第9讲一次函数与方程

1、第9讲一次函数与方程、不等式考点方法破译1一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx+ b = 0（ k、b为常数，k0的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例即在y= kx+ b中，当y=0时则为一元一次方程.2 一次函数与二元一次方程 （组）的关系：任何二元一次方程 ax+ by = c（a、b、c为常数，且a0, b工0都可以化为y=b b 的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；从数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从 形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标.3.次函数与一元一次不等式的

2、关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax + b>0或ax+ bv 0（ a、b为常数，a0的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数 的函数值大于或小于 0时，求相应自变量的取值范围.经典考题赏析【例1】直线li: y= kix+ b与直线12： y= k2x在同一平面直角坐 标系中的图象如图所示，则关于x的不等式kix + b> k2x的解为（）A. x> 1B. xv 1C. xv 2D.无法确定【解法指导】由图象可知 11与12的交点坐标为（一1 , - 2），即当 x=- 1时，两函数的函数值相等；当 x>- 1时，12的位置比11高，因 而k2x&

3、gt;k1x+ b;当当xv - 1时，A的位置比12高，因而kzxv k1x+ b.因 此选A.【变式题组】第2题图第1题图01.（咸宁）直线11： y= k1x + b与直线12： y= k2X在同一平面直角坐标系中的图象如图所示, 贝U关于x的不等式k2x> k1x+ b的解集为 .第3题图第4题图02.（浙江金华）一次函数y1 = kx+ b与y2= x+ a的图象如图，则下列结论：kv 0；a>0;当xv3时，y1v y2中，正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D . 303.如图，已知一次函数y= 2x+ b和y= ax- 3的图象交于点 P（ 2,- 5），则根据

4、图象可得不等式2x+ b>ax- 3的解集是.104.（武汉）如图，直线y = kx+ b经过A（ 2, 1） , B（ 1, - 2）两点，则不等式"x> kx+ b > 2的解集为.【例2】若直线11： y= x-2与直线12： y= 3-mx在同一平面直角坐标系的交点在第一 象限，求m的取值范围.X，从而求出m解:八 x2,Jy =3 -mn5x 二1 +m3 _2m y =1 +m0i 5 >0x-01 m, _ ,一|32m 门0 1m，即 1 m 0,3 _2m >0< 3.2【变式题组】01.如果直线 y= kx+ 3与y= 3x-

5、2b的交点在x轴上，当k= 2时,C.工2b等于（）A. 9()02.1 1若直线y =qX-2与直线y二一乂 a相较于x轴上一点，则直线1-4x a不经过03.因抄错了04.A.第四象限B .第三象限C.第二象限两条直线y1 = ax+ b, y = cx+ 5,学生甲解出它们的交点坐标为 c而解出它们的交点坐标为（3,丄），则这两条直线的解析式为44已知直线y= 3x和y = 2x+ k的交点在第三象限，则 k的取值范围是 .D.第一象限 （3, - 2），学生乙【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足 的取值范围.【例3】（四川省初二数学联赛试题）在直角坐标系中，若一点的

6、纵横坐标都是整数，则 称该点为整点，设 k为整数，当直线y= x 2与y= kx+ k的交点为整点时，k的取值可以取 （）A. 4个B. 5个C. 6个【解法指导】两直线的交点为整点即对应方程组的解均为整数.k 2八x -2得 y = kx kx =解：由1 -kk 2 Jy21 k01.两直线交点为整数，x、y均为整数， 又当x为整数时，y为整数， k 2为整数即可，1 - k/ k- 1是整数， k- 1 = ±1, ±3 时， k= 2, 0, 2, 4. 所以选A.【变式题组】（广西南宁）从2, 3,k 2_k 2_k-飞一 31 -k 一 k -1 一 k-1 一

7、 k -1 'x、y为整数,4, 5这四个数中，任取两个数p和q（p为），构成函数y= px- 2x= 2的右侧，则这样的有序数对 （p,和y= x+ q,并使这两个函数图象的交点在直线q）共有（）A. 12 对B . 6 对C. 5 对D . 3 对02.（浙江竞赛试题）直线I: y= px（p是不等于0的整数）与直线y= x+ 10的交点恰好是整 点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线I有（）A. 6条B . 7条C. 8条D .无数条03.（荆州竞赛试题）点A、B分别在一次函数y= x, y= 8x的图像上，其横坐标分别是 a、b（a> 0, b> 0）.若

8、直线AB为一次函数y= kx+ m的图象，则当-是整数时，求满足条a件的整数k的值.co【例4】已知x、y、z都为非负数，满足x+ y z= 1, x+ 2y+ 3z= 4,记o= 3x+ 2y+ z.求 的最大值与最小值.【解法指导】将x、y、z中的三个未知量选定一个看成已知，则关于 x、y、z的三元方程可变成关于x、y的二元方程，从而求出 x与y,然后代入 o= 3x+ 2y+ z中，可得o与z 的一次函数关系式，然后再求出 z的取值范围，即可求出 o的最大值与最小值.-o= 3x + 2y + z= 3( 5z 2) + 2( 3 4z)解：由已知得:x y =1 zx =5z _22

