第10章离散时间信号与系统的Z域分析.

1、甲离散时间信号与系统的Z域分析10.1 Z变换1从拉普拉斯变换到Z变换续信号/进行理想抽样，即/乘以单位冲激序列小 卩为抽样间隔，得到抽样信号为cocof© = /(0 = /(/) E 庇 一)=E fWt-nT)n=-co0000人二 L X fW3(t-nT) = Y f(nT)L6(t-nT) = f(nT)e-nsT对于任意序列f(n),有F=£ fznn=»双边Z变换2例匸Z(n) =n>0/i < 08cPE宀工"0/ ra丿/lni(z)aZ > Clf2(n) = <a n<0n>0耳二丈("

2、;)广"”一s斤(z)二二一Z-Gz <a例:/a(z?)=n>0,<o(a<b)"(z)=丈("")厂+乞(。""；J=O/f=-o0Z+a zba< z </Im2.收敛域s对于任意给定的序列f(n),能使 F(z)= X /比一” F(z)存在或级数收敛的充分条件是："一 士 |./*(小广”| voo收敛域M = S 不同f(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变換，故在 确定刁变换时，必须指明收敛域.-2<n<5n < 2ji>5F(z)=&q

3、uot;"(z)=f 3“z”n=2|n|> 1kl>“4、-anU(-n-l)5、eJ|inr U(n)四、单边z变换-n=0=討 + * +1 + 3z“ + 9z2 + 27z-3 + 80 < z <oo讨论：1）收敛域取决于f（n）和n平面取值范围；2）收敛域内不包含任何极点（以极点为边界）；3）双边Z变换F与f（n）没有一一对应；4）有限长序列收敛域为：0 V I N IV 8 ；5）右边序列收敛域为I z l>Rx的圆外；6）左边序列收敛域为I z l<R2的圆内；7）无限长双边序列收敛域为Rx<lzl<R2的圆环。10.

4、2 Z变换的性质1.线性I 若Zx(/r)= X(z)(尺 “v|z|v/?z2)"七NyS) = y(z)(尺和 <|z| V 尺，2)贝UNpAxS) + Z<y() = mX(z)+by(z) (/?! v|z|v/?2)ROC: 一般情况下，取二者的重叠部分即 max( Rxl, Ryl) < |z < min( Rx2,Ry2)某些线性组合中某些零点、与极点、相抵消，則收敛城可能扩大.例 已知/()i(n)9“(1),求知)的双边乃变换F及其收敛城.u(n) <-> lzl>lZ-1一3"“(一一1)丄匚lzl<3z

5、-3、 乙z2z2-4z° zj + z-3 (z-lXz-3)l<lzl<3若x(n)<->X(z),则tix (nm) <-> z ”X(e)x(n + 2)x (n+m)o zwX(z)收敛域：只会彩喰=0，Z=8处例 已知r(n)=3 w(n+l)-w(n-2),求双边Z变换及其收敛域。f(n) = 3flu(n + 1)-3*w(h -2)3nu(n) <->乙一3|乙|>3根据位移性质，得，3w+, u(n +1) z 二一=二一乙一 3 乙一 33n2un 一 2) o z-2 -=1 z-3z(z-3)根据线性性质

6、，得3 < |z| < ooz > 3F(z) = Z/(n) =3(z-3)z(z-3)八273z(z -3)i + l)-32-3"3 心-2)(2)单边Z变换:LlLl_ -() 1X(7? "(/?), x(n +冊kSX交心O'l勺长度育所增减。fr若x()为双边序列，其单边z变换为Nx3)触(小 如 W(H) (11 - 2)«(/) iK ilk -IO 1H -IO 1若N(H)为双边序列，并x(n)U(n>4->X(z),则 -Ix(n-m)U(n-zn) <-> zmX(z)x(n-m)U(n)

7、 z1" X(z)+ 工x(“)z "m-1x(n+m)l/(n+m)oz+mX(z) g + m)i/(«)<-> zT X-艺“舁)厂Z x(n +1) = zX (z ) - zx(0)I；RG + 2) = z2X (z)-z2x(0)-zx(l)Zx(n -1) = z-1 X(z)+ x(-1)zx(n 2) = z_2Ar(z)H-z,x(1)+ x( 2)注意：对于因果序死VO时，X(72)=O,贝UZx(n-m)w(/t) = z /wX(z)而左移位序列的单边z变换不变.113、乙域尺度变换性： 若 f(n) <-> F

