示范教案(1.1__指数与指数幂的运算_第1课时)

1、第二章 基本初等函数（I）本章教材分析教材把指数函数、对数函数、幕函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体的函数模型解决一些实际问题本章总的教学目标是：了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数幕的意义，通过具体实例了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算；理解指数函数的概念和意义，掌握f（x）=ax的符号及 意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点），通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型；理解对数的概

2、念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然 对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用；通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f（x）=log ax的符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）；知道指数函数 y=ax与对数函数y=logaX互为反函数（a>0，a工），初步了解反函数的概念和f-1 （x）的意义；通过实例了解幕函数的概念，1结合五种具体函数 y=x，y=x 2 ，y=x3，y=x-1

3、，y=x 空的图象，了解它们的变化情况本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质，要在理解定义的基础上，通过几个特殊函数图象的观察，归纳得出一般图象及性质，这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方 法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与 指数函数的有关内容作了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想

4、建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幕函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幕函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生的学习负担通过运用计算机绘制指数函数的动态图象，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能教材安排了阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读 本章教学时间约需14课时,具体分配如下（仅供参考）2.1指数函数约6课时2.2对数函数约6课时2.3幕函数

5、约1课时本章复习约1课时2.1指数函数2.1.1指数与指数幕的运算整体设计教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幕的概念和运算性质从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幕的运算性质由整数指数幕推广到实数指数幕教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幕，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时 激发学生探究分数指数幕、无理数指

6、数幕的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幕运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幕逼近无理数指数幕卜数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值 根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学 情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持三维目标1通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幕的概念，进而学习指数幕的性质掌握分数 指数幕和根式之间的互化，掌握分数指数幕的运算性质 培养学生观察分析、抽象类比的能力 2掌握根式与分数指

7、数幂的互化，渗透转化”的数学思想.通过运算训练，养成学生严谨治学， 一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理3能熟练地运用有理指数幕运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力4通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幕的运算性质展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美重点难点教学重点：(1) 分数指数幕和根式概念的理解(2) 掌握并运用分数指数幕的运算性质(3) 运用有理指数幕性质进行化简、求值教学难点：(1) 分数指数幕及根式概念的理解(2) 有理指数幕性质的灵活应用课时安排3课时教学过程第1课时指数与指

8、数幕的运算(1)导入新课思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的教师板书本节课题:指数函数一一指数与指数幕的运算思路2.同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数一一指数与指数幕的运算推进新课 新知探究 提出问题(1) 什么是平方根？什么是立方根？ 一个数的平方根有几个，立方根呢？(2) 如x4=a，x5=a，x6=a根据上面

9、的结论我们又能得到什么呢？(3) 根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？(4) 可否用一个式子表达呢 ？活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维. 讨论结果：若x2=a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如 :4的平方根为±2, 负数没有平方根，同理，若x3=a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如:-8的立方根 为-2.(2) 类比平方根、立方根的

10、定义，一个数的四次方等于 a，则这个数叫a的四次方根一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根.(3) 类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根用一个式子表达是，若xn=a则x叫a的n次方根教师板书n次方根的意义：一般地，如果xn=a，那么x叫a的n次方根(n-throot)，其中n> 1且n N .可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.提出问题(1) 你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？(多媒体显示以下题目). 4的平方根； 出的立方根；16的4次方根；32的5次方根；-32的5次方根； 0的7

11、次方根；a6的立方根.(2) 平方根，立方根,4次方根,5次方根,7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点?4, ±,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数，有什么特点？(3) 问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数 a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢 ？(4) 任何一个数a的偶次方根是否存在呢 ？活动：教师提示学生切实紧扣 n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的 n次方等于a,及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及

12、时表扬，对回答不准确的学生 提示引导考虑问题的思路.讨论结果：(1) 因为戈的平方等于4, ±的立方等于8, ±的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5 次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根，±的立方根,16的4次方根,32 的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是 戈，±, ±,2,-2,0,a2.(2) 方根的指数是2,3,4,5,7 特点是有奇数和偶数.总的来看，这些数包括正数，负数和零.(3) 一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次 方

13、根都是0.(4) 任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶 次方是一个负数.类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质： 当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用Va表示,如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成 ±n. a (a>0). n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用 符号n. a表示. 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零 上面的文字语言可用下面的式子表示：n为奇数,a的n次方根有一个为跖订，a为

14、正数：丿l小为偶数,a的n次方根有两个为土 a.a为负数na,n为奇数，玄的门次方根只有一个为 n为偶数，玄的门次方根不存在.零的n次方根为零，记为：0 =0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.思考根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任 何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根,4次 方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题 解答：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根为 戈，-27的5次方根为5

15、-27，而-27的4次方根不存在等其中5 -27也表示方根，它类似于：a的形式，现在我们给式子：a 一个 名称根式.根式的概念：式子n a叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数.如3 -27中，3叫根指数，-27叫被开方数.思考Van表示an的n次方根，等式Van =a 一定成立吗？如果不一定成立，那么V an等于什么？活动：教师让学生注意讨论 n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论.教师点拨， 注意归纳整理.如翠（一3） =令 一 27 =-3, #（弋）4 =|-8|=8.解答：根据n次方根的意义，可得:（n a）n=a.通过探究得到：n为奇数，n an =a.亠心厂：a，汀0，

