考研数学三必背知识点：概率论与数理统计

1、.概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、 随机事件及其概率运算律名称交换律结合律分配律德摩根律2、概率的定义及其计算表达式ABBAABBA(AB)CA(BC)ABC( AB)CA(BC) ABCA(BC)ABACA(BC)(AB)( A C)ABABABAB公式名称求逆公式加法公式条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式（逆概率公式）伯努力概型公式两件事件相互独立相应公式公式表达式P(A)1P( A)P( AB) P( A)P( B)P( AB)P(B A)P( AB)P( A)P( AB) P( A) P( B A)P( AB)P(B)P( A B)nP(B)P( Ai ) P(

2、B Ai )i 1P(A j B)P( Aj )P( B Aj )P( Aj )P( B Ai )i1Pn (k )C nk pk (1p) n k , k0,1, nP(AB) P(A)P( B) ； P(B A)P( B) ； P(B A)P( B A) ； P(B A) P(B A)1；P(B A)P(B A)1;.二、随机变量及其分布1、分布函数性质P( Xb)F (b)P(aXb)F (b)F (a)2、 离散型随机变量分布名称分布律01 分布 B(1, p)P ( Xk)p k (1p) 1k ,k0,1二项分布 B( n, p)P( Xk )Cnk p k (1p) n k ,k

3、0,1, , n泊松分布 P( )kP( Xk)e, k0,1,2,k!几何分布 G( p)P( Xk)(1p) k1 p,k0,1,2,knkP ( Xk )CM CNM ,kl , l1, min( n, M )超几何分布 H ( N , M ,n)C Nn3.连续型随机变量分布名称均匀分布 U ( a, b)指数分布 E( )正态分布 N(,2)标准正态分布N (0,1)密度函数分布函数1, axb0, xaf ( x)b ax a , a x bF ( x)0,b ab其他1, xf ( x)ex, x 0F (x)0,x00,x ,x0其他1 e1( x) 21x( t) 22222

4、f ( x)exF ( x)ed t221x 21x( t) 2e2xe22( x)F ( x)d t22;.三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布piP( Xxi )P( Xxi ,Yy j )pijp jP(Y y j )P (X xi ,Y y j )pijjjii2、离散型二维随机变量条件分布pi jP( XxiYy j )P( X xi ,Yy j )pij,i1,2P(Yy j)P jp j iP(Yy jXxi )P( X xi ,Y y j )pij, j1,2P( Xxi)Pixy3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数 F ( x, y )f (u

5、, v )dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数： F X ( x )xf (u , v )dvduf X ( x )f ( x, v) dv密度函数：F Y ( y )yf (u , v )dudvf Y ( y )f (u, y ) du5、二维随机变量的条件分布fY X ( y x)f ( x, y) ,yf X Y (x y)f (x, y) ,xf X ( x)fY ( y)四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量： E ( X )x k p k连续型随机变量： E ( X )xf ( x )dxk 12、数学期望的性质(1)E(C )C , C为常

6、数EE(X)E(X )E(CX ) CE(X )(2)E( XY)E( X ) E(Y)E(aXb)aE( X ) bE (C1X 1Cn Xn )C1E(X1 )Cn E( X n )(3)若 XY 相互独立则： E( XY) E( X )E(Y)(4) E(XY)2E2(X )E2(Y)3、方差： D(X ) E(X 2 )E2(X)4、方差的性质(1)D(C)0DD(X )0D(aXb)a 2D ( X )D(X) E(XC )2(2)D( XY )D(X) D(Y)2Cov( X, Y)若 XY 相互独立则： D( XY)D(X)D(Y)5、协方差： Cov( X ,Y)E( X,Y)

7、E( X )E(Y) 若 XY 相互独立则： Cov( X ,Y ) 0;.6、相关系数：Cov( X ,Y )若 XY 相互独立则：XY0即 XY 不相关XY(X,Y)D(X ) D(Y)7、协方差和相关系数的性质(1)Cov( X , X )D(X)C o (Xv ,Y ) C o v(Y, X )(2)Cov( X1 X 2 ,Y) Cov( X1, Y) Cov(X 2, Y)Cov(aX c,bY d ) a b C o( Xv ,Y)8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 B(1, p)pp(1p)二行分布B(n, p)npnp(1p)泊松分布P( )几何分布 G

