从弗雷格到新弗雷格

1、从弗雷格到新弗雷格    本文试图描述一个简略的纲目，显示弗雷格的逻辑主义纲领，如何引出当今的一些新弗雷格主义的方案。这个过程或可说明，弗雷格原初的工作虽然不成功，但其中包含的几乎每种深刻思想，都具有顽强的生命力。一、弗雷格主义概要弗雷格的逻辑主义纲领的目的，是要表明算术真理可以从逻辑真理推导出来，因而算术是分析的。这秉承了莱布尼茨的观点，而直接与康德相对。这个纲领的哲学基础，是弗雷格的概念实在论，或曰某种形式的柏拉图主义(概念是客观的、独立存在的，概念的外延是对象，等等)。在这个基础之上，弗雷格建立了关于概念及其外延的一些基本原则，由此定义了自然数，并

2、推出了算术理论。这项工作，主要在他的算术基础和算术的基本定律中实施，前者主要是直观的表述和论证，后者是前者的形式处理。为方便叙述下面几种新弗雷格思想的来龙去脉，我们把整个工作看成两大块的合成：一块是关于概念外延的哲学理论；一块是从外延理论中定义算术概念及推导算术公理的数学过程。将两块联合为一种逻辑主义主张的，是弗雷格的逻辑观：外延理论是逻辑，因此，第二块的定义及推导实现了逻辑主义纲领。基本原则我们大致叙述一下这两大块的要点：第一，外延理论的核心是如下几个原则以及数的显定义。概括原则：每个谓词(x)都表达一个概念。外延存在原则：每个概念F都有外延exF。概括原则(1)保证了概念存在，(2)则对每

3、个概念赋予外延。直观上看，一个概念，如“是人”，是一种特殊类型的函数，“输入”一个对象，则得到一个命题，它非真即假，因此“输出”的是真值(真或假)。比如对“是人”输入“弗雷格”，得到真。概念的外延是所有使得输出为真的那些输入的对象组成的类(如x：x是人)。弗雷格区别了概念和对象，在这种区别之下，外延是对象。但外延存在原则本身并没有确定上述外延的直观含义。为了刻画这个含义，弗雷格引进了另一个重要原则：概念F与G的外延相等，当且仅当，落入F之下的，都落入G之下，反之亦然。这在算术的基本定律中，明确体现于“基本定律V”中：基本定律V：对于任意概念F和G，exF=exG，当且仅当，FG。其中ex是从概

4、念到外延的映射。右边的“FG”读作：“对任意的x(Fx当且仅当Gx)”，如果把这理解为概念F与G(作为函数)同一，那么，这个原则说的就是：ex是从概念到对象中的一一映射，或者说，ex把每个概念与其外延一一对应起来。或许可以说，基本定律V试图以一种“隐定义”的方式，确定外延的意义。但是，弗雷格并不把这个原则看作外延的定义，因为他认为这种“隐定义”存在严重的困难(见后面第3节的讨论)。因此，这条原则只被当作一条关于外延的公理，而外延到底为何，弗雷格诉诸人们的直观了解。算术基础已经隐含地包含了这三个原则。在这个基础上，弗雷格着手定义了数。他把一个概念F的数#F理解为“与F等数”这个概念的外延，其中“

5、概念G与概念F等数”，记为FG，意味着“是F的东西”与“是G的东西”之间有一一对应这可以在二阶逻辑中显定义。根据这个定义，一个数就是某个(二阶)概念的外延，因此是对象。第二，弗雷格从数的定义与外延理论的原则(主要是基本定律V)推导出下面所谓的“休谟原则”：对于概念F和G，#F=#G，当且仅当，FG。其中#是一个从概念到数(对象)的映射。从右到左的蕴涵说明：相互等数的概念对应于同一个数(由于有不同的概念相互等数，所以，#不是一一映射)。从左到右的蕴涵说明：不等数的概念，对应于不同的数。既然我们能够从空概念出发，逐渐得到越来越大的互不等数的概念，直至无穷，那么，从直观上看，利用HP就能够证明存在无

