「因明逻辑真值的量化公式」与贝尔斯学派统计学

1、因明逻辑真值的量化公式与贝尔斯学派统计学QuantificationFormulaOfHetuVidyLogicalTruthValueAndBayesianSchoolStatistics蔡礼德撰1.引言本文的目的，是尝试证明因明逻辑真值化的探究i1以下简称探文所施设的逻辑真值的量化公式之理念与近代广受重视的统计学理念，实为互相一致。探文所施设的逻辑真值的量化公式：所立宗的T.V.=Na卜-二Mr讣）ns>0NsNmg+NmcpNsJ当今应用数学科学中，贝尔斯学派BayesianSchool是近代统计学：Statistics中，极其重要的学派；本文将选取其学派中，最具代表性、最广受重视

2、的两条公式：【一】拉普拉士Laplace的接续法那么Ruleofsuccessionii2；【二】贝尔斯法那么Bayesrule3iii。以它们来考核探文所施设的逻辑真值的量化公式，是否契合近代统计学的理念。由于这两条公式在应用科学如决策论、经济学、医学、生物学等及数学界，都已广受重视及应用。故藉此作为检查的工具是最为恰当的；所得出的结论，不管如何，将令人信服。假设能证明探文的公式与当今统计学相一致，便能显示出陈那Dign<ga系因明的三支比量Three-MemberedSyllogism，其推理的理念，与当今统计学的理念相契合；也确实是说，陈那Digncga系因明的推理部分，早在千多年

3、前，已含有近代统计学应用科学的概念了。关键词：贝尔斯法那么接续法那么逻辑真值的量化公式2.因明逻辑真值的量化公式与拉普拉士Laplace接续法那么Ruleofsuccession此部分将尝试证明探文所施设的逻辑真值的量化公式，该公式的背后理念，与当今统计学极受重视的贝尔斯学派BayesianSchool学说相契合。考察的方法，是检查它能否提供相同讯息及相同答案。贝叶斯Bayes的统计学概念，经拉普拉士Laplace陈构及阐释后，称为接续法那么Ruleofsuccession，详细演算及其推理，今不赘iv4。有一点要留的，该派学者多幸免谈论一个概率为零，并已得到充分确证的理论，其方法是以某类归纳

4、方式，并假设一个概率，即是说，它是以假设的知识为背境计算出来的。现在只把拉普拉士的结论握要地列出。设NTotalNo.ofTrails=N次经验NANo.ofEventA=曾发生事件A的次数NsAnevent=下一次或当下所发生的事件即第N+1次经验经验(trial)01st2nd3rd?Nh(N+1)th事件(event)AAAAA?己；待决定的事件、'（即第N+1次槽除）,Ns=iS=A?'已知事件A的例（EventA）,Ea-iN次(TotalNoofTrails=N)图一接续法那么Ruleofsuccession定义：凭过去N次经验，其中M次为事件A,今推测最新一次经验

5、即第N+1次经验为事件A的概率Probability为（N+1）/（N+2）。Definition:IfinNprevioustrialsNAhaveyieldedaneventA,theprobabilitythateventhappensonthenexttrialis（N+1）/（N+2）.P（凭N次经验，其中Na次为事件A,推测第N+1次为事件A）=UUn呈NA呈0N+2公式是直截了当引用统计学的结果，至于详细的数学演算，可参考注3o假设用佛家因明的三支比量Three-MemberedSyllogism去解释，就会很容易明白公式中，其分子Nx+1及分母N+2的含意，而该公式所透露的讯息

6、，将立时变清晰起来。事实上，佛家因明的三支比量作法特别是陈那Digncga系因明，亦是利用过去的N次经验Nprevioustrials，作为推理的依照。例如，过去的N次经验，能够有事件或事例EventorExampleA、B、C等等。先假设M为出现事件A的次数，然后基于过去Nx次的经验，推测将面对的第N+1次事件，而次该事件亦为事件A之概率，或用统计学、概率学的说法，推测新出现的样本Samples为事件A的逻辑真值。现在就让我们运用拉普拉士的接续法那么，去考察探文所施设的逻辑真值的量化公式。但先作一些假设，如下：设Nb=1事件S,即第N+1次的经验，NE=1在NA次之外，某一次事件AAnadd

