一道课本立体几何题引发的思考

1、一道课本立体几何题引发的思考丰县华山中学 王永青85683561为什么有些学生花了很多时间，做了大量题目，就是不得解题的要领呢？缺少对解题过程的反思是其中一个非常重要的原因，数学解题过程分以下几个步骤：审题探索表达反思；反思是解题过程的深层次的思考；是进一步深化，整理和提高的过程，是进一步开发解题的智力价值过程；也是再发现和再创造的过程。下面从课本一道立几题的反思入手来分析和解答此题。倒1：P、A、B、C是球O的面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，求球O的体积和表面积。（课本P73，例2）图1 图2具体解法见课本例题解答反思：仔细研究此图形，不难发现这三条互相垂直的

2、线可以看作是某个正方体的一个顶点出发的三条棱，如果能看到这一点的话，我们可以利用补形的方法来完成此题的解答过程，把它补成球的内切正方体，而球的内切正方体的体对角线必过球心，这样就很容易地求出球的直经，从而求出球的体积V=和表面积S=3。由此可见在立几中，正、长方体是立几中的重要模型，教学积累使我们感到有不少的数学问题通过构建正、长方体，可使复杂的问题简单化，抽象问题直观化，实施问题的有效转换，使问题的解决变的简捷易行。此为课本立几中的一例题，在此题中我们感受到立几中的基本图形的重要性，同时要对基本图形有一个比较深刻的了解，能感受到它的内部结构，这样就可用补形的方法来完成解题的过程。变式1：P、

3、A、B、C是球O的面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，求球O的体积和表面积。(构建球内接长方体可解)变式2：已知球面上的四点O、A、B、C满足OA、OB、OC两两垂直，且球面上一点P，到OA、OB、OC的距离分别为3、4、5，求球的直径。例2：一个正方体如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD，则截得到的正三棱锥的体积是正方体体积的几分之几。分析：此题如果直接去做的话，既要做图，又要经过繁琐的计算，真的是有点处复杂，但我们会发现截去的四个小的三棱锥的体积非常好求，同时正方体的体积是已知的，所以此题可设正方体的棱长为a，则四个截去的三棱锥的体积是一样

4、的大小，且等于正方体体积的六分之一，则截去的体积为正方体积的三分之二，则剩下的体积为正方体的体积的三分之一。变式：一正四面体的棱长都等于a，求此四面体的体积。（图1） 图1 图2分析：大部分同学都是用从一个顶点向底面作垂线，求出正四面体的高，再求出正四面体的底面积，然后再求出正四面体的体积。反思：正四面体和正方体有着必然的联系，我们可以研究正方体，（图2）如果连接正方体的六个面的一条对角线，可以发现此六条对角线的连线恰好构成一个正四面体，此四面体的棱长是正方体棱长的倍，这样可以用正方体的体积减去四个三棱锥的体积，就可以求出此正四面体的体积，此法的计算量不大，而且需要的数据都是已知的。变式：球的

5、内接正四面体的棱长为a，求此球的体积和表面积。（可以把正四面体补成一个正方体，则此四面体可以看作是正方体的六个面的对角线组成，正四面体的棱长等于正方体的边长的倍，面球的直经是正方体的对角线，所以球的体积和表面积即可求）利用补形的方法可以很容易地求出一个比较复杂的立体几何题，上面几个例子充分说明了这一点，但我们利用补形的方法也可以去求二面角和异面直线方面的问题。例3：过正方形ABCD的顶点A作PA面AC，设PA=PB，求平面PAB和面PAC所成二面角的大小。分析：将原图补为正方体 ，显然所求二面角为侧面PQBA与对角面PQCD所成角，帮二面角为45°。（此题还可以用cos=来求解；其中

6、是面PCD在面PAB上的射影响面积，s是面PCD的面积）反思：我们做几何题时一定要对基本图形有很好的了解，能把它们之间的内在关系弄好，弄懂，这对我们解决几何问题来说是比较有利的，由此我们可以看到，数学有联系紧密的知识结构，数学知识本身就是一个创生和发展的过程，诸多数学家的发明和创造本身就是一本“活生生”的教科书。数学可以提供学生发现的方法和思维的策略，能够给学生以智慧和力量，学生就有可能实现数学知识的“再创造”。因此，在数学学习中，学生进行的探究性学习和再创造，长此以往，学生在学习中就自然而然地就能进行再创造和发现的奇迹，对于学生的学习兴趣有非常大的影响。例4：设a、b是空间的两直线，它们在平

7、面上的射影是两条相交直线，它们在平面上的射影是两条平行直线，它们在平面上的射影是一条直线外一点，则这样的平面有多少个？ 分析：构造长方体 ，如图所示：取为a，为b，面为ABCD为， 为，故与平行的平面都满足题意，故有无数个。上述的这些例子说明，在解决某些几何问题时，若能充分应用割补法，利用具体对象的特征，往往能找到超乎常规的巧妙解法，这对激发学生兴趣，培养学生的创造性思维，促进素质教育的实施大有益处，同时课本既是教师教学之本，又是学生学习之本，教师对课本上的例题，习题及概念不能仅限于让学生做完，老师讲完，而应适时引导学生及时进行类比反思，多角度思维，逆向思维创造性思维等，真正让学生成为课本的奴隶，做题的工具，同时又不能鄙弃教材，甚至丢在一边，同时变式练习是数学课堂教学之法宝，但同时要顺其自然，追求自然的变式。所以，在解决问题的过程中，要用策略性知来监控自己的解