16、n为偶数，va =|a|=丿一a，a £0.因此我们得到n次方根的运算性质： （n a ）n=a.先开方，再乘方（同次），结果为被开方数. n为奇数，n. an =a.先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数.nna, a A 0,n为偶数，Ja =|a|=a,先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值.-a, ac0.应用示例思路1例1求下列各式的值：(1)寸(-8)3 ;(2) J(-10)2 ;(3)$(3 兀)4 ;(4) J(a -b)2 (a>b).活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是 啥，搞清这些之后，再

17、针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数.解：(1)3 (一8)3=-8;.(-10)2 =10; 4 (3 - 二)4 =n-3;.(a -b)2 =a-b(a>b).点评：不注意n的奇偶性对式子n an的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用.变式训练求出下列各式的值：(1)7 (-2)7

18、 ;(2)3 (3a -3)3 (a < 1); 4 (3a - 3)4. 解：7、(-2)7 =-2, 3 (3a -3)3 (a < 1)=a-3,(3)g(3a _3)4 = da_3a 汀3-3a,1.点评：本题易错的是第(3)题,往往忽视a与1大小的讨论，造成错解. 思路2例1下列各式中正确的是()(1)4 a4=a; 6口)2 =3 -2；a0=1; 10 ( 2 -1)5 = (2一1).活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义 和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的 实质，学生

19、先思考哪些地方容易出错，再回答解：4 a4 =a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时应先写n an =|a|，故本题错.(2) 6 (-2)2 = 3_ - 2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6( -2)2 = V2，故本题错.(3) a°=1是有条件的，即a丰(故本题也错.(4) 是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故本题正确.所以答案选(4).点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会 有，因此解题时千万要细心.例 J3 +2忑 + J3 2应=活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容

20、与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容 是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路.解：32 = 1 2 2 ( 2)2 = ；(1 . 2)2 = 、2+1.3-2.2 = _(、2)2 -2、2 1 = . ( . 2 -1)2 = .2-1.所以 3 2 2 + ；3-2.2 =2 2.点评：不难看出3 - 2 2与.32.2形式上有些特点，即是对称根式，是A 一 2 B形式 的式子，我们

21、总能找到办法把其化成一个完全平方式.思考上面的例2还有别的解法吗？活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的 特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是+，一个是-，去掉一层根号后，相加正好抵消.同时 借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法.另解：利用整体思想，x= 3 2 2 -2 2，两边平方得 x2=3+2、2 +3-2、2 +2( . 3 2” 2 )( ； 3 - 2.2 )=6+2 , 32 - (2.2)2 =6+2=8,所以 x=2 - 2 .点评：对双重二次根式，特别是.A_2. B形

22、式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对.A 2.、B _ A-2.、B的式子,我们可以把它 们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解变式训练若、a2 - 2a 1 =a-1，求a的取值范围.解：因为.a2 -2a 1 =a-1,而 a2 - 2a 1 =、,(a -1)2 =|a-1|=a-1,即 a-1> 0,所以a> 1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键知能训练(教师用多媒体显示在屏幕上)1以下说法正确的是()A. 正数的n次方根是一个正数B. 负数的n次方根是一个负数C. 0的任何次方根都是零D. a的

23、n次方根用；a表示(以上n > 1且n N ).答案：C2. 化简下列各式：(1)6 64;(2)4 (-3)2 ；(3)4 x8 ;(4)6 X6y3 ；(5) ,(x-y)2 .答案：(1)2;(2) ,9;(3)x2;(4)|x| , y ;(5)|x-y|.3. 计算 V'7 + 41 - <40 =.解：一 7、40. 7 - "0=.,(5)22 * 2( . 2)2(5)2 - 2.5 2(. 2)2=：(52)25 - 2)2=、5+、2 + 5 -2=2 5答案：2 5拓展提升 问题：n an =a与(n a )n=a ( n> 1,n N

24、)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣 n次方根的定 义.通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零,n为偶数时,n为奇数时讨论一下.再对a是负数,n为 偶数时,n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论解答：( na) n=a (n > 1,n N).如果xn=a (n > 1,且n N)有意义,则无论n是奇数或偶数,x= n a 一定是它的一个n次方根, 所以(n. a ) n=a恒成立.例如：(4 3 ) 4=3, (3 -5)3=-5.莎=丿a,当n为奇数， | a I，当n为偶数.当n为奇数时,a R,n an

25、=a恒成立.例如：5 25 =2,5 (-2)5 =- 2.当n为偶数时,a R,an> 0, an表示正的n次方根或0,所以如果a>那么n an =a.例如4 34 =3,Vo =0 ；如果 av 0,那么 van =|a|= a,如 J(-3)2 =<32=3.即(Va na) n=a ( n> 1,n N)是恒等式，n'an =a (n>1,n N)是有条件的.点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解 课堂小结学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上.1.如果xn=a,那么x叫a的n次方根，其中n > 1且n N .用式子Ma表示式子Ma叫根式，其中 a叫被开方数,n叫根指数.(1) 当n为偶数时,a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用n a表示,如果是负数负