6、穷多的自然数，而这是发展自然数理论的关键。实际上，弗雷格从HP出发，确定了0、1等自然数及其后继关系等，推出了Dedekind-Peano公理(二阶算术理论)的某种等价形式，因此完成了第二块的推导。后来的发现表明，第二块的全部数学内容，都包含于HP(加上弗雷格先前建立的逻辑)之中，那么弗雷格为什么不以HP为起点，直接推导算术？HP与基本定律V具有相同的形式：二者都是等值式，左边是关于对象的等式，右边是概念间的某种等价关系。既然弗雷格不把基本定律V看作外延的定义，他也不能把HP看作数的定义，而直接从此出发来推导算术。因此，仅仅出于这个原因，他也需要往前追溯一步，先建立外延理论，再从中显定义数，并

7、推导HP。罗素悖论不幸的是，弗雷格的外延理论(1)(3)蕴涵罗素悖论，因此是不一致的。从(1)(3)推导罗素悖论的思路如下：首先，我们有谓词Fx)(x是某概念F的外延，并且x不落入F之下)。其次，根据概括原则(1)，存在这个谓词表达的概念R。再由外延存在原则(2)，有R的外延exR。但是，从基本定律V可推：exR落入R之下，当且仅当exR不落入R之下。矛盾。罗素悖论发现后，弗雷格心情沉痛，但坦然承认失误。他虽然考虑过几种修正方案，但基本上放弃了他的纲领。当时人们也普遍以为，逻辑主义的弗雷格形式已经失败，弗雷格主义已经成为历史。二、弗雷格研究中的发现从上世纪60年代开始，学者们逐渐恢复了对弗雷格

8、纲领的兴趣，着手探讨其中的细节问题。这主要是由于弗雷格工作的清晰性与严格性，远非前人(包括康德)可比，它即使在整体上不成功，也在一些哲学要点上加深了我们对算术的基本概念的理解(见Parsons 1965)。这项研究中最重要的结果是发现弗雷格理论中的矛盾可以局部化，而排除局部的矛盾也许可以在某种意义上恢复弗雷格纲领。这个结果，从技术角度讲，主要归功于“弗雷格定理”的重新发现，其过程大体如下：首先注意到，弗雷格推出了HP之后，在推导算术的过程中就不再使用数的显定义、基本定律V以及外延概念，这说明算术理论可以单从HP发展出来，而不需使用其他的外延原则。Wright 1983构造了一个系统，其中的逻辑

9、是弗雷格概念文字中的二阶逻辑，而唯一的公理是HP的某种形式。Wright在这个系统中，推导了Dedekind-Peano公理。这进一步表明，算术理论的推导，只需HP和二阶逻辑，而不依赖于弗雷格的外延理论。在这个意义上，上述弗雷格纲领的“第一块”与“第二块”被初步区别开来：不一致的外延理论可以抛弃，只从HP出发我们(虽然可能另辟途径)就可达到目的。但这首先要保证HP不像外延理论那样蕴涵矛盾。HP是不是一致的？Wright猜想它是。Burgess1984证明了Wright的猜想：HP相对对于二阶逻辑是一致的。George Boolos、Richard Heck等人对这种一致性证明的模型方法又做了概

10、念上的澄清。这样，Wright工作的意义得到加强。通过考察弗雷格本人的工作，George Boolos等发现，Wright的结果已经包含在算术基础中。Boolos 1987描述了一种“弗雷格算术”FA，其基础是二阶逻辑，唯一的(非逻辑)公理规定，：对每个概念F，存在唯一的对象x，使得对任何G，Gx当且仅当FG。如果把Fx理解为x=#F，那么这个公理等价于HP，但它的好处是同时能提供数的显定义，而这是弗雷格所寻求的。(Numbers)直观上表达的就是弗雷格的下述假设：每个概念F都对应于唯一的数#F。Boolos证明(Numbers)是一致的，并认为这是弗雷格实际推导的起点，也是他所需要的全部：算

11、术基础的数学章节里的全部定义和定理，能够按照弗雷格原初的方式，在FA中表达和证明，而无需诉诸外延概念。因此，Boolos把下述命题：在二阶逻辑里蕴涵Dedekind-Peano公理称作弗雷格定理。这完全区别了弗雷格纲领的两块：弗雷格其实不需要外延和基本定律V，他只要从HP出发(不需另辟蹊径)就能安全地获得他所要的数学结果。Boolos说，对算术基础而言，悖论所威胁的，是“包含于其中的数学的哲学意义，而不是这部分数学本身。”(Boolos 1987)进一步说明了弗雷格定理如何在算术基本定律的形式系统中得到证明，而无须诉诸外延和基本定律V。经过历史的考察，Boolos和Heck确认，弗雷格自己实际

