故选点睛：本

13、题利用导数求解不等式问题，在解答此类问题时的方法可以分离参量，转化为最值问题，借助导数，求出新函数的单调性，从而求出函数的最值，解出参量的取值范围，本题较为基础。第n卷(非选择题，共 90分)二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.请将答案直接填在答题卡上.L13.计算：J(小十 x)dx=. o【答案】A1【解析】试题分析： "十x)dx =十. 0考点：定积分.14. 2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染总计注射104050未注射203

14、050总计3070100参照附表，在犯错误的概率最多不超过 的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.【参考公式：K2 =仪*向一(a + b)(c + d)(a + c)(b -+ d)0.100.050.0250.0100.0050.001国2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】0.05【解析】分析：直接利用独立性检验炉公式计算即得解.* 100(10 X 30-20 X 40)：洋解：由题得，30 x 70 x 50 x 50所以犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.故答案为：0.05.点睛：本题主要考查独

15、立性检验和 小的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.15 .已知多项式Qx 3广的展开式中二项式系数之和为 64,则展开式中/的系数为 (用数字作答).【答案】4860【解析】分析：先根据多项式 Qx-3)”的展开式中二项式系数之和为64得到2” = 64求出n的值，再利用二项式定理的通项求展开式中的系数.详解：因为多项式 Qx-3的展开式中二项式系数之和为64, 旷=64,n=6.所以二项式展开式的通项为 T_ =产(-3)r = 4户令6-r=2得r=4,所以展开式中小的系数为。合19=15工4 乂= 4860故答案为：4860.点睛：(1)本题主要考查二项式定理和

16、二项式展开式指定项的系数的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)展开式中小的系数为、力,不是匚；是展开式的第5项的二项式系数，某一项的系数和某一项的二项式系数是两个不同的概念，不要混淆16 .已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2,第二行为4, 6,第三行为12, 10, 8,第四行为14, 16, 18, 20,，如图所示，在该数表中位于第行、第行的数记为为，如2=1°, %4 =阴.若%=201g ,贝h+j =.46121081416182030282624 22【答案】72【解析】分析：先求出 2018排在第几行，再找出它在这一行的第

17、几列，即得i + j的值.详解：第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，第n行有n个偶数，则前n行共有I 1-2 3-i n =”个偶数,2018在从2开始的偶数中排在第1009位，2什尸（门1 1）所以,“44（44 十 1），当n=44时，第44个偶数为x 2 = 1980,所以第44行结束时最右边的偶数为 1980,2由题得2018排在第45行的第27位，所以i + j = 45+27=72.故答案为：72.点睛：（1）本题主要考查归纳推理和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）解答本题的关键是通过解不等式-210®找到2018所在的行.2三、解答题

18、：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选做题，考生根据要求作答（一）必做题：每小题 12分，共60分.17.已知，b均为正实数，求证:【答案】证明见解析【解析】分析：直接利用作差法比较b a r r b - a a - b11 r r r - Jb详解:丁+ % -也-也=-i=- 4= (a - bX元-f) = (Va *+ 向一点睛：（1）本题主要考查不等式的证明，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）不等式的证明常用的有比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，本题运用的是比较法，也可以利用综合法18.如图

19、1,已知APAB中，PA，PH,点P在斜边AB上的射影为点H.图I图21 1 1（I）求证：一：=一；PH PAPB（II）如图2,已知三棱锥P-ABC中，侧棱PA, PB, PC两两互相垂直，点P在底面ABC内的射影为点H.类比（I）中的结论，猜想三棱锥 P-AEC中PH与PA, PB, PC的关系，并证明.【答案】（I ）证明见解析；（II ）答案见解析.PA - PB- r PA' ' PB"【解析】分析：（I）先分析得到.包,再由勾股定理得到pa2 + pb2 =,再化简即得PHPH2 I 1 LPH2 PA2 PB I 1.（n）先类比猜想得到猜想： ；=；

