第17讲力矩转动平衡问题

1、第仃讲 力矩转动平衡问题1力臂：从转轴到力的作用线的F垂直距离.2力矩：力F与力臂上的乘积即 M=FL，力矩的单位是 N m3. 作用：反映力对物体的转动效果，是使物体的转动状态发生改变的原因.4力矩的平衡：有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩和等于零即刀M=0或刀M逆=刀M顺。5 力矩的计算方法力对某转动轴的力矩，顺时针方向，规定为负力矩；逆时针方向，规定为正力矩.当力与转轴平行时，力对该轴没有力矩，当力与转动轴成任意角度时，力对这一转动轴的力 矩，可将力分解为与轴平行和垂直的两个分力，垂直于轴的分力对轴的力矩也就是该力的 力矩.6 .有固定转动轴物体受力分析的要点：首先认准转动轴，只分析作用

2、线不通过转动轴的力，因作用线过转动轴的力的力矩为零，对物体的转动不产生影响作受力分析图时，力的作用点、作用线不能随意移动，这与用共点力的平衡研究问题时的受力分析图有一定区别， 共点力平衡问题讨论的是物体的平动问题，可以把物体视为质点看待，画受力图强调的是 方向问题，作用力的作用点，作用线不作要求力矩的平衡问题讨论的是转动问题，物体 不可以视为质点，则力的作用点，作用线要求准确，不能在物体上随意移动.7.般物体的平衡对一般物体来说，其平衡条件必是满足刀F=0,对任意轴的力矩有刀 M=0 .&利用力矩平衡条件解题的一般程序是：（1）确定研究对象，即明确要研究哪一个物体的转动趋势.（2）确定

3、转动轴.转动平衡物体的转轴理论可任意选择， 选轴的一般原则：使未知力尽可能多地通过轴， 以减少方程数.（3） 对研究对象进行受力分析，并作出受力示意图.（4）根据受力分析，确定每一个力对转动轴的力臂.（5）计算每一个力对转动轴的力矩，并确定各个力矩的正、负号.（6）根据力矩平衡列方程.必要时要根据题给条件列出辅助方程.（7）求解方程，并对所求结果进行必要的讨论，（一）力矩概念的考查1.如图所示，直杆 OA可绕0点转动，图中虚线与杆平行，杆端 的作用，力的作用线跟 0A杆在同一竖直面内， 它们对转轴0的力距 分别是Mi、M2，则力矩间的大小关系是（）.A. Mi> M 2B. Mi= M2

4、C. Mi< M2D.无法推断2. 如图所示直杆 0A可绕0点转动，图中虚线与杆平行，杆端 A点受四个力Fi、F2、F3、 F4的作用，图中力矢量的长短表示力的大小， 力的作用线跟 0A杆在同一平面内，它们对转A F.轴0的力矩分别为Mi、M2、M3.M4，则力矩间的大小关系为 (A . M i= M 2= M 3= M 4B . M2> M i= M 3> M 4C. Mi> M 2> M 3> M 4；D . M 2> M i> M 4> M3i3. 质量分布均匀，边长为 a的正方体，重力为 G.在与水平成 a=45°角的 力

5、F作用下将绕边棱 M翻转，此时正方体共受 4个力作用，如图1 117 所示，请说明各个力的力矩大小.4如图所示，重为 G的均匀立方体 A端支在竖直墙的凸处，C端被一轻绳固定，绳的另一端固定在竖直墙上。已知绳子与BC边（水平）成a角，求绳上张力。5.如图所示，把长为 0.1m的直棒的O端用铰链连在天花板上，在另一端施加10N的水平拉力F,使棒偏离竖直方向0= 60°而保持静止，求力 F的力矩.BA（二）力矩平衡条件的考查1如图所示，质量为 m的匀质木杆，上端可绕固定轴 板置于光滑的水平地面上，静止时杆与竖直方向的夹角为=0.5 .今用水平力F匀速拉动木板，则A .向右匀速拉动木板时，F

