2008年北京市高考数学试卷(理科)(共20页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2008年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知全集U=R，集合A=x|2x3，B=x|x1或x4，那么集合AB等于（）Ax|1x3Bx|x1或x3Cx|2x1Dx|1x32（5分）若a=20.5，b=log3，c=log2sin，则（）AabcBbacCcabDbca3（5分）“函数f（x）（xR）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）若点P到直线x=1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D

2、抛物线5（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A0B1CD96（5分）已知数列an对任意的p，qN*满足ap+q=ap+aq，且a2=6，那么a10等于（）A165B33C30D217（5分）过直线y=x上的一点作圆（x5）2+（y1）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（）A30°B45°C60°D90°8（5分）如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABC

3、D二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）已知（ai）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=10（5分）已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为11（5分）若展开式的各项系数之和为32，则n=，其展开式中的常数项为 （用数字作答）12（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0）=；=（用数字作答）13（5分）已知函数f（x）=x2cosx，对于，上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2；x12x22；|x1|x2其中能使f（x1）f（x2）恒成立的条件序号是14（5分）某校数学课外小组

4、在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1=1，y1=1，当k2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2009棵树种植点的坐标应为三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxsin（x+）（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求函数f（x）在区间0，上的取值范围16（14分）如图，在三棱锥PABC中，AC=BC=2，ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小；（）求点C到

5、平面APB的距离17（13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列18（13分）已知函数，求导函数f（x），并确定f（x）的单调区间19（14分）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1（）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（）当ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值20（13分）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，an，

6、定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a11，a21，an1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又定义S（B）=2（b1+2b2+mbm）+b12+b22+bm2设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak）（k=0，1，2，）（）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；（）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A）=S（A）；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当kK时，S（Ak+1）=S（Ak）2008年北京市高考

7、数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）（2008北京）已知全集U=R，集合A=x|2x3，B=x|x1或x4，那么集合AB等于（）Ax|1x3Bx|x1或x3Cx|2x1Dx|1x3【分析】由题意全集U=R，集合A=x|2x3，B=x|x1或x4，根据交集的定义计算AB【解答】解：集合A=x|2x3，B=x|x1或x4，集合AB=x|2x1，故选C2（5分）（2008北京）若a=20.5，b=log3，c=log2sin，则（）AabcBbacCcabDbca【分析】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0【解答】解：，由指对函数的图象

8、可知：a1，0b1，c0，故选A3（5分）（2008北京）“函数f（x）（xR）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】函数f（x）（xR）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立【解答】解：“函数f（x）在R上为增函数”“函数f（x）（xR）存在反函数”；反之取f（x）=x（xR），则函数f（x）（xR）存在反函数，但是f（x）在R上为减函数故选B4（5分）（2008北京）若点P到直线x=1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A圆B椭圆C双

9、曲线D抛物线【分析】把直线x=1向左平移一个单位变为x=2，此时点P到直线x=2的距离等于它到点（2，0）的距离，这就是抛物线的定义【解答】解：因为点P到直线x=1的距离比它到点（2，0）的距离小1，所以点P到直线x=2的距离等于它到点（2，0）的距离，因此点P的轨迹为抛物线故选D5（5分）（2008北京）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A0B1CD9【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Zmin=3x+

10、2y=30=1故选B6（5分）（2008北京）已知数列an对任意的p，qN*满足ap+q=ap+aq，且a2=6，那么a10等于（）A165B33C30D21【分析】根据题目所给的恒成立的式子ap+q=ap+aq，给任意的p，qN*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的【解答】解：a4=a2+a2=12，a8=a4+a4=24，a10=a8+a2=30，故选C7（5分）（2008北京）过直线y=x上的一点作圆（x5）2+（y1）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（）A30°B45

11、76;C60°D90°【分析】过圆心M作直线l：y=x的垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为600明白N点后，用图象法解之也很方便【解答】解：圆（x5）2+（y1）2=2的圆心（5，1），过（5，1）与y=x垂直的直线方程：x+y6=0，它与y=x 的交点N（3，3），N到（5，1）距离是，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为60°故选C8（5分）（2008北京）如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）AB

12、CD【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2xcosD1BD=2是一次函数，所以排除D故选B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）（2008北京）已知（ai）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=1【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解【解答】解：a22ai1=a212

13、ai=2i，a=1故答案为：110（5分）（2008北京）已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为0【分析】由向量数量积公式进行计算即可【解答】解：由题意知=2×4×4cos120°+42=0故答案为011（5分）（2008北京）若展开式的各项系数之和为32，则n=5，其展开式中的常数项为 10（用数字作答）【分析】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C52=10【解答】解：展开式的各项系数之和为322n=32解得n=5展开式的通项为Tr+1=C5rx105r当r=2时，常数项为C52=10故答

14、案为5，1012（5分）（2008北京）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0）=2；=2（用数字作答）【分析】由函数的图象可知，当0x2，f'（x）=2，所以由导数的几何意义知=f'（1）=2【解答】解：f（0）=4，f（4）=2，f（2）=4，由函数的图象可知，由导数的几何意义知=f（1）=2答案：2；213（5分）（2008北京）已知函数f（x）=x2cosx，对于，上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2；x12x22；|x1|x2其中能使f（x1）f（x2）恒成立的条件序号是【分析】先研究函数