12、上知道这一点。因此，“弗雷格定理”名副其实。这里我们借助集合的术语简单解释一下，是什么把HP与基本定律V区别开来，使得后者导致罗素悖论，而前者却能免于此厄。如前所说，两个原则涉及的都是从概念域到对象域中的某种映射。给定对象域D，一个概念就对应于对象的某个集合。完整的二阶逻辑(包括完整的概括原则)谈论所有的概念，或者说，D的所有子集，因此，其中的概念域对应于D的幂集P(D)。按照集合论中的Cantor(对角线)定理，不可能有从P(D)到D中的一一映射。因此，也不可能有从概念域到对象域中的一一映射。但是，基本定律V恰恰规定存在这样的一个映射ex，因而导致矛盾。HP则避免了这种承诺，因为它所刻画的映

13、射#，不是一一的，而是允许多个概念(只要它们相互等数)对应于一个对象(数)。这个观察的意义是，弗雷格外延理论中的矛盾，可以进一步局部化。只要调整约束外延的原则，使得它们不产生从概念域到对象域中的一一映射，我们仍然可以希望安全地谈论某种意义上的外延，并由此得到算术。三、新弗雷格主义在以上的技术发现的基础上，学者们提出了一些新弗雷格主义方案，试图在不同的程度上恢复弗雷格的纲领。下面我们通过例子，勾画新弗雷格主义的概貌。需要说明，这里所谓的“新弗雷格主义”，一是对弗雷格原初想法的某种修饰(以避免矛盾)，二要达到弗雷格推导算术的目的，其中既包含逻辑主义方案(新逻辑主义)，又包含非逻辑主义尝试。依照以上

14、对弗雷格纲领的第一和第二块的划分，我们把新弗雷格主义分成三个大的方向：“舍一存二”、“兼取一二”、以及“舍二存一”。舍一存二由于弗雷格定理的发现，舍一存二的策略是非常自然的想法。这个方向的特点是：不假设外延，因此一并去除弗雷格的外延存在原则和基本定律V(但概括原则可留，作为二阶逻辑的一部分)，直接从HP的某个版本出发，在二阶逻辑里推导算术。这个方向的代表，是Bob Hale与Crispin Wright的“苏格兰学派”，这也是当今影响最大的新弗雷格主义。在数学上，他们采取二阶逻辑，加上HP作为系统的唯一(非逻辑)公理。如前所述，这个系统是一致的(如果二阶逻辑是一致的话)。在哲学上，他们认为HP

15、虽然不是一个逻辑命题，但至少是分析命题为了论证这个观点，他们又引入了语境原则和某种关于“抽象化原则”的理论。因此，他们的结论是：算术即使不能归约到逻辑，但可以归约到逻辑加分析命题因此算术是分析的，弗雷格的逻辑主义在这个稍弱的意义上得到恢复。一言以蔽之，苏格兰学派是由二阶逻辑、语境原则以及关于抽象化原则的理论构成的“三位一体”的新逻辑主义。关于它的主要文献是Wright(1983)与Hale and Wright(2001)。我们简单叙述一下它的哲学观点。这个学派认为，HP是分析的，是因为它提供了数的某种隐定义，或者说，它在知识论上具有某种类似定义的地位。这牵涉到如下的问题：数既然不是由知觉或直

16、觉给与我们的，什么样的认知途径才能达及它们？Hale和Wright遵从弗雷格，把这个知识论问题转化为语言哲学问题我们能够认知它们，是因为我们能够通过已经理解的表达来理解和指称它们。在这里他们使用了弗雷格的语境原则：词的意义是在一个命题的语境中确定的。因此，要知道数的意义，只要了解命题“#F=#G”的意义，而HP通过另一个我们已经理解的表达(概念的等数，这在弗雷格看来是纯逻辑的表达)提供了这个意义，由此确定了#F等的指称。我们通过把HP规定为公理，而获得了其中单称词项的意义，而这个意义又使我们看出HP的确为真。HP由词的意义为真，因此是分析的。在形式上是一种“抽象化原则”：这是一种等值式，左边是

