第二章-概率论解析答案习题解答.

1、第二章随机变量及其分布I 教学基本要求1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系；2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质；3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用；4、会求简单随机变量函数的分布.II 习题解答A 组1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为1(F,F)、2(T,F)、3(F,T) 、4(T,T)以 X 表示两个产品中的合格品数 .(1) 写出 X 与样本点之间的对应关系；(2)若此产品的合格品率为p，求 p( X1)

2、 ？解： (1)10 、 21、31、4 2 ；(2)p( X1)C1 p(1p)2 p(1p) .22、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？0x2(1)12x0 ；F (x)21x 0(2)1(x) .F (x)x21解： (1)显然 F ( x) 是单调不减函数； 0F ( x) 1 ，且 F () 0、F() 1 ；F ( x0)F ( x) ，故 F ( x) 是某个随机变量的分布函数.(2) 由于 F ( ) 0 1，故 F (x) 不是某个随机变量的分布函数 .3、设 X 的分布函数为A(1 e x )x0F ( x)x00求常数 A 及 p(1X3) ？解： 由 F ()1和

3、lim A(1e x )A 得xA1 ；p(1X3)p( X3)p( X1)F (3)F (1)(1 e 3 ) (1 e 1) e 1e 3 .4、设随机变量X 的分布函数为0x0F ( x)Ax 20 x11x1求常数 A及p(0.5X0.8)？解：由F(1 0)F (1)得A 1 ；p(0.5X0.8)p( X0.8) p( X0.5) F (0.8) F (0.5)0.820.520.39 .5、设随机变量X 的分布列为p(Xa( k 1, 2 , N,)k)求常数 a ？N解： 由pi1 得i 1Nk 1a1Na1 .6、一批产品共有100 个，其中有 10 个次品，求任意取出的5

4、个产品中次品数的分布列？解：设 X 表示 5 个产品中的次品数， 则 X 是离散型随机变量， 其所有可能取值为0、1、 、5，且p(X0)C100C905、 p( X1)C101C904、 p( X2)C102C903、 p( X3)C103C902、C1005C1005C1005C1005p( X 4)C104C901 、 p( X5)C105C900C1005C1005于是 X 的分布列为C10kC905 k(k 0,1, ,5) .p(X k)C10057、设 10 件产品中有2 件次品，进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，以X 表示抽样次数，求(1) X 的分布列；(2) X 的分布

5、函数？解： (1) 由题意知X 是离散型随机变量，其所有可能取值为1、 2、 3，且842882181p(X 1)、 p( X 2)109、 p( X 3)98451054510于是 X 的分布列为X123p48154545(2) 由 (1) 可知 X 的分布函数为0x141x25F ( x).44452x31x38、设随机变量X 的分布函数为0x10.21x1F ( x)0.31x20.52x31x3求 X 的分布列？解： X 的分布列为X-1123p0.20.10.20.59、某大楼装有5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每一设备被使用的概率为0.1 ，求在同一时刻(1) 恰有 2

6、个设备被使用的概率；(2) 至少有 3 个设备被使用的概率；(3) 至多有 3 个设备被使用的概率？解： 设 X 表示被同时使用的供水设备数，则X b(5,0.1)(1) 恰有 2 个设备被使用的概率为p(X2)C52 (0.1)2 (0.9)30.0729 ；(2) 至少有 3 个设备被使用的概率为p(X 3) p( X3) p( X 4)p( X 5)C53(0.1)3 (0.9)2C54 (0.1)4 (0.9)C55 (0.1)5 (0.9)00.00856；(3) 至多有 3 个设备被使用的概率为p( X3)1p( X4)p( X5)1 C54 (0.1)4 (0.9)C55 (0.

7、1)5 (0.9)00.99954.10、经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20% ，如今餐厅有50 个座位，但预定给了 52 位顾客，求到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？解： 设 X 表示预定的52 位顾客中不来就餐的顾客数，则X b(52,0.2) ，由于“顾客来到餐厅没有座位”等价于“52 位顾客中至多有 1 位不来就餐” ，于是所求概率为p( X 1) p( X 0)p( X 1) C520(0.2) 0 (0.8)52C521 (0.2)1 (0.8)510.0001279 .11、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3 的泊松分布，求(1) 在一周内恰好

8、发生 2 次交通事故的概率；(2) 在一周内至少发生 1 次交通事故的概率？解： 设 X 表示该城市一周内发生交通事故的次数，则X P(0.3)(1) 在一周内恰好发生2 次交通事故的概率p( X 2)0.32e 0.30.0333 ；2!(2) 在一周内至少发生 1 次交通事故的概率p( X 1) 1 P( X 0)10.300.30.259 .0!e12、设 X 服从泊松分布，已知p( X1) p( X 2) ，求 p(X4) ？解： 由 p( X 1) p( X2) 得2ee22p( X4)24e 20.0902 .4!13、一批产品的不合格品率为0.02 ，现从中任取40 件进行检查，

