大学物理答案第6章

1、第六章气体动理论6 1 一容积为 10L 的真空系统已被抽成1.0 10-5 mmHg 的真空，初态温度为 20。为了提高其真空度，将它放在300的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，如果烘烤后压强为 1.0 10-2 mmHg ，问器壁原来吸附了多少个气体分子?解：由式 pnkT ，有np1.010 21.013105 / 7601.6810 20 个 / m3kT1.3810 23573因而器壁原来吸附的气体分子数为NnV1.68102010 1031.681018 个56 2 一容器内储有氧气，其压强为 1.01 10 Pa，温度为 27，求：（l ）气体分子的数密度；（ 2）氧气的密

2、度； （ 3）分子的平均平动动能； （ 4）分子间的平均距离。 （设分子间等距排列）分析： 在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。又因可将分子看成是均匀等距排列的， 故每个分子占有的体积为V0d 3 ，由数密度的含意可知 V0 1 n , d 即可求出。解：（ l ）单位体积分子数np kT2.441025 m 3（ 2）氧气的密度m VpMRT1.30 kgm 3（ 3）氧气分子的平均平动动能k3kT 26.21 10 21 J（ 4）氧气分子的平均距离d3 1 n3.4510 9 m6 3 本题图中

3、I、II 两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气） 在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（ 1）氢气分子和氧气分子的最概然速率； （ 2）两种气体所处的温度。分析： 由 vp2RT /M可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率 vp 也就不同。因M H 2 M O 2 ，故氢气比氧气的 vp 要大，由此可判定图中曲线II所标 vp 2.0103 ms 1 应是对应于氢气分子的最概然速率。从而可求出该曲线所对应的温度。又因曲线I 、 II 所处的温度相同，故曲线I 中氧气的最概然速率也可按上式求得。解：（ 1）由分析知氢气分子的最概然速率为( v )H 2

4、2RT /M2.0 103 m s 1PH 2利用 M O2 / M H216 可得氧气分子最概然速率为(vP ) O 22RT / M O 2( vP )H245.0102 m s 1习题 63 图（2）由 vp2RT / M 得气体温度Tvp2 M / 2R4.81102 K64 有 N个质量均为 m的同种气体分子，它们的速率分布如本题图所示。 （ 1）说明曲线与横坐标所包围面积的含义； （ 2）由 N和 v0求 a值；（ 3）求在速率 v0/2到 3v0/2间隔内的分子数；（ 4）求分子的平均平动动能 .分析： 处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数f v 的物理意义

5、。f ( v)dN / Ndv题中纵坐标 Nf (v)dN / dv ，即处于速率 v 附近单位速率区间内的分子数。同时要掌握f (v) 的归一化条件，即0 f (v)dv 1 。在此基础上，根据分布函数并运用数学方习题 64 图法（如函数求平均值或极值等），即可求解本题。解：（ l ）由于分子所允许的速率在0 到 2v0 的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积S2 v0NNf v dv0即曲线下面积表示系统分子总数N。（2）从图中可知，在0 到 v0 区间内， Nf (v)av / v0 ；而在 v0 到 2v0 区间内， Nf ( v)a 。则利用归一化条件有Nv0 av2v0advd

6、vv00v0得a 2 N / 3v0（ 3）速率在 v0/2 到 3v0 /2 间隔内的分子数为Nv0 av dv3v0 / 2adv 7N / 12v0/ 2v0v0(4) 分子速率平方的平均值按定义为v2v2dN / Nv2 f (v)dv00故分子的平均平动动能为K1 mv 21 m(v0a v3 dv2v0a v2 dv)31 mv02220Nv 0v0N366 5 当氢气的温度为 300时，求速率在区间3000m/s到 3010m/s之间的分子数N1与速率在区间 vp到vp+ 10m/s之间的分子数N2之比。解：氢气在温度T=273+300=573 开时的最可几速率vp 为2RT25

7、73米秒8.31v p0.0022182 /M麦克斯韦速度分布公式可改写为NN 4x2 e x2x则速度在3000 米 /秒 3010 米 /秒间的分子数230002N1 N43000e 21822182102182速度在 vp vp10 米 /秒间的分子数221822N 2 N42182e 21822182102182N 130002e0.78故2N 221823000e 21826 6 有 N个粒子，其速率分布函数为f (v)dNCNdvf (v)0(v0v0)(vv0)(1) 作速率分布曲线；（ 2）求常数 C；（ 3）求粒子的平均速率。解：（ 2）由归一化式v0f (v)dvCdv C

8、v0 100得1Cv0v0v0（ 3）vvf (v) dvvCdv0026 7 根据麦克斯韦速率分布律证明：处于平均速率附近一固定小速率区间内的分子数与 T 成反比。解：由 v8RT则速率分布函数可化为m3mv242m232vf (v)42RTv 2v3 evv 22 RTe2速率在 vvv 区间内分子数N 为32N4NNf (v ) vev2v 1可见：Nv1(T ) 16 8 一密封房间的体积为 5 3 3m3，室温为 20，室内空气分子热运动的平均平动动能的总和是多少？如果气体温度升高1.0K，而体积不变 ,则气体的内能变化多少？气体分子方均根速率增加多少？（已知空气的密度=1.29Kg