17、两个单称词项构成的等式，右边陈述了相关的概念之间有某种等价关系。另一个类似的抽象化原则是弗雷格举的例子：直线a的方向=直线b的方向，当且仅当，a平行于b。与“F的数”的情形相似，单称词项“直线a的方向”不意味着某种知觉或直观给予我们的东西。可是，我们理解右边的“a平行于b”的意义，而这个原则把这种意义赋予了左边的等式，因而解释了我们如何指称“直线a的方向”这种抽象对象。一般而言，(某些)抽象化原则或语境定义赋予或建构了其中单称词项的意义，因此解释了我们如何指称抽象对象。在本体论和知识论上，Hale和Wright认为，抽象化原则的意义建构理论一方面建立了关于抽象对象的柏拉图主义，另一方面也回答了

18、如何指称和认识抽象数学对象的Benacerraf问题。苏格兰学派的哲学大意如此。对于它有不少的疑问与批评，我们下面列出几个典型的问题，并简述这个学派的回答。问题1：HP包含单称词项，因此，说HP为真，需要一个前提：“其中的单称词项有指称”。比如，当我们说“当今的法国国王是国王”为真时，难道不需要先肯定“当今的法国国王存在”吗？所以，“规定”HP为真，预设了数的存在，,HP本身不是分析地为真的。回答：你实际上提出，真正分析的不是HP，而是下面这个温和的原则：如果存在x、y，使得x=#F且y=#G，那么HP。但是，我们如何理解这个前件？“某数=#F”的意义是什么？如果不提供这个等式为真的条件，那么

19、这个原则就无法理解。但HP本身恰恰对这样的等式何时为真提供了一个充分且必要条件。因此，说那些单称数词有指称，恰恰需要HP这样的原则来保证其意义。在这个意义上，我们不需要倒退到，比如说，Boolos(1987)的公理(Numbers)，它先肯定了数的存在，HP反倒是推论。问题2：分析命题不应蕴涵任何对象的存在，但HP蕴涵了无穷多对象(数)的存在，它如何能够是分析的？回答：注意HP蕴涵数的存在的方式。考虑概念“xx”，记它为F。根据逻辑，F与F等数。由HP，我们有#F=#F。再根据逻辑，存在x，x=#F，就是说，数0存在。类似地，我们可以从HP证明数1、2等等存在。所有这些存在命题，都是由HP这个

20、定义加上逻辑推出的。按照传统的分析性标准，分析命题正是从定义与逻辑推出的命题。因此，那些存在命题，都是分析的。所谓“分析命题是存在中立”的观点，应该放弃。问题3(“凯撒问题”)：但是弗雷格最终拒绝承认HP是数的定义。他的理由是，HP只告诉我们“#F=#G”意味着什么，但没有告诉我们“一个对象a=#G”意味着什么，除非a具有一个概念的数的形式。比如，HP不能决定是否凯撒就是“罗马皇帝”这个概念的数。这说明，HP作为定义是不充分的。回答：HP的确没有提供“a=#G”这样的“混合等式”为真的条件。但是，它不必提供这样的同一性标准。在我们的本体论里，所有的对象分属不同的(不相交的)范畴，每个范畴有自己

21、独特的同一性标准，以区别其中的对象。跨范畴的对象不同一，与范畴内的同一性标准无关，而是由于这个简单的事实：它们分属不同的范畴。比如，对于数的同一性标准不同于与对于人的同一性标准，前者是HP这个抽象化原则，后者大概是莱布尼茨原则。因此，数与人分属不同的范畴凯撒不是任何数。(Hale and Wright 2001b)问题4(“良莠不齐”问题)：基本定律V就形式而言，也是一条抽象化原则，但它是矛盾的。因此，抽象化原则或语境定义的形式本身并不保证它是真的。那么，需要添加什么样的标准，才能够区分出正确的抽象原则？回答：一个真正的抽象化原则，当然首先必须是一致的。其次，它也必须是保守的，这就是说，如果把

22、它添加到一个理论N中，那么它不能带来某个涉及N的本体论的结果E，使得E可以在N的语言中表达，而又不能单独从N推出。再次，它应该是适度的把它添加到一个理论中而得到一个一致的理论时，由此产生的关于新理论的本体论的一切后果，都应该能够通过它所引入的抽象对象来辩护。另外，或许还需要增加其他的标准，比如稳定性(它在所有大于某个基数的模型中为真)等等。但是，目前的这些建议似乎都存在这样或那样的问题。总之，这个问题还没有令人完全满意的答案。兼取一二第2节末提到，从技术上说，只要调整弗雷格外延理论中的原则，排除从概念域到对象域中的一一映射，就有希望得到一致的系统。有些新弗雷格尝试，因此寻求一致的新外延理论，在