9、, 2 ,x n 2y =4 -3zJy =3 _4z+ z= 8z.v x、y、z都为非负数， 2一一3545z _203 -4z0 ,.二WzW54'z> 0 o的最大值为8X3 = 6, o的最小值为8X?=4【变式题组】01.（荆州竞赛试题）已知x满足不等式:5 : 2x,|x 3| |x + 2|的最大值为p,02.03.最小值为q，则pq的值是（）A. 6B. 5已知非负数 a、b、c满足条件：3a + 2b + c= 4, 2a+ b+ 3c= 5.设S= 5a + 4b + 7c的最 大值为 m,最小值为 n,贝U n m =.（黄冈竞赛试题）若x+ y+ z=

10、30, 3x+ y z= 50, x、y、z均为非负数，则 M = 5x+ 4y + 2z的取值范围是（）A. 100W MW 110D. 130W M W 140B. 110W M < 120C. 5C. 120W M< 1304个单位后得到12,12与11的交点是点C,2与x轴的交点是点B,【例5】已知直线l1经过点（2, 5）和（一1 , 1）两点，与x轴的交点是点A，将直线y 6x+ 5的图象向上平移求厶ABC的面积.【解法指导】设直线2 k b = 5' f亠 ，解得、-k +b =111的解析式为y= kx+ b, V 11经过(2, 5), ( 1, 1)两点

11、,k =2b =1 '1 1 y= 2x+ 1,.当 y= 0 时，2x+ 1 = 0, x=, A(- , 0). 又/ y= 6x+ 5的图象向上平移4个单位后得I?,： 12的解析式为33.当 y= 0 时，6x+ 9 = 0, x=, B(2 , 0).22y =2x 1x =1 , ,y = -6x 亠9 ly =331 C(1,3)，- AB= 2 - () = 2,y= 6x+ 9, Sa abc= 1 X2 X3= 3.2【变式题组】01.已知一次函数 y= ax+ b与y= bx+ a的图象相交于 A(m, 4)，且这两个函数的图象分别 与y轴交于B、C两点(B上C下

12、)， ABC的面积为1，求这两个一次函数的解析式.02.如图，直线 OC、BC的函数关系式为 y= x与y= 2x+ 6.点P(t, 0)是线段OB上一 动点，过P作直线I与x轴垂直.求点C坐标；设 BOC中位于直线I左侧部分面积为 S,求S与t之间的函数关系式； 当t为何值时，直线I平分 COB面积.演练巩固反馈提咼01.已知一次函数C两点，那么A. 202.已知关于x的不等式()A.3iy = x+ m,和y=x+ n的图象交点 A( 2, 0)，且与y轴分别交于B、22 ABC的面积是()B. 3C. 4D. 6ax+ 1 >0(a工0的解集是xv 1,则直线y= ax+ 1与x轴

13、的交点是集疋0)0)第6题图A( 4, 0)，则y> 0时，x的取值范围是()C. XV 4D . XV 003.如图，直线y= kx+ b与x轴交于点A. x> 4B. x> 004.直线kx 3y= 8, 2x+ 5y= 4交点的纵坐标为 0,贝U k的值为()A. 4B. 405.直线y= kx+ b与坐标轴的两个交点分别为的解集为()A. x>0B. x< 006.如图是在同一坐标系内作出的一次函数b2,则方程组y g 5的解是() y2= k2X + b2x 二-2A.y =2C. 2D. 2A(2,0)和 B(0, 3).则不等式 kx + b+ 3&

14、gt;0yi、C. x>2D. x< 2y 的图象丨1、"，设 y1= &x+ b1, y2= k2x+B.C.x = -3y =307. 若直线y= ax+ 7经过一次函数 y= 4 3x和y= 2x 1的交点，贝U a=.08.已知一次函数 y= 2x+ a与y= x+ b的图象都经过 A（ 2, 0），且与y轴分别交于 B、 C两点，贝U也ABC =09.已知直线 y= 2x+ b和y= 3bx 4相交于点（5, a），贝U a=.10. 已知函数y= x+ m与y= mx 4的图象交点在x轴的负半轴上，则m的值为.11. 直线y= 2x 1与直线y= 3x

15、+ m相交于第三象限内一点，则m的取值范围是12. 若直线y -x V与直线y - _3x5的交点在第一象限，且a为整数，则a=224413. 直线11经过点（2, 3）和（一1, 3），直线12与11交于点（一2, a），且与y轴的交点的纵 坐标为7.求直线I?、h的解析式；求|2、l1与x轴围成的三角形的面积；x取何值时I1的函数值大于I2的函数值？14. （河北）如图，直线I1的解析式为y= 3x + 3, l1与x轴交于点D，直线*经过点A（4,30） , B（3,-）.求直线I2的解析式；求ADC ；在直线I2上存在异于点C的另一点P,使得 S adp = Sa adc , 求P点坐标.l2x第14题图15. 已知一次函数图象过点 （4, 1）和点（一2, 4）.求函数的关系式并画出图象. 当x为何值时，yv 0, y= 0, y> 0?当一1 vx< 4时，求y的取值范围； 当1 <yv