8、( p)超几何分布H ( N, M , n)均匀分布 U (a,b)正态分布N( ,2)指数分布E( )11ppp2n Mn M (1M ) NmNNN N1a b(ba)22122112五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X),D(X)2, 对于任意0有P X E(X)D(X)或PX E(X) 1D(X)222、大数定律：若 X 1X n 相互独立且 n时， 1nX iD1nE ( X i )ni 1n i 1(1)若 X1X n相互独立， E ( X i )i , D ( X i )2且21nPiiM 则：X ini1(2)若 X1X n相互独立同分布，且E( Xi )i

9、则当 n1 nP时：X in i 11 n)E ( X i ), ( nn i 13、中心极限定理2(1) 独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为0 的独立同分布时，当n 充分大时有：;.nX knk 1YnN (0,1)n(2) 拉普拉斯定理：随机变量n ( n 1,2) B(n, p) 则对任意 x 有：xt 2lim Pnnp1(x)np(1xe 2 dtxp)2nnX kna nk 1b nbnan(3) 近似计算： P(aX kb) P(n)()()k1nnnn六、数理统计1、总体和样本总体 X 的分布函数 F ( x) 样本 (X1, X 2X n ) 的联合分布为 F ( x

10、, xnx)F (x)1 2nk 1k2、统计量1n(2)样本方差： S 21nX )21n( X i2 n X2(1)XX i( X i样本平均值：)n i 1n 1 i 1n 1 i 1(3)样本标准差： S1nX ) 2(4)样本 k 阶原点距：Ak1n1,21 i(X iX ik ,kn1n i 1(5)样本 k 阶中心距： B kM k1 n2,3( X i X )k ,kn i 1(6)次序统计量：设样本( X1, X2X n ) 的观察值 (x1, x2xn ) ，将 x1, x2xn 按照由小到大的次序重新排列，得到x(1)x(2)x( n) ，记取值为 x(i ) 的样本分量

11、为X (i )，则称 X(1)X(2)X (n)为样本 ( X1, X2X n ) 的次序统计量。 X (1) min( X 1, X 2X n ) 为最小次序统计量；X ( n)max( X 1, X 2X n ) 为最大次序统计量。3、三大抽样分布(1)2 分布：设随机变量X1, X2X n 相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量2X 12 X 22X n2所服从的分布称为自由度为n 的2 分布，记为2 2 (n)性质： E 2 ( n) n, D2 (n)2n 设 X 2 (m), Y 2 (n) 且相互独立，则XY 2 (mn)(2) t 分布：设随机变量X N(0,1

12、),Y 2 (n) ，且 X 与 Y 独立，则随机变量：TX所服从的分布称为自由度Y n的 n 的 t 分布，记为T t (n);.n1( x)2性质： Et(n)0, Dt (n)2) lim t(n) N (0,1)e22,(nn2n2(3) F 分布：设随机变量 U 2 ( n1 ),V 2 (n2 ) ，且 U 与 V 独立，则随机变量F (n1 ,n2 )U n1 所服从的分布称为自V n2由度 (n1 , n2 ) 的 F 分布，记为 F F( n1 ,n2 )性质：设X F (m, n)，则 1( , )F n mX七、参数估计1、参数估计(1) 定义：用 ( X1 , X 2, X n ) 估计总体参数 ，称 ( X1, X 2 , X n ) 为 的估计量， 相应的 ( X1, X2 , X n ) 为总体 的估计值。(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法：（总体矩 =样本矩）离散型样本均值：XE(X)1nX i 连续型样本均值：XE(X)xf ( x,)dxn i1离散型参数：E(X2)1 nX i2n i 13、点估计中的最大似然估计最大似然估计法： X1,X2,X n 取 自 X 的 样 本 ， 设 X f ( x, )或P( X X i )P( )则可