7、itionaleventA,田NA为过去的事件A之出现次数Totalno.ofeventA，令NAe=N+NE的事件A之出现次数，加上另外一次事件AnAe=NA+r，-NE=1有一点需要注意，即使在过去所有事件A中即NA次，加上另外一次事件A即NE,它们仍然能够被称为事件A的一类，只需在总数上，多加一次即NA+1,或NA+NE。关于非事件A即A的总数即Na次，那么可不能受到事彳tA的妨碍；也确实是说，只需把符号改变一下即可，由NA改变成为NkAE,即NAE=NAo令gAE=gA令N=NA+Ma事件A之总数=事件A之总数力口非事件A之总数，N+1=NA+Ma+1=NA+NE+Nka.NE=1=N

8、Ae+Nae，NAe=NA+NE,Nkae=Nka现在能够开始演算。首先利用公式：由公式，=Na1N2=Na1N1)+1=(Na+1)/N=NA+Ma(Na+Na+1)+1=(NA+NE)VNE=1NaNeNa1=”Nae=NA+NE(Nae+Na)+1=-AENS=1,Na=N-aeNAE+N-ae+Ns=NENae+Nae+Ns在未接着演算下去前，那个地方有两点需要说明一下：【一】三支比量里，假设为正因hetu,validreasons，就必须举出一个的事件AEventA,EA，作为例子example去支持所立宗(paksa),即是同喻依sBharmya-drstmta；此点决不能忽略。而

9、接续法那么中的分子为NA+1即公式中的Ne及分母为NI+2即公式中的Ne+ae+Ns,正有那个涵义。【二】关于犯了不共不定因过ashasiddha或相违因过Viruddha,contradicting，在这两情况下，就不能举出任何的实例曰P，去支持所立宗了。故此，我们不能像接续法那么所要求的那样，预先放入一个不可能发生的事件即公式中的分子NA+1。在公式中如何表达？其解决方法：正如上面所施设的那样，将事件A的总数量，由NA改为Ns即可。也确实是说，Nk的数量其数量为Ne=NA+NE,已包涵了一个同喻例子即NE=1。假设从来没有经验过任何事件A即2e=0，自然就举不出任何事件A的例子。因此，接续

10、法那么公式在右边的写法，便需要由原来的Na*,改写为上面公式的NE了。这确实是公N+2Nae+Nae+1式所要表达的涵义了由此可见，拉普拉士的接续法那么公式，关于一些未经验过的理由即三支比量中的因支，是不能作出令人信服的计算。这就牵涉到正态分布uniformdistribution及主观概率subjectiveprobability的问题，已超出了本文要讨论的范围，而近代学者亦已看到那个问题v5,并一直致力于将该公式改良。相反，佛家因明特别是陈那因明却容许关于一些未经验过的理由，作出令人信服的计算例如，假设犯不共不定因过，其逻辑真值L.T.V.=0%;因为，佛家因明的另一个功能，是猎取新知识，

11、纵使最后得出的结果，其逻辑真值为0%如犯不共不定因过等，立、敌双方，也能受益于那个结论法那么的关系，现在施设一简单图例去说明或参考拙著vi6:为了便于理解探文所施设的逻辑真值的量化公式与拉普拉士的接续经验(trial)1st2nd3rd?Nh(N+1)th事件(event)MnpMnpMPPMnpS(Sample,样本)=?S=Sample,样本M=MatchedReason,配对理由P=Population,族群E=EventorExample,事件、事例令AE=MTP的事件集合set，AE=MTP的事件集合setNAe=Nvnp,NAEN/hP,NM=Nvnp+Nvnp然后，代入公式=NM

12、nNs>>NmG+Nmcp+&=NmcNs>0NmNs=后二相因的逻辑真值T.V.换言之，贝叶斯学派的拉普拉士Laplace的接续法那么Ruleofsuccession,即是探文vii7北所施设的后二相因的T.V.公式。或言，在满足了fulfilled第一相因C1stcondition下，即Ns=NSnm,其所立宗的T.V.：:INS,!XINMfP:NS>0NNsJ、Nm+Nmcp+NsJ:(1)xINM,f：.,Ns=NsnM、Nm个+Nmcp+NsJ满足第一相因=所立宗的逻辑真值T.V.这确实是探文所施设的逻辑真值的量化公式！由此可知，探文所施设的逻辑真值

