积分中值定理

1、第一章积分中值定理一、本章有一个按序排列而成的定理系列，即罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理和泰勒定理。由于它们都拥有一个“微分中值点 ©”，故有时也将其统称为微分中值定理， 该定理系列在微分学的理论中起着极为重要的作用，故需要大家学习时要格外重视。在应用这些定理时，要特别注意“点”，定理只告诉了我们/的存在性，并未指出它的确切位置 (实存在就足够了)，若忽视了f(x)在a,b上连续，在(a,b)际上，许多情况下我们并不需要知道它的确切位置，只要知道 这一点，在作题的过程中就容易出错或无法达到目的。如设 内有二阶导数，证明存在 ，使得2f (b2f (- b) f (a)二少 乩

2、f ()。24分析：根据给出的条件以及要证明的表达式，我们往往联想采用如下的方法a + bf(b)_2f(=) f(a)2 a +b a + b= f(b)-f(-)-f(-)-f(a)( *)二宁f( J-f ( 2) 号(1- 2)f ()(a ： 2 ： a b "： : b, 2 ：' 1 :, J )。2但是，问题很明显，由于中值定理没有确定' 2的具体位置，因此不能保证b - a1 - 2，也就达不到题目的要求。但是，这种尝试给了我们有益的启示：我们把2(*)每一个方括号内的值看成一个函数的函数值，从而(* )表达式即可视为某函数在一个区间的两个端点的函数

3、值之差，在此基础上再使用中值定理，问题就可以解决。证明：令b a(x) = f(x )-f(x)，则(x)在区间a,a b上可以使用拉格朗日中值定理，故有（写）-（a）=写（i）每心罟-伽= a + b h b a(a ： 11b)2 2再在1, 12b -a上对f （x）应用拉格朗日中值定理（因为f（x）在（a,b）内有二阶导数）,则存在二（1, b - a3)(a, b)，使得2b ax b -a tf ( i二-)-f ( i)=2从而问题得证。二、用罗必达法则求不定式的极限，由于分类清楚、规律性强且可以连续进行运算，故在求极限时经常用到。但需要注意法则的使用需要满足相应的条件，尤其要注

4、意以下几点:1罗必达法则的条件是充分的，也就是说如果总T L （或八则时L（或吆）。但是如果gx）口振荡发散，丄血仍可以有极限，这一点需要引起大家的注意。g（x）例如求2 . 1x sin lim x , xj sin2x这是0型未定式，极限明显存在，但使用一次罗必达法则后，就会出现振荡发散的情形, 0从而问题就变的无法解决。正确的解法应为原式=lim x x xt0 si n2xsin丄=limxx x q 2sin 丄=0。x2不是未定式，也去使用罗必达法则。例如求lim理旦，A与B是常数。x八 ext 1这是含参变量的极限，应该清楚，这样的极限往往与参变量是有关系的。但我们大多 数同学在

5、处理时会不加区别的使用罗必达法则，从而出现如下的错误:xtAe B limxrxr ext 1xt珂m詈一。实际上，上面的过程只有在 t 0时才是正确的！而t = 0及t :：: 0两种情形未被考虑,因而结果必然是错误的。3不能灵活使用罗必达法则，而是视其为万能的，以至有时会陷入“泥潭”。例如求lim ( cotx)。x)0 x x这是一个未定式的极限，可以使用罗必达法则进行计算。但需要注意的是，若不假思索的直接使用罗必达法则，计算起来就会很繁琐。 比较合理的办法是先进行有理运算，然后进行化简或利用等价无穷小代换，最后再使用罗必达法则就简单多了。解法如下：sin x xcosx sin x x

6、cosx原式二lim 2lim厂7 x2si nx T x3cosxcosx+xsi nx 1,. sinx 1二 lim2limx)03x3x0x3教材中有类似的例题及练习题，希望大家在学习是认真体会。三、泰勒公式是本章的一大难点，大家在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式。实际上，泰勒公式在证明、极限计算等方面有着广泛而独到的应用，大家可以通过多做一些相应的练习题来体会。四、关于函数性态的研究应注意以下几点：1若f(x)为(a,b)内的严格单调增加函数，且在(a,b)内可导，则必有 (x)0。这一结论是不正确的。例如函数f (x)

7、二x3在区间(-1,1)内的点x二0就不满足结论。2若f (x) =0，则X。必为f (x)的极值点(或曰驻点一定为极值点)此结论同样错误。当然，结论的逆命题也不正确。教材中有相应的例子，相信大家会很容易理解。所以在实际求极值时，除了驻点外还需要格外注意导数不存在的点。3 极大值必大于极小值。由于极值是函数在某点邻域内的局部性质，因而极大值与极小值没有必然的大小关系。 也就是说，函数在某区间内的极大值不一定大于其在该区间内的极小值。五、不等式的证明本章的内容进一步丰富了不等式的证明方法。1.中值定理。由于中值定理中 是存在于区间之内的值，很明显把/用区间的两个不同端点去代换时，必然产生不等式，

8、这就为不等式的证明提供了一种方法，实际上中值定理确大家自实是不等式证明的一种有力工具。教材以及课后练习题中有比较多的题目可以训练,己认真做一下，以真正掌握这种方法。2.泰勒公式。泰勒公式证明不等式一般来说困难一些，但有些时候特别是给定的条件涉及到可导又给出某些具体点的导数时，尝试利用泰勒公式也是一种不错的选择。例如下题:1 1设函数f (x)在0,1上有三阶导数，且 f(0)=0, f(1)=寸,(寸)=0, 求证存在淞(0,1)，使得f哄)>12。证明：由于f(x)在0,1上有三阶导数，且f-0 ,故可将f (0)、f(1)在x = 1处展开成至二阶带拉格朗日余项的泰勒公式，即1 f(

9、1) = f(2) f1 , , , , f(0f(-) f( )(0) f ( )(0)2 2 2 2! 2 21、1 £) f22!畀 1、12 2 2!1 2 1 1 3-2)2 "( J(1-二)3，1 1、22 2，1、32,1 3-f ( 2)(0 -J3!23!1J 1门；显然，由f (1) - f(0)得1123!' '令红(弋J，且使得|厂心=2'Ejf(1)f(2) )3。f (1), f (2)，则不等式得证。max3函数单调性(导数)。这种方法证明不等式理论依据简单直接，只是需要大家在构造函数时注意一点：有时函数的构造需要对所证明的不等式进行一定的变化之后实施。例如下题：x x证明：0 ： x ：二时，sin2 兀x x1x 1此题看似简单，若构造函数f(x)=sin，则得到f (x) cos。但是这2 兀22 兀样以来问题却变的复杂了(当然，利用二阶导数借助于凹凸性问题仍可得以解决而且比较简 单),可