9、/m33，摩尔质量M =29 10 Kg / mol ，且空气分子可认为是刚性双原子分子。）解：根据1 m v 23 KT,22 N 1 mv23 NKT22N1mv 23RTNmN Am=3MM molRT=3RT M mol V= 7.31106 J.2222E= MM mol 1 iR R T =V M mol 1 iR R T = 4 .16 10 4 J22v21 2v1 2v1 2TT= 0.856 m s22=3RM1 221mol216 9在容积为 2.0 10-3 m3的容器中，有内能为6.75102 J的刚性双原子分子理想气体。（1）求气体的压强； （ 2）设分子总数为 5

10、.41022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。解：（ 1）由 Em i RT和 pVm RT 可得气体压强M 2Mp2E / iV1.35105Pa（ 2）分子数密度 n=N/V 为，则该气体的温度Tp nkpV /（ Nk） 3.62102K气体分子的平均平动动能为k3kT 2 7.4910 21J6 10 质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为v2gR ，其中 R为地球半径。（ 1）若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；（2）说明大气层中为什么氢气比氧气要少。（取 R= 6.40106 m）分析： 气体分子热运动的平均速率v8RT/ M。对于摩尔质量

11、 M 不同的气体分子，为使v 等于逃逸速率 v，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量M 较小的就容易达到逃逸速率。解：（ 1）由题意逃逸速率 v2gr，而分子热运动的平均速率v8RT /M 。当 vv 时，有TMv 2Mrg8 R4 R由于氢气的摩尔质量M H22.010 3 kg mol 1，氧气的摩尔质量M O 23.210 2 kg mol 1则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为TH 21.18104 K, TO21.89 105 K（ 2）根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大（约为4倍），因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多。按大爆炸理论， 宇宙在形成过

12、程中经历了一个极高温过程。在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高。因而，在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸。另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知， 在任一温度下， 总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率。从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子。6 11 讨论气体分子的平动动能1 mv2的分布函数，归一化条件，及求任意函数2g( ) 的平均值公式。并由麦克斯韦气体分子速率分布函数导出动能分布函数，求出最可几动能。解： 在动能空间中取一小区间d

13、，小区间内分子数dN 占总分子数N 之比为dNNf ( )d其中 f ( ) 为分子动能分布函数，它满足归一化条件：f ( )d10任意函数 g( ) 的平均值公式：g()g() f ()d0令3 / 2mv2f ()df (v)dv4mv2exp(2 kT) dv2kT可求出f ()d2(1 )3/2exp(kT) dkT令df ()0 可得最可几动能dkTp26 12已知在单位时间内撞击在容器壁单位面积上的分子数为1 nv 。假定一边长为 1310 254米的立方箱子， 在标准情况下盛有个氧分子， 计算 1 秒钟内氧分子与箱子碰撞的次数。解：氧分子在标准状态下算术平均速率vv8RT88.3

14、1 273425米/秒M3.140.032每边长为1 米的立方箱的总面积S=6 1 1=6米2则N1 nv S1310 2542561.911028 次 /秒446 13 在标准状态下氦气 （He）的内摩擦系数=1.89 10 5 帕秒，摩尔质量 M 为 0.004千克，平均速率v 为 1.20103 米 /秒。试求：（ 1）在标准状态氦原子的平均自由程。（ 2）氦原子的半径。解：（ 1）由公式1v ，则33v因为气体密度M410 30.178千克/米 3v22.410 3331.8910 52.6510 7米v0.1781.20103（2）1RT2 d 22 d 2由氦原子直径dRT1.38

15、10 232731.79 10 10米21.412.651073.141.013105氦原子半径为Rd0.8910 10米26 14 （ 1）求氮气在标准状态下的平均碰撞次数。（ 2）若温度不变，气压降到1.3310 4 帕，平均碰撞次数又为多少？（设分子有效直径为1010 米）解：（ 1）在标准状态下，氮气分子的算术平均速度v8RT88.31273454 米 /秒M3.140.028由公式 p =nRT 得np1052.691025 个 / 米 31.013273RT1.3810 23 由平均自由程1得2 d 2 n122.6910258.3910 7米23.1410 10平均碰撞次数v4.55102108次 / 秒Z5.428.3910 7（2）气压降低之后的平均碰撞次数为ZZpZpZpZ1.3310 4 5.42108次秒p1.0131050.71 /6 15 若在标准压强下， 氢气分子的平均自由程为6 108米，问在何种压强下， 其平均自由程为 1厘米？（设两种状态的温度一样）解：按 p = nKT 和 1，有2 d 2 nn1， pKT2 d22 d