20、1+ 再利用（I）的结论证明PH PA，PH- PC=1= + .PH PA“ PK PC，、-_ 】 PAPB详解：(I)由条件得，-PA,PB = =AB-PH,所以AB =,2 2PHPA" ' PB"由勾股定理，PA2-PB：=.4B2,所以 P3d + FBi =-PH2P A* + PB所以PH2 PA2 - PB2 PA2 PB2 I 1 L(n)猜想： -=-+ -PH PA- PK PC证明如下:连接AH延长交B于，点，连接PA】，因为 PA1PB, PA1PC,PBCPC=P点，所以PA_L平面PBC,又PM匚平面PEC,得PA_LPMPH，平面

21、 ABC, AM 匚平面 ABC,则 PH 1AM.在直角三角形APM中，由（I）中结论, I 1,=,IPH2 PA3 PM2PA 1 平面 PBC,则 PA 1 BC ,又PH L 平面 ABC ,所以 PH 1 BC ,而PHPiPA = P点，PH 匚平面PAM,所以 BC1 平面APM, BC ±PM.又PR 1 PC,由（I ）中结论，得11 I=1- PMZ PC2 PB2所以1PH21 1 1十PA2 PB2 PC2点睛：（1）本题主要考查几何证明和类比推理及其证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）解答第2问的关键有两个，其一是连接 AH延长交B

22、C于M点，连接PM,证明一；二一；+-其 pir pa- pm211 I是证明, =都用到第1问的结论.PMa PC PB19.小王每天自己开车上班，他在路上所用的时间X （分钟）与道路的拥堵情况有关 .小王在一年中随机记录了 200次上班在路上所用的时间，其频数统计如下表，用频率近似代替概率k （分钟）15202530频数（次）50506040（I ）求小王上班在路上所用时间的数学期望Eg ；（n）若小王一周上班5天，每天的道路拥堵情况彼此独立，设一周内上班在路上所用时间不超过的天数为Y,求Y的分布列及数学期望.【答案】（I ）二；（n ）答案见解析. 4【解析】分析：（I）先由题得到x=1

23、5,20,25,30，再求出其对应的概率， 最后得到X的分布列和期望.（II）利用二项分布求Y的分布列及数学期望、 11 、 1详解：（I） P（X=15） = r P（X = 20） =二，P（X = 25） = 77；, P（X = 30）=：,44105X的分布列为国15202530回1511 89(H)由(I)可知，每天上班在路上所用时间不超过89 口1 1EOQ =一的概率为44 4所以k = 0,1234,5 ,依题意，Y012345013255165132分布列为点睛：(1)本题主要考查随机变量的分布列和数学期望，考查二项分布，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2

24、)若Bgp).则比=叩.利用该公式可以提高计算效率.20.我市物价监督部门为调研某公司新开发上市的一种产品销售价格的合理性，对该公司的产品的销售与价格进行了统计分析，得到如下数据和散点图：定价x (元/姐)102030405060年销售y(kg)115064342426216586|z - 21ny14.112.912.111.110.28.9图图(2)图（1）为x-y散点图，图（2）为x-z散点图.（I）根据散点图判断y与x,与x哪一对具有较强的线性相关性（不必证明）；（II）根据（I）的判断结果和参考数据，建立 y关于x的回归方程（线性回归方程中的斜率和截距均保留两位有效数字）；（出）定价

25、为多少时，年销售额的预报值最大？（注：年销售额=定价乂年销售）6参考数据：x = 35, y = 455 , z=lL55,= 750 ,i 16i.= 16i-y)2 = 776840, 工区和田产-34580 ,i. 16句义中力=34652i. - 1.6WaV）佻臼）参考公式：，.I - 1【答案】（i）答案见解析；（n）答案见解析；（出）定价为20元/姐时，年销售额的预报值最大【解析】分析：（I）由于图（2）的点更集中在一条直线附近，所以与X具有的线性相关性较强.（n）利rCUtk+U-G.lOx-h 15用最小二乘法求y关于X的回归方程为“ j .（出）先得到"2, xE