6、= mg/6B .向右匀速拉动木板时，F= mg/4C .向左匀速拉动木板时，F= mg/2O自由转动，下端搁在木板上，木45°,D .向左匀速拉动木板时，F= mg/82.如图所示是一种手控制动器,a是一个转动着的轮子,b是摩擦制动片，c是杠杆，O2是固定转动轴，手在 A点施加一个作用力 F时，b将压紧轮子，使轮子制动, 动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是A .轮a逆时针转动时，所需的力 F较小B .轮a顺时针转动，所需的力 F较小C .无论a逆逆时针转动还是顺时针转动，所需的力F相同D .无法比较F的大小3如图所示，质量为 ml的光滑球，置于竖直墙和倾斜木板ab之间，木板的

7、质量不计，a端固定在墙壁的转轴上， b端受一竖直向上的力 F作用，今保持F的方向不变，而让 b端缓慢下降至木板水平，在这一过程中，下列说法正确的是A F变大，其力矩不变B F变大，其力矩也变大C F不变，其力矩也不变D F变小，其力矩也变小4.如图所示，BO是一根质量均匀的横梁，重量 Gi=80N , BO的一端安在 O点，可绕通过 B点且垂直于纸面的轴转动，另一端用钢绳 AO拉着。横 梁保持水平，与钢绳的夹角0 =30°。在横梁的 0点挂一个重物，重量G2=240N。钢绳对横梁的拉力 Fi=5个质量为 m、半径为R的金属球上固定一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙连接，球下边

8、垫有一块木板，木板放在光滑的水平地面上，此时细杆恰好水平。如图所示，球与木板之间的动摩擦因数为卩，现将木板向右匀速拉出，则作用在木板上的水平拉力F =6如图所示，质量不计的杆 一凸起物搁在OiB的中点， 杆便组合成一根长杆，今在OiB和02A，长度均为1, 0i和02为光滑固定转轴,B处用绳系在O2A的中点，此时两短OiB杆有C点（C为AB的中点）悬挂一 岚 帀A处有重为C的物体.则A处受到的支承力大小为 , B处绳的拉力大小为7如图所示，重 30N的物体放在倾角为 30o的光滑斜面上一根重 24N的均匀直棒 AB 水平放置，A端用光滑铰链固定于竖直墙上， B端搁在物体上，若用平行斜面上的推力

9、 F =20N推物体，使物体匀速向上运动，求棒与物体之间的动摩擦因数.&如图所示，将重为 mg的均匀木杆AB，一端用光滑铰链固定于墙上，另一端搁在一个 表面光滑、半径为 R、重Mg的半圆柱形物体上，此时杆 AB处于水平，杆 AB与地面的高度为h = h/2，且都静止不动，则地面对半圆柱体的静摩擦力大小为多少3#k k#9图中是用电动砂轮打磨工件的装置，砂轮的转轴过图中 0点垂直于纸面，AB是一长度1=0.60 m，质量mi=0.50 kg的均匀刚性细杆，可绕过 A端的固定轴在竖直面（图中纸面）内 无摩擦地转动工件 C固定在AB杆上，其质量m2=1.5kg,工件的重心、工件与砂轮的接 触

10、点P以及O点都在过AB中点的竖直线上.P到AB杆的垂直距离d=0.10m AB杆始终 处于水平位置砂轮与工件之间的动摩擦因数卩=0.60.（1）当砂轮静止时，要使工件对砂轮的压力F0=100N，则施于B端竖直向下的力 Fb应是多大？（2）当砂轮逆时针转动时，要使工件对砂轮的压力仍为 的力Fb'应是多大？F0=100N ,则施于B端竖直向下（三）力矩平衡中极值问题和临界问题1.如图所示，A、B是两块相同的均匀长方形砖块，长为I，叠放在一起，A砖相对B砖右端伸出1/4的长度, 的端面与桌边平行，为保持两砖都不翻倒，最大值是（）A. l/8B. l/4C. 3l/8D. l/2B砖放在水平桌