23、其中HP(的某个版本)成立，因而算术公理也成立。这些尝试，兼取了弗雷格的“一”与“二”。但是，由于其中的新外延原则不尽是逻辑原则(甚至不是分析的)，所以它们不必是新逻辑主义。比如，Boolos(1986)代表了这样一种思路：如果把外延看作集合，那么，弗雷格的外延理论的问题在于承认了一个大全“集合”，即概念V(“x=x”)的外延。ZF集合论避免罗素悖论的策略是“限制大小”，即只把“小”聚合当作集合，所谓小，就是不与V等数(“一样大”)。仿照这个策略，Boolos定义了“小”概念：一个概念F是小的，如果V不与F的一个子概念等数。他然后建立了一个从概念域到对象域的映射*(他把*F称作F的subten

24、sion，以区别于弗雷格的“外延”)，*遵从下面的原则：*F=*G，当且仅当，如果F是小的或G是小的，那么FG。这相当于把基本定律V限制到小概念上：如果F是小的，那么基本定律V成立；因此从小概念域到对象域中有一一映射。但如果F和G都是“大”的，那么由(New V)，*F=*G。大概念有许多(无穷多)，因此映射*在值*V处不是一一的。Boolos证明，(New V)是一致的，而且，算术理论可以由(New V)在二阶逻辑里建立。但是，Boolos并不认为(New V)是分析的，因此也不认为这个理论属于逻辑主义。也试图对基本定律V进行限制。他们定义了一种从概念到对象的外延函数e，但只允许基本定律V适

25、用于那些数概念(即相互等数的概念组成的等价类)。这里的技术想法是，在弗雷格的系统中，要推导HP，并不需要基本定律V的全部内容，而这样限制的形式恰好能推导HP，又不导致从概念到对象的一一映射(外延函数e是一个部分函数)。比如，即使罗素谓词有外延，这个外延也不在限制了的基本定律V的适用范围之内，罗素悖论因此得以避免。但是，对基本定律V的这种技术限制，在哲学上稍显武断：它没有对外延概念提供一个较为清晰的界定，因此难以提供对于自身的辩护。它既然不是分析的，那么整个理论就不是逻辑主义。要恢复关于外延理论的弗雷格意义上的逻辑主义，恐怕要尝试从基本定律V之外的外延原则入手。Heck考虑了这样一种策略：保留基

26、本定律V，但对概括原则进行限制。这是对二阶逻辑进行的限制。Heck的想法，沿袭了罗素避免悖论的直谓主义方案。罗素认为，悖论的根源在于某种恶性循环，即通过总体而定义总体的某个元素。这种定义，称为非直谓的。比如，罗素谓词，但其中的概念变元F却以所有概念为其变域，其中包括R，所以R的定义是非直谓的。按照罗素的想法，定义必须是直谓的：定义中不允许出现其变域包括被定义者的约束变元。既然概念R，是由概括原则得到的，所以，Heck1996尝试将完整的(非直谓)概括原则：证明，直谓二阶逻辑加上HP是一致的。但是，Linnebo 2004证明，这个理论不能推出每个自然数都有后继这个数论公理，因此，它离完整的自然

27、数理论尚远。Heck 200？进一步借鉴罗素的分支类型论，又考虑了分支直谓二阶逻辑，其中的变元有层次之分，概括原则为：，解决了后继存在问题，当前关于它最好的结果是，它能够推出Robinson算术Q以及归纳公理只应用于有界量词公式的算术理论，而这些理论都弱于完整的二阶数论，因此，Heck的分支直谓算术虽然是逻辑主义理论，但未能完全实现了弗雷格的纲领，其中的原因在于，减弱了概括原则，就要相应减弱算术的归纳公理。舍二存一最后的一种新弗雷格方向是舍弃HP(因此舍弃弗雷格定理)，而直接从外延理论发展算术。这个方向的理由是，弗雷格的两大块实际代表了两种纲领：外延主义和逻辑主义。既然矛盾能够通过调整外延理论

28、而得到避免，就没有必要只为了保存逻辑主义而“粗暴地”排斥外延，如Hale和Wright所做的那样。另外，兼顾外延和HP的理论里，Heck那种减弱概括原则的努力，得不到完整的算术，而其他限制基本定律V的方法，难以提供真正的外延理论。因此，把算术重构为一种合适的外延理论，是有价值的尝试。例如，Antonelli and May 2005做了这样一种尝试。首先，他们把一个概念F的数定义为这样一个概念：“x=某个概念G的外延，且FG”，其中的x称为这个数的“见证”。这样，数就是概念，而不是对象。Antonelli和May认为，这符合弗雷格的想法，因为弗雷格设想的数的基本特点是等数概念的等价类，而他之所

