第5讲+多元函数微分学

1、第五讲 多元函数微分学题型一与重极限概念有关的题常用方法1)利用极限性质(四则运算法则，夹逼原理)；2)消去分母中极限为零的因子(有理化，等价无穷小代换)；3)利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量.【例1】求下列极限1) 2) 3)解1)由于而，由夹逼原理知2)方法1将分子有理化原式方法2当时，则原式3)方法1由于，即为有界量，而，即为公式最小量，则原式=0.方法2由于(当)，由夹逼原理知.题型二证明重极限不存在常用方法：在两种不同路径极限不同(通常可取过点()的直线).【例2】证明下列重极限不存在1)2)证明1)取直线，让点()沿直线趋于点则重极限不存在.2)取直线，则这说明沿任何一条过原点

2、的直线(不包括轴)趋于点，极限存在且都为零，并且若沿y轴趋于的点···极限也为零，事实上这能否说明重极限存在且为零呢？不能！事实上若沿过原点···抛物线趋于点时，就有故极限不存在.题型三讨论连续性、可导性、可微性【例3】二元函数在点处两个偏导数、存在是在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 【答案】(D)【解析】在点连续不能保证在点存在偏导数.反之,在点存在这两个偏导数也不能保证在点连续,因此应选(D).二元函数在点处两个偏导数存在和在点

3、处连续并没有相关性.【例4】考虑二元函数的下面4条性质：在点处连续， 在点处的两个偏导数连续，在点处可微， 在点处的两个偏导数存在.若用表示可由性质推出，则有 ( )(A) . (B).(C) . (D).【详解】下述重要因果关系应记住，其中表示由可推出. 无箭头者无因果关系，箭头的逆向不成立. 与连续可微其中均指在同一点处. 记住上述关系，不难回答本选择题，故应选(A).【例5】二元函数在点处 ( )(A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在(C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在【答案】(C)【解析】这是讨论在点是否连续,是否存在偏导数的问题.按定义,由于 ,偏导

4、数且.再看在是否连续？由于,因此在不连续.应选(C).【例6】设则函数在原点偏导数存在的情况是( ) 【答案】【详解】，故不存在所以存在故选【例7】二元函数在点处可微的一个充分条件是( ) 且 且 【答案】( C)【详解】一般提到的全微分存在的一个充分条件是：设函数在点处存在全微分，但题设的中没有一个能推出上述充分条件，所以改用全微分的定义检查之. 全微分的定义是：设在点的某领域内有定义，且在点处的全增量可以写成，其中为与无关的常数，则称在点处可微，称为在点处的全微分，对照此定义，就可解决本题.选项 相当于已知在点处连续；选项 相当于已知两个一阶偏导数，存在，因此均不能保证在点处可微. 选项相

5、当于已知两个一阶偏导数，存在，但不能推导出两个一阶偏导函数，在点处连续，因此也不能保证在点处可微.由，推知其中，.对照全微分定义，相当于可见在点可微，故选择(C).题型四求偏导数与全微分1、求具体点处的偏导数与全微分【例8】设，求和.解由于，则不存在；而【例9】设二元函数，则 _.【答案】【详解】求二元函数偏导数时，可将令一变量暂时看作定值。对求偏导数(此时为定值)得 ,对求偏导数(此时为定值)得 ,于是的全微分为所以，.【例10】设,则 _ .【答案】【解析】解法1：由于,故,代入,得.解法2：由于,故 .【例11】设函数，则 .【答案】详解：当时，则 当时，则则 或【例12】设函数可微,且

6、,则在点(1,2)处的全微分【答案】【详解】题目求复合函数在某点处的全微分，可有两种方法：方法1： 由微分形式不变性，有方法2： 求偏导数， .以，代入便得如上结果.2、求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分【例13】设则 _.【答案】【解析】方法一：先求出两个偏导数和,然后再写出全微分,所以 .方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算.【例14】设，求及.解法1由原题设可知，两端对分别求偏导解法2由原题设可知，两端对分别求偏导解法3令，则，由复合函数求导法可知同理可得3、含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分【例15】设函数具有二阶连续偏导数,则 .【答案】【解析】 ,.【例

