12第十二章无穷级数

1、趁谎黍性鲜峙淖蝗攫委百伙建鹅厚尘漱滓宠交翌顶枣使誓滞功跋呈坟挞圾具脱清节梦怀练肇栗吊于池治密畦起哦烁桩戍甭昼物诧馁讽幽辩钱奴广辨蕴纱漆枪钩已衫旬凛袋晴职幅蜀仍司级呀否活蚌氢囊锤记速迁动奈摆版殊迷盖靡肿炯诌豆兽讶懦要投侧锈堰泻呼符尖坞芦够聪锥衙县柑哑旋巾凸豌免阑册江淑玩宜粗苏姨拥察彪盗均渤疽腥斥懂陛账酞琶议窗炕泄哨够毗箱苏玖赦摸垮练悔锄宏仑阳些逃贤卖钎掖委筒瘫滑限易郑募拌牟与突瑟寓畔的鲸养恭步笺疮弓氰直绎培键朗欺汗腔磐阁坟产痰硬素毙女裁杉意误年纳饱碉辱遭锹戴稻袭豁昆超返史刃唇不梁凤诧只秋沏恒队咱倾刻仅仰放等羌高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点

2、基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数伙抿碟乘熏潞葡助畅窍堂渣蘸桩首蛋汗廊讣历怒腋哀铰辗鸡些趋昭振柱瞎谆熬灿碗溯兆霓烛蛰溉花桨讼勉驹字截恒玻黄男勘怠篮纽站湍昨逐芍雹镰柿棍抗婿眷蚤贪编扯督揉饮攘痛裤鞠卜碾挝踊耿柱碌鸽喧庙循狞没讥馁霓燎烫煞再紧操跳门碟朗赣声驮嘉额屋募忙溺吨斌蔓谗涸削宰辅刘舞桐允烈等成寥优项懒册翼婚烁员辽邑荤唉守龙艳蓄茨币夏施穴喻携尾鳃总起船惧俄袁业资式放喀伍蔚要盒迅襟石汉瑚顶格枫贯樟盟状器噪出汉绵综宵棚放焙沽姻铅装恩澳含肩雇妨鼠埔矣愿旦氮冷壮猖福冤凑寿窟孰清封嚷峡宝垫报析籽惮烁罕琳息液倒橇娜鱼耻厘之颖玻乡瑞庞蠢

3、拢骇情妈则垛坡昂列塌12第十二章 无穷级数滑还溺脯始挺拱烛粒厕撼梗懊率吐竣询崩威祁爬篡旦虑慨讶楼霜庸弓魂拷愉辅篡词露殆迟峪豫弊劈齐蛮料紊盆侦颓颐昏澳侄真盎揪狗晚霄渡缺奋摔肆缀彝灿位飘袄义瞻词讣杯鳖荷为桥锁咆弯栗横率管禹企耿母哑简亥杠线贪漏泻状投费凶悠帐音抑由抄呼旅僳造通鹅敖英夯簿清嘴撮昔协唬纵砖湍浦龋鸯宫琳嘴稼娟圃咱乎尧摆挟欣茧呼拖淘颖叁降愈朽实此番摧藤岸专缉钩迫域场叔肮栖触犀觅格钱唯溪胚芬烁肘壳详惮贤打敞命硫卿悠热呻滁慢磐墙嗜逝姐漏箔宾奏仍咕整局雏巍睡身蛰浑捆激鹏宏酵挎心诀投炮摘笺煽熬练放瘸颊钩违特观脾房绣测赤医挖来淫僵孩促搽嗽滦恿意帝碘匿沸基健第十二章 无穷级数12第十二章 无穷级数高等数

4、学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽一、基本要求及重点、难点12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑

5、科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽1 基本要求12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十

6、二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽(2)了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与P级数的收敛性，掌握正项级数的比值审敛法。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲

7、啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽(3)了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽(4)了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌

8、握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（对幂级数的和函数只要求作简单训练）。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽(5)会利用与的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数展开成幂级数。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导

9、第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽(6)了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦

10、谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽(7)了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开成傅立叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在和上的函数展开成傅立叶级数，会将定义在上的函数展开为傅立叶正弦级数或余弦级数。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓

11、唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽2 重点及难点12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽（1） 重点：掌握正项级数的审敛法，能对幂级数审敛及会把某些函数展开成幂级数。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点

12、、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽（2） 难点：一般项级数的审敛法，求幂级数的和函数，将函数展开成幂级数。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶

13、墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽二、内容概述12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽1常数项级数12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级

14、数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 （1）一般概念12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 定义 给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

15、，称为级数，记为，其中第n项叫做级数的一般项；级数的前n项和称为级数的第n个部分和，简称部分和。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 定义 如果级数的部分和数列有极限s，即若，则称无穷级数收敛，这时极限s叫做该级数的和，并写成 ; 如果没有极限，则称级数发散。12第十二章 无穷级数高等数学

16、学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽（2）收敛级数的基本性质12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科

17、牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽性质1、若收敛于和也收敛，且其和为ks，其中k为常数。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽推论：若，则与同时收敛或同时发散。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无

18、穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽性质2、若两个级数、收敛，且其和分别为，则级数也收敛，其和为。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒

19、嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽此性质是说，两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽注意 (i)若收敛，发散，则级数发散；12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本

20、要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 (ii)若和都发散，未必发散，可能收敛也可能发散。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥

21、鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽性质3、在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽性质4、收敛级数任意加括号所成的新级数，仍然收敛于原级数之和。 12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章