15、的性质，观察知函数是个偶函数，由于f（x）=2x+sinx，在0，上f（x）0，可推断出函数在y轴两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使f（x1）f（x2）恒成立，只需x1，到原点的距离比x2，到原点的距离大即可，由此可得出|x1|x2|，在所给三个条件中找符合条件的即可【解答】解：函数f（x）为偶函数，f（x）=2x+sinx，当0x时，0sinx1，02x，f（x）0，函数f（x）在0，上为单调增函数，由偶函数性质知函数在，0上为减函数当x12x22时，得|x1|x2|0，f（|x1|）f（|x2|），由函数f（x）在上，为偶函数得f（x1）f（x2），

16、故成立，而f（）=f（），不成立，同理可知不成立故答案是故应填14（5分）（2008北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1=1，y1=1，当k2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0按此方案，第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）【分析】由题意可知，数列xn为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，；数列yn为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，由此入手能够得到第6棵树种植点的

17、坐标和第2009棵树种植点的坐标【解答】解：组成的数列为0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，k=2，3，4，5，一一代入计算得数列xn为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，即xn的重复规律是x5n+1=1，x5n+2=2，x5n+3=3，x5n+4=4，x5n=5nN*数列yn为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，即yn的重复规律是y5n+k=n，0k5由题意可知第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）（2008北京

18、）已知函数f（x）=sin2x+sinxsin（x+）（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求函数f（x）在区间0，上的取值范围【分析】（）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=，进而求得（）由（）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围【解答】解：（）=函数f（x）的最小正周期为，且0，解得=1（）由（）得，即f（x）的取值范围为16（14分）（2008北京）如图，在三棱锥PABC中，AC=BC=2，ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小；（）求点C到平面APB的距离【分析】（）欲

19、证PCAB，取AB中点D，连接PD，CD，可先证AB平面PCD，欲证AB平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面PCD内两相交直线垂直，而PDAB，CDAB，又PDCD=D，满足定理条件；（）取AP中点E连接BE，CE，根据二面角平面角的定义可知BEC是二面角BAPC的平面角，在BCE中求出此角即可；（）过C作CHPD，垂足为H，易知CH的长即为点C到平面APB的距离，在RtPCD中利用勾股定理等知识求出CH即可【解答】解：（）取AB中点D，连接PD，CDAP=BP，PDABAC=BC，CDABPDCD=D，AB平面PCDPC平面PCD，PCAB（）AC=BC，AP=BP，

20、APCBPC又PCAC，PCBC又ACB=90°，即ACBC，且ACPC=C，BC平面PAC取AP中点E连接BE，CEAB=BP，BEAPEC是BE在平面PAC内的射影，CEAPBEC是二面角BAPC的平面角在BCE中，BC=2，CE=cosBEC=二面角BAPC的大小arccos（）由（）知AB平面PCD，平面APB平面PCD过C作CHPD，垂足为H平面APB平面PCD=PD，CH平面APBCH的长即为点C到平面APB的距离由（）知PCAB，又PCAC，且ABAC=A，PC平面ABCCD平面ABC，PCCD在RtPCD中，点C到平面APB的距离为17（13分）（2008北京）甲、乙

21、等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列【分析】（）甲、乙两人同时参加A岗位服务，则另外三个人在B、C、D三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列（）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列（）五名志愿者中参加A岗位服务的人数可能的取值是1、2，=

22、2”是指有两人同时参加A岗位服务，同第一问类似做出结果写出分布列【解答】解：（）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44满足条件的事件数是A33，那么，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，满足条件的事件数是A44，那么，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是（）随机变量可能取的值为1，2事件“=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则，的分布列是 1 2 P18（13分）（2008北京）已知函数，求导函数f（x），并确定f（x）的单调区间【分析】根据函数的求导法则进行

23、求导，然后由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案【解答】解：=令f'（x）=0，得x=b1当b11，即b2时，f'（x）的变化情况如下表：x（，b1）b1（b1，1）（1，+）f（x）0+当b11，即b2时，f'（x）的变化情况如下表：x（，1）（1，b1）b1（b1，+）f（x）+0所以，当b2时，函数f（x）在（，b1）上单调递减，在（b1，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减当b2时，函数f（x）在（，1）上单调递减，在（1，b1）上单调递增，在（b1，+）上单调递减当b1=1，即b=2时，所以函数f（x）在（，1）上单调递减，在（1，

24、+）上单调递减19（14分）（2008北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1（）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（）当ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值【分析】（）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出ACBD于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入直线方程可表示出y1+y2，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程（）根据四边形

25、ABCD为菱形判断出ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|进而可得菱形ABCD的面积根据n的范围确定面积的最大值【解答】解：（）由题意得直线BD的方程为y=x+1因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD于是可设直线AC的方程为y=x+n由得4x26nx+3n24=0因为A，C在椭圆上，所以=12n2+640，解得设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，y1=x1+n，y2=x2+n所以所以AC的中点坐标为由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，所以，解得n=2所以直线AC的方程为y=x2，即x+y+2=0（）因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60&#

26、176;，所以|AB|=|BC|=|CA|所以菱形ABCD的面积由（）可得，所以所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值20（13分）（2008北京）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a11，a21，an1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又定义S（B）=2（b1+2b2+mbm）+b12+b22+bm2设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak）（k=0，1，2，）（）如果数列A0为5，3，2，写出数列A

27、1，A2；（）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A）=S（A）；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当kK时，S（Ak+1）=S（Ak）【分析】（）由A0：5，3，2，求得T1（A0）再通过Ak+1=T2（T1（Ak）求解（）设有穷数列A求得T1（A）再求得S（T1（A），由S（A）=2（a1+2a2+nan）+a12+a22+an2，两者作差比较（）设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，an在存在1ijn，有aiaj时条件下，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，在存在1mn，使得am+1=am+2an=0时条件下，若记数列a1，a2，am为C，Ak+1=T2（