13、的量化公式，同样能够提供的接续法那么Ruleofsuccession所需要的讯息及答案。在文中，能够见到该公式，事实上已包涵了贝叶斯学派的接续法那么；而逻辑真值的量化公式的应用范围，比贝叶斯学派的接续法那么更广，因为，接续法那么不能处理从未经验过的事件。3.因明逻辑真值的量化公式与贝尔斯法那么Bayesrule在此部分，将尝试证明探文所施设的逻辑真值的量化公式，其背后理念，是与贝尔斯法那么相契合的。至于考察的方法，将与上第二部分无异，即是检查它能否提供贝尔斯法那么所能提供的讯息及答案。至于贝尔斯法那么的详细演算及科学应用例子8viii,今不赘。现在只把贝尔斯的结论握要地列出。贝尔斯法那么Bay

14、esrule：|ryX)=P(X"P(GTP(X)贝尔斯法那么：定义：在的事件X情况下，事件Y的概率。Definition:theconditionalprobabilityofaneventYgiventhataneventX.此中条件概率ConditionalprobabilityP(YX)称为后验概率Posteriorprobability。当运用该公式时，须有一个先决条件，确实是要求事件X的概率不等于零，即公式右边所列出的P(X)>0;也确实是说，我们要承认或有事件X,才能运用该公式。贝尔斯法那么的特点，是把先验概率Priorprobability,它是依照历史资料或主

15、观判断，即差不多或未经实证的概率，转换为后验概率Posteriorprobability；能够说，它是一种依照新的证据，来调整所赋予的信念概率之一般方法；或言，某理论每被证据确证一次，表示今后还会被确证的信念，其概率会逐渐增加；反之亦然。贝尔斯法那么的优点有四：【一】对讯息的价值，能作出合理的判断；【二】最后的判断，并非情!侗地说全真或全假；【三】能依照特定情况，重复使用，使今后的判断逐步完善；【四】能巧妙地，将可错的经验及先验知识，结合起来使用。探文所施设的逻辑真值的量化公式的概念，能够理解为：在或承认S=SnM的情况下，凭过去N次经验，其中NkP次为事件MnP,现在去推测最新次经验S为事件

16、MnP的逻辑真值T.V.或概率。下面再具体说明：S=Sample,样本M=MatchedReason,配对理由P=Population,族群E=EventorExample,事件、事例从探文得知，Snm只有两种可能情况:【一】完全不同意totallydisagree，即 Sn m ?；'oP(Sn M)=i!Ns >0【二】完全同意totallyagree，即ScM=S,它们的概率probability为：RS甲M=?)完全不同意,totallydisagree:一小LP(SAS)完全同意,totallyagree0.*M=0即犯不成因过二«Hetv由heas,fall

17、aciousreasonsBI1vNS=N5nm那个地方有一点需要留意，当S=SnM时，即RSnm=s)=i,不管在任何情况下,只要我们完全同意totallyagree，它的概率将会是1：P(S=Snm在任何情况下)=p(s=sam二1又令N=NM,X=snM丫二凭2次经验，其中5P次为事件MTP,推测第N+1次为事件MHP故此，P(Y|X)诠释为：在snm下，凭NM经验，其中NMnP次为事件Mnp,推测第Nm+1次为事件Mnp的概率。代入公式，=P(凭Nm经验，其中p次为事件Mnp,推测第N+1次为事件Mnpsnm.P(YX)将公式，代入公式中,p(sn M) >0P(Y X) p(S

18、：3s卢那凭Nm次经验，其中Nmp次 为事件MAP,推测第Nm + 1 次为事件MAP广任NM次经验：其中NMnP次、P为事件MAP,推测第Nm+1工次为事件MAP,p(s=snm:p(SsnM)i1=RS=snm让我们暂且保留分子中的P(S=SnM)。现在引入拉普拉士Laplace的接续法那么Ruleofsuccession。将公式及，代入公式，,RYx='NSIML卜NI：Ns>0、Ns)Nm个+Nmcp*Ns)故此，=l_N；x世P；ns>0INsjNmop+Nmrpp+NsJ=三支比量所立宗的T.V.也确实是探文所施设的逻辑真值的量化公式！可见三支比量所立宗的T.V

19、.其中一个功能，是计算在s=snM下,再凭N次经验，而其中WP次为事件MTP,去推测某一次新的经验S为MTP的概率。即满足了fufilled第一相因1stCondition的情况下，其所立宗的逻辑真值T.V.。反观公式，由于它只计算在P(X)>0情况下的P(Y|X),关于不符合传统第一相因1stCondition的情况，即P(X)=0,是可不能去处理的。换言之，公式没有处理到三支比量中的不成因过Hetvh峦as,fallaciousreasons。由此观之，贝尔斯法那么Bayesrule公式的应用范围，是小于探文所施设的逻辑真值的量化公式。因为，探文所施设的逻辑真值的量化公式不旦包涵了P