8、(z),a“f (n)oF(±)tt/(«)=3/,*,h(h+ 1),求/*(n)的双边Z变换及其收敛域。/；(«)解：令£(/0=3"“心+1),贝ijf 5)=3vlz|<8根据时域乘"性质,得F(z) = ZU丄)/,(/)=尺(2?)=(2z)2 _ 4z22 乙一 3 2 乙一 3<1 Z l< oo2 124、时域卷积定理：i 若 /100<片(z)R" V Z<Rr2f3 -巧© <z< Ry2则,/| («)* f2(H)<_> 件&

9、amp; max(d,心)v |z| v min(Rx29 Rr2) 注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛 域可能扩大.例 x(n) = az,w(n), h(n) = bnu(n y(n) = x(")讪(舁)的z变换。X(z) =H(z) =z > byg心出曲心)5、Z域微分性例：求下列序列的z变换.nanU (/?)=>(z-d)1) f(n)=(宛 + l)t/(/O2) f(n) = (n + 1)U( +1)6x Z域积分性Z城积分性证明人儿”=_s=f E fwx-iydx= £/5)严3么n=co/j=<ao6-(n+m

10、)=,S/(n)o-/t/(n) <-» n + m时城反转若f(n)<F(z),a<|z|<p,则例已)=2H1u(-n-l),求/S)的双边Z变换F(z) 解 2nu(n)z 2根据时域反转性质|z12 一 S(小 o =z一 一21 2根据位移性质，则有-#A<.F(z) = Z2 +l)u(-(n +1)zl2zW<2178.部分和«f(n)F(z),a<|z|<p,则兰(川)=Y(z)-F(z) maxa,l v|z| v (3例：解已知/(小=“"£“(1),求/(n)的双边Z变换尸(z)E=l

11、”nH(/n 1) ="("? 1)m=lm=sw(n 1) o = lzl>lZ-1Z根据部分和性质，则£"(？一 1)= £0 三 吾m=lrw=-o丄丿由尺度变换性质，序列乘/得F(J=歼(乙/°)=(Z /“ 一 1 ) (Z d)I ? 1>1 Q I179.初值定理n<N(N为整数)时.f(n)=0,并且/ (,?) FTzla<lz|<oo/(N) = lim zNF(z)Z>CO10.终值定理f(n)为右序列(因果序列).且f(n)TF(z)则于(8)= Hm -_- F(z)Jfq

12、册极点、小于1；若F(z)极点在单位圆上，则只含n=:l的一阶 极魚.#已知洸+ 7 '求"（叭X（1）x（）= lim x（z）=（）ZTS例 2= f(z) = _L_z-az> a求 f（o）, f（i）, f（oo）0解： /(O) = liin F(z) = lZTS/(l) = HmzF(z)-(0) = 6/7 17 17/(c) = lim - F(z) = lim -=E ZI Z Z-d01不存在a<l a = I a > I191 + - x(i)= lim 乙【x(乙)-”()=limf宀 1 + 0.5+ 10.3Z逆变换F(z)=

13、 £"站"g-6条件:£|门站"|<8/*(”) =丄f F尹血2比方法：1幕级数展开法2部分分式展开法3.围线积分法一留数法#一奉縛数展开法=£于（小广"=./（2）才+/（-i）z*+f（o）z°+r（i）z-'+于（2）广$+.n»-«0是一个刁的慕级数，级数的系数就是序列f（k）.例 X F(z) = e_fl/Zx .1 2 I 3 e = 1 + x x + x d2!3!z 2! z3!' z") = ,(*(S（一。）”2!3!nn>n1 n

14、 = 0F(z) = 1 4-(-) + (-)2 + 丄(-)3 +#Z变换式一般是n的有理函数，可直接用长除法进行反变换右序列】将Fd）以乙的降帝排列然后进行长除运算。左序列：将以z的升壽排列.然后进行长除运算。1 =-nU(-n-)#二.部分分式展开法基本形式:Z尸(刃=竺有理真分武D(z)aHu(n) z > aalu(n 1)部分方式求逆Z变换步骤:1) F(z)->F(z)/z(M分式八2) F(z)/z»行部分分式展开：#nau(n) na"'u(n I) |3) 求部分分式中的系数；4) 部分分式型F(z)/z-> F(z)；(乙鳥