26、（0,十E）,再利y = e= xy = xe用导数求定价为多少时年销售额的预报值最大详解：（I）由散点图知，与x具有的线性相关性较强6£(乂Kg - Z)'| -JF - q(n)由条件，得 6 = =胃-0 10,61750»洱-x)2& = z.俵=I 1.55-( - 0.W) x35 = 15.05- 15,所以 z = - 0. (Jx + 15,又l ,得 21ny = - 0 1Ox + 15 ,-O.lOjt 15故丁关于x的回归方程为-A.y(出)设年销售额为p元，令口尸、.P = f(x) = xy-0L1OK4-15f(x)=(l -

27、0,05x)e2'-0 IOx 1 15一j, x G (0, + co),令得0fx<20；令F（x）h。，得ka2。，则f(x)在iQ20)单调递增，在+ 单调递减，在x= 20取得最大值，因此，定价为20元/姐时，年销售额的预报值最大.点睛：(1)本题主要考查两个变量的相关性和最小二乘法求回归直线方程，考查利用导数求函数的最值 .(2)本题的难点在第 3问，这里要用到导数的知识先求函数的单调区间，再求最大值21.函数 Rx)=匕“一乂一1 , g(x) =I).(I )求函数的极值；(n)若 c-i,证明：当 x£(ai)时，g(x)> i.【答案】(I)f

28、1x)有极小值f(0) = 0,无极大值.(n)证明见解析.【解析】试题分析：(1)求出f(k),分别令式K)>0求得X的范围，可得函数f(K)增区间，f(K)式。求得X的范围， 一一I .可得函数f(x)的减区间，根据单倜性可得函数f(x)的极值；(2)不等式以x)A |等价于ax-KCCi*十1 A4,由(1) e1 1I11得；父一”，可得(HX lygSX+D-qAKg+g% 4-设帆，利用导数研究函数的单调i X +/K + IX- J1性，根据单调性可得h(x) > h(l) = a + -+ cos),进而可得结果.试题解析：(1)函数= eK - x - 1的定义域

29、为(-甩.十吟,i'(x) = ex - 1 ,由f(K>0得x>0,所以函数 心)在-40)单调递减，在十间上单调递增，所以函数f(x)只有极小值f(0) = 0.1(2)不等式 g(K> I等价于 ax 1X83*+ 1 由(1)得：.11I1X所以三吠-TT，xEl),所以(ax 1飞8*4 1)=二*维，？；83乂-1 1)-7 =ax + xcosxi-e x + 1exix+ 11=一.二二sc :.X十I1 . . 1 r令h(x) = 83X + a 4,则 h(x) = - &inx - 二,当 x E )时，h(x) v 0 ,X- 1(x

30、 I 1)1所以hOo在8，D上为减函数，因此，h(x)> h(l) = a - i- cos),一加 1”, ,， c 一”，r，,因为831 >cos-=-,所以，当 a)-1时，a I - -I msl >0,所以 h(x)0,而xE(。)，所以g(x)能 I .3 22(二)选做题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分r厂22 .在直角坐标系犬5一中，曲线孰的参数方程为：(口为参数)，以坐标原点。为极点，工轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线5的极坐标方程为e = -(p(=R).(I)求g的极坐标方程和 Q的直角坐标方程;TT(n)若直线 q的极坐标方程为g = jpER),设G与5的交点为o, m, Q与G的交点为o, n,求aomn的 面积.【答案】(I)G的极坐标方程为p = 4cos。十Ssdn6.直线Q的直角坐标方程为丫=由*.( )8卜5'耳.【解析】分析：(1)利用恒等式消参法得到 g的普通方程，再把极坐标公式代入求其极坐标方程，可以直接写出q的直角坐标方程.(2)设M(p出)，Wp1%),再求得P = 2十4,Pz=4十沂 再利用面积公式 IpiP例)求得3OMN的面积.详解：(I )消去参数