20、(X)=0的情况，亦能够处理不符合第一相因的情况：所立宗的T.V.=与X-一丁+zMs。NsJNM"+NMCPNs.Zm=0,即犯不成因过Hetv由has,fallaciousreasons所立宗的T.V.=Y、1XNm，fNS=Nsnm、Nmm+Nm,、p+Ns)o所立宗的T.V.=sam = s凭Nm次经验，其中Nm”次为事件MAP,推测第Nm+1次为事件MAP故此，所立宗的T.V.J功能，有两个:【一】指出其因MJ犯了不成因过Hetvh岔as,fallaciousreasons；【二1提供在S=SnM下，凭M次经验，其中Wp次为事件MAP,推测某一次新的经验S为事件MAP的概率

21、或逻辑真值T.V.故此，探文所施设的逻辑真值的量化公式，不且能同样提供贝尔斯法那么所需要的讯息及答案，同时发明它事实上把贝尔斯法那么涵摄在其中。4.结语上来已通过拉普拉士Laplace的接续法那么Ruleofsuccession及贝尔斯法那么Bayesrule，证明了探文所施设的逻辑真值的量化公式不旦与上述它们相一致，并发明它事实上已涵摄了接续法那么及贝尔斯法那么。关于接续法那么，文中发明它只提能供后二相因的逻辑真值，或言九旬因的逻辑真值。而关于贝尔斯法那么，在满足第一相因的情况下，它只提供三支比量所立宗的逻辑真值，亦即是因三相的逻辑真值。然而，相关于接续法那么及贝尔斯法那么而言，探文所施设的

22、逻辑真值的量化公式，却能够提供更多讯息。因为，逻辑真值的量化公式包涵了九句因Hetucakra、因三相Trairupya及三支比量Three-MemberedSyllogism的逻辑真值T.V.。下面以表列形式作总结：二-相因的T.V.(1stConditionV.)=1符合第一相因1stConditionfulfilled=0不符合第一相因1stConditionfailed后二相因的T.V.(2nd&3rdConditionsT.V.)>0符合第二相因2ndConditionfulfilled=0不符合第二相因2ndConditionfailedNMnp=0Mnp>0N

23、Mnp=0N/In-P>0九句因分类Hetucakra正因validreasohetu,不ntiksg因)nsuncertainreaanaaas不a北dh2a-定sonsddhaik相违因contradictVirucsas,不四因fallaciousreesonsingreasons:dha,a1.贝尔斯法那么Bayesrule未能处理未能处理2.拉普拉士接续法那么Ruleofsuccession未能处理未能处理3.探文所施设的逻辑真值的量化公式QuantificationFormulaOfHetuVidyiogicalT.V.至于表中各种情况的考察，请参考探文的例子。透过本文，展示

24、了探文所施设的逻辑真值的量化公式，是经得起现代统计学的检查及考核。从而说明陈那系因明的三支比量推理，实无过时、落后之处；反而利用现代数学成果，更能正确反映出陈那Digna因明推理的理念。佛家因明特别是陈那因明中的推理Reasoning部分9ix,与当今的统计学Statistics或言应用数学，AppliedMathematics，这两个虽看似不相干的领域，但在本文探讨时，却发明它们是互相紧扣的。数学语言与纯语言并没有本质上的区别，只在功能上有差异而已；但数学语言的优点是简洁、严谨和清晰，极少出现岐义的情况；假设能引用数学公式，去解释抽象概念就更好。具缺点，是学者必须具备差不多的数学训练。但不管如何，在那个地方或在佛学中，它只是作为解释佛家因明的工具，而非最终目的。既然是工具，只要能达到目的，就越简单越好。故此，关于探文所施设的公式，今后的研究方向，是将该公式作少许的修改，甚至精简，而非弄得更加复杂。推而广之，佛家因明相关于佛学，亦应如此。正如笔者在另文指出：佛法包含推理及科学方法，而为今时所必须。也同时响应了世人所谓佛学皆为不科学、不理性、迷信之不确。x10透过本文，就能清晰明白佛学早在千多年前，已包涵了现代统计学即应用科学；而现代统计学的底子是不离科学方法ScientficMethodxi11。1李润生、蔡礼德合撰因明逻辑真值化的探索的，2006年6月杭州，第一届