7、16】设为二元可微函数，则【答案】【详解】【例17】设具有二阶连续偏导数，且满足，又, 求【详解】由复合函数的求导法则，得 从而 所以 =【例18】设是二元可微函数，则_【答案】【详解】，所以 【例19】函数由关系式确定，其中函数可微，且，则.【答案】 【详解】应先写出f (u , v)的表达式，再求偏导数令，从而：，于是由，推知 f (u , v) =，所以 ，4、隐函数的偏导数与全微分【例20】设函数由方程确定, 则.【答案】.【详解】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.方法1：复合函数求偏导，在 的两边分别对,求偏导,为的函数., ,从而 , 所以 方法2：令，则 , ,

8、 所以 ,从而 方法3：利用全微分公式,得即，得所以 , 从而 【例21】设函数,由方程确定，其中为可微函数，且，则 ( )(A) (B) (C) (D)答案：B详解：,设，确定了函数，其中都有一阶连续偏导数，且，求.解法1两端对求导得解得将代入得解法2由知等式两端求微分得由知，将代入式得将该式中和代入式得，故.题型五 已知偏导数反求函数关系或参数【例21】若函数满足，且，又，则等于(A)(B) (C)(D) 解法1容易验证，只有(C)选项中的函数同时满足题设中的三个条件，故应选(C).解法2由知.由题设条件，于是，则.故应选(C).【例22】已知，且当时，；当时，则解由知，.于是，其中.由时

9、，知，(1)由时，知，从而有.在(1)式中令得.故.【例23】已知是某一函数的全微分，则取值分别为(A)-2和2(B)2和-2(C)-3和3(D)3和-3解由题设可知，存在可微函数，使，则，从而有，.由于和都连续，从而有，即.则，即，故应选(B).题型六 极值的概念题【例24】设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是( )(A)若，则.(B)若，则.(C)若，则.(D)若，则.【答案】【详解】方法1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。已知，由，在邻域，可确定隐函数，满足，。是在条件下的一个极值点是 的极值点。它的必要条件是若，则，或，因此不选，.若，则(否则)

10、. 因此选方法2：用拉格朗日乘子法. 引入函数，有因为，所以，代入(1)得若，则，选【例25】设函数的全微分为,则点 ( )(A) 不是的连续点. (B) 不是的极值点. (C) 是的极大值点. (D) 是的极小值点.【答案】(D)【解析】由可得,.又在处,故为函数的一个极小值点.【例26】设在点处连续，且，则(A)不存在. (B) 存在但不为零.(C) 在点处取极小值.(D) 在点处取极大值.解法1直接法由于，由极限的保号性知，存在点的去心领域，使，再，则.再由及在的连续性知.由极值定义知在点取极大值，故应选(D)解法2排除法取，显然满足原题条件，但在取极大值，因此选项(A)，(B),(C)

11、均不正确，故应【例27】已知函数在点的某个领域内连续，且(A) 点不是极值点.(B) 在点处取极大值.(C)在点处取极小值.(D) 根据条件无法判断是否为极值点.【答案】【详解】由，其中由在点连续知，取，充分小，有；取，充分小，有故点不是的极值点，应选 (极值的定义)题型七 求无条件极值【例28】求二元函数的极值.【解析】 ,.令解得唯一驻点.由于所以 且.从而是的极小值,极小值为.【例29】设是由确定的函数，求的极值点和极值.【详解】因为 ，所以两边对求导：， 两边对求导：. 根据极值点存在的充分条件，令 ，得 ，故 将上式代入，可得 或 对照极值点存在的充分条件，为判别两点是否为极值点，再

12、分别对求偏导数，分别对求偏导数式对求导： ，式对求导：式对求导： 式对求导： ，将 代入，于是，故，又，从而点(9,3)是的极小值点，极小值为. 类似地，将代入，于是，可知，又，从而点(-9, -3)是的极大值点，极大值为.题型八 条件极值与最值【例30】求函数在约束条件下的最大值和最小值详解：令解得为最大值，为最小值.【例31】求函数在约束条件和下的最大和最小值.【详解】方法一：作拉格朗日函数 令 解方程组得 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求在条件下的最值 设 令 解得，代入，得 故所求的最大值为72，最小值为6.【例32】已知函数的全微分，并且. 求在椭圆域上的最大值和最小值.【详解】由知.对两边积分得. 将代入得. 所以. 所以.再由时知， . 于是所讨论的函数为