9、若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：(1) 用二项分布作精确计算；(2) 用泊松分布作的似计算？解： 设 X 表示抽取的40 件产品中的不合格品数，则X b(40,0.02)(1) 拒收的概率为p( X2)1p( X0)p( X1)1C400 (0.02)0 (0.98)40C401 (0.02)1 (0.98)390.1905；(2) 由于400.020.8，于是拒收的概率为p( X2)1p( X0)p( X 1)1e 0.80.8e 0.80.1912 .14、设随机变量X 的密度函数为f ( x)2x0x10其它求 X 的分布函数？解： 由()x()得

10、Fxf t dt当 x0 时F ( x)xf (t)dtx00dt当 0 x 1时F ( x)x0x2 |0x x2f (t )dt0dt2tdt t0当 x 1 时F ( x)xf (t)dt01x2|10 10dt2tdt0dt t01于是所求分布函数为0x0F ( x)x20x1 .1x115、设随机变量X 的密度函数为1f ( x)2(1x2 )1 x20其它求 X 的分布函数？()x)解： 由(得Fxf t dt当时x 1xf (t)dtxF ( x)0dt 0当 1 x 2时x1x12 )dt1) |1x1F ( x)f (t )dt0dt2(12(t2( x2)1ttx当 x 2

11、 时F ( x)x122(112 )dtx2(t1) |121f (t )dt0dt0dt1t2t于是所求分布函数为0x1F ( x)2( x11 x 2 .2)x1x216、设随机变量X 的密度函数为f ( x)A cos xx220其它求(1) 常数 A ； (2)X 的分布函数； (3)p(0 X4) ？解： (1)由f ( x)dx 1得220dtAsin x |22 A10dtA cos xdx2221A ；2(2) 当 x时2F ( x)xf (t)dtx00dt当x时22F ( x)xf (t)dt2x1 costdt1 sin t |x1 sin x10dt222222当 x时

12、21 costdt1 sin t |2F ( x)xf (t)dt2 0dt2x10dt22222于是所求分布函数为0x2F ( x)1 sin x12x2；221x2(3) p(0X)p( X)p( X0)F ( )F (0)4441 sin411 sin 012.2222417、设随机变量X 的分布函数为0x1F ( x)ln x1 xe1xe求(1) p(0X3)、p( X2)、 p(2X2.5)； (2)X 的密度函数？解： (1)p(0X3)p(X3)p( X0)F (3) F (0)10 1p( X2)p(X2)p( X2)F (2)ln 2p(2 X2.5)p(2X2.5)F (

13、2.5)F (2)ln 2.5ln 2ln 5；4(2) 由于在 F ( x) 的可导点处，有f ( x)F( x) ，于是 X 的密度函数为11xef ( x)x.0其它18、设 K U(1,6) ，求方程 x2Kx10 有实根的概率？解：由K U(1,6) 得 K 的密度函数为11k6f (k )50其它又由于方程 x2Kx 10 有实根等价于 K 24 0 ，即 | K | 2 ，于是方程有实根的概率为p(| K |2)p( K2) p( K2)2f (k)dkf (k )dk26 14dk.2 5519、调查表明某商店从早晨开始营业起直至第一个顾客到达的等待时间X (单位：分钟 )服从

14、参数为 0.4 的指数分布，求下述事件的概率(1) X 至多 3分钟；(2) X 至少 4分钟；(3) X 在 3 分钟至 4 分钟之间；(4) X 恰为 3分钟？解： (1)X至多3分钟的概率为p(X3) F (3)1 e 0.4 31 e 1.2 ；(2) X 至少 4 分钟的概率为p( X4)1p( X4)1F (4)1(1e 0.4 4 )e 1.6 ；(3) X 在 3 分钟至 4 分钟之间的概率为p(3X 4)p( X4)p( X3) F (4) F (3)(1e 0.4 4 )(1 e 0.43 )e 1.2e 1.6 ；(4) X 恰为 3 分钟的概率为p(X3)0 .20、设

15、X N (0,1)，求下列事件的概率p( X2 . 3；1.24)；5 ) p( Xp(| X | 1.54) ？解： p( X2.35)(2.35)0.9906；p(X1.24)(1.24)1(1.24)10.89250.1075；p(| X |1.54) p(1.54X1.54)(1.54)(1.54)(1.54)1(1.54)2(1.54)120.938210.8764 .21、设 X N (3,4) ，(1)得 p( Xc)p( Xc) ； (3)求 p(2X5) 、 p(| X |2) 、 p( X3) ； (2) 确定 c ，使若 d 满足 p( Xd )0.9 ，则 d 至多为多

16、少？解： (1)p(2X5)p( 23X35 3)222(1)(0.5)(1)(0.5)10.84130.691510.5328p(| X |2)1 p(| X |2)1p(23X3 23)2221( 0.5)(2.5)1(0.5)(2.5)10.69150.99380.6977p( X 3) 1 p( X 3) 1 p( X 3 3 3)221(0)10.50.5 ；(2)由 p(Xc)p( Xc) 得1p( X c)p( Xc)0.5 p( X c) p( X 3 c 3)( c 3)222c 3c3 ；02(3) 由 p(Xd)0.9 得0.9 p(X d) 1 p( X d ) 1 p