29、以把数定义为这样一个概念的外延，是为了降低数的阶，但这并不是必要的。他们定义自然数的方法，也沿用了弗雷格的思路。其次，在弗雷格外延理论的三个原则里，Antonelli和May选择保存完整的概括原则，而减弱外延存在原则，同时尽量保留公理V的完整形式。具体而言，他们的系统是二阶的，其中的特征公理是：完整的概括原则。修正的外延存在原则：只适用于自然数的见证的概念有外延(F只适用于自然数的见证的意思是：如果Fx，则x是某自然数的见证)。相应的基本定律V：如果F和G有外延，那么(二者的外延相等，当且仅当，FG)。公理(2)不保证所有概念都有外延，因此，从概念到对象的外延函数，可以是一个部分函数这避免了引

30、起麻烦的一一映射。(2)与(3)合起来，实际上类似于上面提到的Demopoulos and Bell 1993对基本定律V的限制：从技术上说，它们都是要把基本定律V的适用范围限制到数概念。区别是，第一，Demopoulos和Bell的数仍然是弗雷格式的概念的概念的外延，而Antonelli和May的数是概念的外延的概念。第二，Demopoulos和Bell保留普通的对外延的理解，而直接限制基本定律V，但Antonelli和May则通过对外延存在原则的限制而限制了基本定律V；如果说前者未能提供对外延的适当刻画，那么Antonelli和May认为，他们的系统提供了一种对外延的理解：由于自然数的见证

31、是有穷概念的外延，所以公理(2)大体上说的是有穷外延的概念也有外延。和May证明，这个理论是一致的，并且从中能够建立完整的算术。但是，HP并不是其中定理：可以找到概念F和G，使得F的数=G的数，但F和G不等数。这种反例之所以存在，是由于数在这里是概念，不是对象。HP既然不成立，弗雷格定理所代表的整个“第二块”就被放弃。当然，公理(2)对于概念外延的限定，不是一种逻辑限定，因此，这个理论不属于逻辑主义纲领。Antonelli和May称它为一种非逻辑的外延理论，并认为它是弗雷格的外延主义的一种可能的实现形式。至此我们看到，弗雷格逻辑主义纲领中的所有重要思想，包括外延理论的诸条哲学原则和从HP发展算

32、术的数学技术，都在不同的新弗雷格主义的努力中得到恢复与阐发。这印证了前面提到的看法：弗雷格思想的深刻与严格，建立了哲学工作的典范，他所提出的观点加深了并且还在加深我们对算术的基本概念的理解。【注释】罗素悖论的推导细节及弗雷格外延理论的更详细描述，见本期叶峰文章。罗素在给弗雷格的信中，曾把他的悖论的构造，追溯到Cantor定理的思想。弗雷格得悉罗素悖论之后，对即将出版的算术基本定律的第二版增加了附录，其中也用Cantor定理的方式推导了自己系统中的矛盾。因此，比如说，我们不准备谈论Linsky和Zalta关于对象的公理形而上学(Linsky and Zalta 2006)，因为这个理论在起源和目

33、的上，不尽符合我们这里的新弗雷格主义标准。限于篇幅，下面问题的回答都极其简略，只存概貌，不涉细节。需要说明，这些问题至今未解，那些回答也远非最终答案。弗雷格对于具体自然数(比如数1)的定义包含“x=#G”这样形式的开句子。他认为HP无法对之做出解释，因此放弃将HP作为定义，转而寻求外延理论中数的显定义。【参考文献】1Antonelli, A. and May, R. 2005. Frege's Other Program. Notre Dame Journal of Formal Logic. 46(1).2Boolos, G. 1986. Saving Frege from Cont

34、radiction. Proceedings of the Aristotelian Society. new series, 87. reprinted in Demopoulos 1995.3Boolos, G. 1987. The Consistency of Frege's Foundations of Arithmetic. in On Being and Saying, J. J. Thomason, ed, Cambridge: MIT Pres. reprinted in Demopoulos 1995.4Demopoulos, W. 1995. ed. Frege's Philosophy of Mathematics. Cambridge: Harvard University Pres.5Demopoulos