11、面上，砖B砖伸出桌边的长度 x的2.如图所示，一个质量 m = 50kg的均匀圆柱体放在台阶旁边，圆柱体 的半径为R，台阶高h是R的一半，圆柱体与台阶接触处摩擦力足够大, 现在图中 A点施加一力使圆柱体滚上台阶，则施加的力最小值为 N .3.如图所示，质量为 m的运动员站在质量为 m的均匀长板 AB的中点，板位于水平地面上，可绕通过 A点的水平轴无摩擦转动，板的B端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运动员的手中，当运动员用力拉绳子时， 滑轮的两侧的绳子都保持在竖直方向上，则要使板的B端离开地面，运动员作用于绳的最小拉力是 54. 如图所示，“L”形支架可绕固定轴 C转动，AC=2 ,

12、3R, BC=2R，其中R为球0的半径，悬绳长也为 R,球重100N;为使支架BC保持水平，需在 BC段施一作用力F,试求 力F的最小值：6#5如图所示，某杆 A 一端与固定顶部铰链连接，另一端放在物块B上，现给B施一水平力F欲使之向左运动，杆与竖直方向夹角满足何种条件才可行？（杆与物块间动摩擦因数为#6如图所示，放在水平面上半径为r的光滑圆柱体轴水平固定，将一根长为L、重为G的均匀杆AB垂直于圆柱体的轴线斜靠在圆柱体上.如果杆与水平面的夹角为0时，AB刚好不发生滑动，则这时地面对杆的摩擦力是多大#7.两根均匀的直短棒 AB、CD都可绕其固定光滑转轴在竖直平面内转动， AB棒放在CD 棒的上面

13、且两棒互成直角，如图所示. AB棒与地面成0角，AB棒质量为M, CD棒质量为m,如果两棒均处于平衡，则两棒间动摩擦因数至少应为多少8 如图是一台起重机的示意图，机身和平衡体的重量Gi=4.2 M0 N，起重臂的重量G2=2.0 M04N。其他数量如图中所示。起重机最多能提起多重的货物9. 质量m=2.0kg的小铁块静止于水平导轨 AB，的A端，导轨及支架 ABCD形状及尺寸 如图它只能绕通过支架 D点的垂直于纸面的水平轴转动，其重心在图中的0点，质量M=4.0kg，现用一细绳沿导轨拉铁块，拉力F=12N，铁块和导轨之间的动摩擦因数卩=0.5,重力加速度g=10m/s2 从铁块运动时起，导轨(

14、及支架)能保持静止的最长时间是多少？0.710如图所示，光滑斜面的底端a与一块质量均匀、水平放置的平板光滑相接，平板长为2L , L=1m，其中心C固定在高为 R的竖直支架上，R=1m，支架的下端与垂直于纸面的 固定转轴0连接，因此平板可绕转轴0沿顺时针方向翻转问：(1) 在斜面上离平板高度为ho处放置一滑块 A ;使其由静止滑下，滑块与平板间的动摩擦因数卩=0.2，为使平板不翻转，ho最大为多少？(2) 如果斜面上的滑块离平板的高度为h1=0.45m，并在h1处先后由静止释放两块质量相同的滑块A、B ,时间间隔为 t=0.2s,则B滑块滑上平板后多少时间平板恰好翻转.(重力加速度g取10m/

15、s2)11有三个质量相等、半径均为r的圆柱体，置于一块圆弧曲面上，为了使下面两个圆柱体不分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？整个装置如图所示，所有摩擦均不计。12两个半径为r、重为G的相同的光滑球放在圆柱形筒内，圆筒半径为R，且R<2r，若圆柱形筒无底，筒重为何值时，筒才不会翻倒 ？（四）天平和杆秤问题1. 如图所示杆秤，0点处为提纽，B点处为秤钩，秤钩和秤杆的重力为 Go, C点处为其 重心，秤砣重力为 Gi.当秤钩上不挂重物时，秤砣放在 A点处，杆秤水平平衡. A点是刻度的起点，称为定盘星试分析杆秤的工作原理.9#乙屮2有一没有游码的托盘天平，其最小砝码质量为100mg.用该天平称量