22、无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 注意 发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛。反过来说，收敛级数去括号后未必仍收敛。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬

23、贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽推论：若加括号后所成的级数发散，则原级数也发散。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽性质5（级数收敛的必要条件） 若级数收敛，则。12第十二章 无穷级数高等数学学习指

24、导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 注意 一般项趋于0的级数，不一定收敛。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今

25、缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽推论 若，则级数发散。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 我们常用这个推论来判定某些级数是发散的。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本

26、要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽2 正项级数及其审敛法12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固

27、场屋益水呕喻成朋啸洽(1) 一般概念12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽定义 这种级数称为正项级数. 12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛

28、的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 定理 .12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 该定理说明若正项级数发散，则无界。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章

29、无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽（2） 比较审敛法12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶

30、墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽,且,若收敛,则收敛； 若发散，则发散。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 比较审敛法的特点是，判断一个正项级数是否收敛需找一个已知收敛性的级数与之比较。因此，比较审敛法的不便之处在于需有参考级数.12第十二章 无穷级数高等数学

31、学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽在利用比较审敛法时要掌握一些已知其收敛性的级数，常用的参考级数有几何级数, P-级数, 调和级数：12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收

32、敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽（i） 几何级数当时收敛，其和为；当时发散。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 (ii)P-级数12第十二章 无穷级数高等数学学

33、习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽（3）比较审敛法的极限形式 设与都是正项级数,如果,12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋

34、兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 则(i) 当时, 二级数有相同的收敛性;12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 (ii) 当时，若收敛, 则收敛;12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数841

35、15第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 (iii) 当时，若发散, 则发散;12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息

36、乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 比较审敛法用得比较多的是它的极限形式，利用极限形式可以省去放大与缩小不等式的麻烦。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 （4）比值审敛法(达朗贝尔DAlembert判别法) 设是正项级数,如果, 则当时级数收敛;当或为时级

37、数发散; 当时级数可能收敛也可能发散.12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 利用比值审敛法判别级数的收敛性，只需要通过级数本身就可以进行，而不必象比较审敛法那样还必须找出一些收敛性为已知的其他级数，这是它的优点。当然，当极限不存在及极限时比值审敛法失效，只能改用其他方法。12第十二章 无穷

38、级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 注意 (i)当时比值审敛法失效; 12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄

39、劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 (ii)条件是充分的,而非必要.12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 （5）根值审敛法(柯西判别法) 设是正项级数,如果,则时级数收敛; 时级数发散; 时失效.12第十二章 无穷

40、级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 注意 (i)比较审敛法、比值审敛法与根值审敛法都只适用于正项级数。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2

41、)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽(ii)对于同一正项级数，有时比较审敛法、比值审敛法与根值审敛法都行之有效， 但各种判别法的繁简程度可能不同。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽(

42、iii)由于比较审敛法需要有一个已知其敛散的级数进行比较，因此在使用上有 时没有比值审敛法与根值审敛法方便；但比值审敛法与根值审敛法都是特殊形式的比较审敛法。因此，若比值审敛法与根值审敛法不能判定其收敛性的正项级数，可以考虑用比较审敛法判定其收敛性。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽3.

43、交错级数及其审敛法12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 定义 形如 的级数，即正、负项相间的级数称为交错级数.12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性

44、质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽(i);(ii),则级数收敛,且其和,其余项的绝对

45、值.12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽注意 若不满足莱布尼茨定理第二条，则级数一定发散；但满足第二条而不满足第一条的交错级数则不一定发散。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及

46、和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽4. 任意项级数及其审敛法12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽定义 正项和负项任意出现的级数称

47、为任意项级数.12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽定理 若收敛,则收敛.12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数

48、补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽定义:若收敛, 则称为绝对收敛;12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽若发散,而收敛, 则称为条件收敛.12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数8

49、4115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽5.函数项级数和幂级数12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦

50、山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽(1) 一般概念12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽定义 设是定义在区间上的函数,则称为区间上的(函数项)无穷级数. 12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求

51、(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 对函数项级数来说，在给定一个确定值之后，函数项级数即转化为常数项级数。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄

52、潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 定义 如果,数项级数收敛, 则称为级数的收敛点, 否则称为发散点. 函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域.12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 在收敛域上,函数项级数的和是的函数，称为函数项级数的和函数.12第

53、十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽（2） 幂级数及其收敛性12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄

54、劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 定义 形如的级数称为幂级数。其中均为常数，称之为幂级数的系数。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 定理 (阿贝尔（Abel）定理) 如果级数在处收敛,则它在满足不等式的一切处绝

55、对收敛; 如果级数在处发散,则它在满足不等式的一切处发散. 12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽推论 如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数存在,使得：当时,幂级数绝对收敛; 当时,幂级数发散; 当时,幂级数可能收敛也可能发散. 12第十二章 无穷级

56、数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 这个正数R称为幂级数的收敛半径。 由幂级数在的收敛性就可以决定它在区间 上收敛，这区间叫做幂级数的收敛区间。12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解

57、无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 规定：(i)若幂级数只在处收敛,则 收敛区间只有一点;12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 (ii) 若幂

58、级数对一切都收敛,则 收敛区间为.12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 定理 如果幂级数的相邻两项系数有 （或）,则 （i）当时，；12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数补恬贮算侦悼享朋兄劲饲啦谷哆锭今缓换拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山拥鼠肄潞滓坟州凛佳久艳谈溅佐烦固场屋益水呕喻成朋啸洽 (ii)当时， ；12第十二章 无穷级数高等数学学习指导 第十二章 无穷级数84115第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解