15、尸宀 去心T)R心一 2)5)利用基本形式进行逆变换,求 W(n).#|* F(Z)=( J 冷丁, |列>1求/*(”)。殳f二1 n严 z z(z-l)2z-1(z-l)2 Z#- fW = U(n) + nU(n) + rf(n) = (/? l)t7(n)+Z>(/i)#z Vp/(5o(zlxz 2)F(z) z 2z + z1 z2S3 H IU(S+2(2U3 丄 2(2弋 11K7S 車3;(z) H 一VL 逆 3。(z 】)骗“为N) 2 A B 1、2 1、2 _i I ii I N (zxz + 一) (z 1) (z + 一) z 1 z + 】F(zJ-

16、ln+-外S3"生+IDW3252 11) _d V 3 f3 H 65r§)+a(3r§)2 -2) -N-A 05 r(s? 53 + (05)ln ID I (3)£(l、 11)7 -3) 05A-t3 j(=)HI6(n)l(05g(=) I(3rAll)三.(Ml积分法(留数法)/（n） = -f F（乙）严直2刃*/（R） =Rc$F（z）zZfi29对于右序列.在F(z)z "1的收敛域内.选择一条包围坐标原点的逆时针方向的田线G F(z)z 的全部极点都在积分路线的内部田线积分等于围线 C内所有极点的留数之和。单阶极点:ReF

17、（z）z”-=C-zF z"重极点:Re奶严"=右眦#对于左序列.在F(z)z "1收敛域内选围线G 求C外所有极点的留数之和。281?(右序列)例氛 22（z + ）（z_2）（z-3）国 >3,求/（心 占 g二（A2E 崗 > 3n=0:F（z） z nd极点有4个：p）=0, p2=-l> p3=2> p4=3 各极点的留数为r/f讥.广”吋空可l圈（诃1討芥爲L=2 =-2Reyr（z）z_, =（Z+I） r： Rcaf（z）z ' 二 -J Z（Z+lXz-2）（"3）丄 1Lz（"1Xz-2）L=

18、-1i Z（o） = o#z|>3(右序列n>0:F(z) z "J极点有3个:p1=-l, p2=2, p3=3 各极点的留数为=U + 1)'(T4-1)(z-2Xz-3)RcF(z)z""L.=(7-2)' (z + l)(z 2)(z 3)=-4(2)”tz-2ReF(z)z”".貯(Z-3)-(z + 1)(；-2)(z-3) JL=3(3)n'I2zn' /(n) = (-ir，-4(2rI +3(3)门“1)30例2:ReF(z)Re峡) =討日身f(»E，|心,求/(“)。n=0: F

19、(z) z 极点有三个：Pj=0, P= p2=l<>各极点的留数为 /(o)= 1+(-1) = 0(2)n>0: F啲极点有2个：P1= p2=l其留数为Re $皿)严 L = I" (Z -，)2 詁7 严=” -13110.4离散系统Z域分析应用Z变换求解差分方程*输入响珀火)-1)+a()yS-N) = 01)对差分方程进行Z变换(用移序性质)：乐丫 + %£"+ y(-1)z + 胪川丫 + X W)广 1 =()lN-1N7Bn+%¥» + + a()z八)丫=-即.(-1)4。尹 £ y(i)z/=-

20、/v2) 由Z域方程求出响应:f=-N一°(-1)qz"工 y(0z_,r(z) =aN +%_忆一"+*3) 求反变换，得差分方程时域解.*)=，(")例：已知某线性时不变系统数学模型如下：y( n )-5y( n-1 )+6y( n-2 )=0 始状态y(-D=4, y(-2)=h求零输入响应y(n).:对差分方程进行Z变换(用移序性质)；T)-5z'lY (z)+y(-l)z+6“y +y(-l)z+y(-2)才=0 20-24J-6 二 14z?-24z=1-5£+6z-2 = F-5Z+6y()= 18(3)"-4(

21、2)"n>-22.尊状态响应7城求解：aNy(n)+aN_xy(n 一 1) + + aQy(n-N) = bMf(n) + +V(/i 一 M)(aN +%忆 1 + + cz()z ' )Y(z)=(编 + + 加")F(z) 如+%z"_/v33例1:某线性时不变系统数学模型如下：y(n)5y(nl)+6y(n2)=f(n),且 n)=0, f(n)=4nU(n)求y(n)Y(z)-5z_1 Y(z)-f6 z-2 Y(z)=F(z)/(?) =(-5z l +6z'2 v -5z + 6 z-4 z-2 z-3 z-4 yS) =2(2)“ 一 9(3)“ +8(4)Mt/(n)例2：已矢|(农)=4)"【心)，f(n)