16、某物体，当右盘中加36.20g砝码时，天平指针向左偏1.0格，如图中实线所示.若在右盘中再加100mg的砝码，天平指针则向右偏1.5格，如图中虚线所示试求待测物的质量.3如图所示杆秤有甲、乙两个提纽.；使用甲提纽时最大称量为 质量为1kg, OA=6cm , OB=4cm，问改用乙提纽时最大称量为多大#4.天平的横梁（连同指针）是一个有固定转动轴的物体，转动轴过中央刀口O且与纸面垂直。横梁的自重为G,重心C在指针上离转动轴 O为h的地方，天平两个盘中物体的质量 相等时，作用在横梁两端的力 F相等，横梁平衡，指针指在标尺的中央，即指针停在竖直 方向。天平两盘中物体的质量稍有不等时，横梁就要倾斜，

17、指针随着就要偏移到较轻的一 方，自重G对转动轴O的力矩将阻止横梁的倾斜，最后横梁在某一倾斜的位置上达到平 衡。设指针与竖直方向成0角时横梁平衡，可以证明：tg 0 =L（F 1 F2）/Gh=gL（m 厂 m2）/Gh试应用有固定转动轴物体的平衡条件证明上式5 有人设计了一种新型伸缩拉杆秤，结构如图，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在位置（设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置），秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。空载（挂钩上不挂物体，且套筒未拉出）时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡.当物体挂在挂钩上时，往 外移动内外套筒可使杆秤

18、平衡，从内外套筒左端的位置可以读得两个读数，将这两个读数 相加，即可得到待测物体的质量已知秤杆和两个套筒的长度均为16cm，套筒可移出的最大距离为15cm，秤纽到挂钩的距离为2cm，两个套筒的质量均为 0.1kg .取重力加速度g=IOm/s2.求：（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩；（2）当在秤钩上挂一物体时， 将内套筒向右移动 5cm，外套筒相对内套筒向右移动8cm,杆秤达到平衡，物体的质量多大？（3）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为I千克处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量多大10#（五）用力矩平衡条件求解共点力的平衡问题（含虚拟刚体

19、法的应用）对于转动平衡的问题中，如果研究所受的力为共点力，我们可以将转动问题转化为共 点力平衡问题，用共点力平衡的方法求解利用力矩平衡条件求共点力平衡时，应注意巧 选转动轴，具体是：尽可能使较多的力通过转动轴；使较难分析求解的力通过转动轴；同一直线上等大反向的两个力对任何转动轴的合力矩为零，故列力矩平衡关系时可以不 考虑这样的个力.1.如下图所示，粗细均匀的木棒斜浮于水中，一端悬挂重为G而体积可以不计的小铁球，另一端露出水面，其长度为棒长的1/n.求木棒的质量是多少 ？S112. 如图所示，在竖直固定的光滑圆环上，套着质量为M和m的小球A和B,并用细线连接在一起.当两球平衡时，细线对圆心(0)

20、的张角为a求细线与竖直方向的夹角B是多大？3.如图所示，质量为 3 kg的A球和质量为3 kg的B球，被轻质细线连接后，挂在光滑的圆柱面上恰好处于静状态，已知/A0B = 90°,求OB与竖直方向的夹角.4如图所示，A球和B球用轻绳连接并静止在光滑圆柱面上。若 的质量为m,则B球的质量为()。A. 3m/4 B. 2m/3 C. 3m/5 D. m/25.如图所示，两个质量分别为mi、m2,带电量分别为 qi、q2的金属小球，用两根等长的绝缘轻绳悬挂于同一点0。平衡时，轻绳与竖直方向夹角分别为a 则()。tan.工 m1 tan ： m2tan 口m2sinceB. C. ltan I；-”m1sin -m1m2sin : m26如图所示，两个质量分别为 绳悬挂于同一点O。平衡时,mi、m2,带电量分别为两球恰好位于同一水平面上。A球qi、q2的金属小球，用两根绝缘轻轻绳与竖直方向夹角分别为a12#tan.其 _m1t