17、( X 3 d 3) 1( d 3)222( d 3) 0.11( 3 d ) 0.122( 3 d )0.932d1.282d0.436 .2X 服从均值为4h ，标准22、从甲地飞住乙地的航班，每天上午10:10 起飞，飞行时间差为 20min 的正态分布 .(1) 该航班在下午 2: 30 以后到达乙地的概率；(2) 该航班在下午 2: 20 以前到达乙地的概率；(3) 该航班在下午 1: 50 至 2: 30 之间到达乙地的概率？解： (1) 该航班在下午 2: 30 以后到达乙地的概率为p(X 260) p( X 240260 240) 1 p( X2401)2020201 (1)

18、1 0.8413 0.1587 ；(2) 该航班在下午 2: 20 以前到达乙地的概率为p(X 250) p( X 240250 240 )(0.5) 0.6915 ；2020(3) 该航班在下午 1: 50 至 2: 30 之间到达乙地的概率为p(220 X 260) p( 220 240X 240260 240 )202020(1) ( 1) 2 (1) 1 2 0.8413 1 0.6826 .23、某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制 )近似地服从 N (72,2) ，已知 96分以上的人数占总数的2.3 %，试求考生的成绩在60 分至 84 分之间的概率？解： 设考生的外语成

19、绩为X，则 X N(72,2 )由 96 分以上的人数占总数的2.3 %得0.023 p( X96)0.977 p( X 96)p(X72967224)( )24122于是，考生的成绩在60 分至 84 分之间的概率为60 72X 7284 72p(60 X 84) p(12)1212(1) ( 1) 2 (1) 1 2 0.8413 1 0.6826 .24、设随机变量X 的分布列为X02p0.250.50.25求 Y cos X 的分布列？解： 由 X 的分布列可得Ycos0cos( )cos( )p20.250.50.25于是 Y 的分布列为Y10-1p0.250.50.2525、设随机

20、变量X 的分布列为X-2-1012p0.10.20.30.20.2求 YX 2 的分布列？解： 由 X 的分布列可得Y( 2)2( 1)2021222p0.10.20.30.20.2将相同值合并得Y 的分布列为Y410p0.30.40.326、设随机变量X 的密度函数为3 x 21 x1f X ( x )20其它求随机变量 YX3的密度函数？解： 由题意知，当y2 时，有FY ( y)p(Yy)0当 2 y 4 时，有FY ( y)p(Yy)p( X3y)p( Xy3)FX ( y3)当 y4 时，有FY ( y)p(Yy) 1即 Y 的分布函数0y2FY ( y)FX ( y 3)2 y 4

21、1y4于是， Y 的密度函数fY ( y)FY ( y)FX ( y3)2 y 40其它3 ( y3)22y42.0其它27、设随机变量X U (0,1) ，求随机变量 YeX 的密度函数？解： 由题意知，当 y1时，有FY ( y)p(Yy)0当 1 y e时，有FY ( y)p(Yy)p(eXy)p( Xln y)FX (ln y)当 ye 时，有FY ( y)p(Yy)1即 Y的分布函数FY ( y)0FX (ln y)1y11yyee于是， Y 的密度函数fY ( y)FX (ln y)1 y eFY ( y)其它011 y ey.0其它28、随机变量X 的密度函数为e xx0f X

22、( x )0x0求随机变量 YX 2 的密度函数？解：由于YX 20 ，故当 y 0时，有 FY ( y)p(Y y) 0 ；当 y0 时，有F ( y)p(Yy)p( X 2y)p( y Xy )Yyyyf X ( x)dxe xdx 1 ey0即 Y 的分布函数FY ( y)1eyy00y0于是， Y 的密度函数1e yfY ( y) FY ( y)2y0y0.y029、设随机变量 X N (0,1) ，试求随机变量 Y| X |的密度函数？解：由于Y| X |0，故当 y0 时，有 FY ( y)p(Yy)0；当 y 0 时，有FY ( y) p(Yy)p(| X |y) p( y Xy

23、) 2( y)1即 Y 的分布函数2( y)1y0FY ( y)0y0于是， Y 的密度函数2 ( y)y0fY ( y) FY ( y)y002e0y 22y0 .y0B 组1、 A2、 B3、 D4、B5、 B6、 B7、 C8、 C9、C10、 C11、设随机变量X 的分布函数为0x1a1x 1F ( x)2a1x23abx2且 p( X2)1，求常数 a 、 b ？2解：由F() 1及 p(Xa) F (a) F (a 0) 得F ()ab1p( X2)F(2) F(20) (a b)( 2a)132ab 12ab76a16 .b5612、设随机变量X 的分布列为X123p0.512a

24、a2求常数 a ？解： 由pi1 得i10.512aa21a212再由 12a 0 a1，可得22a1.213、口袋中有 5 个球，编号为 1、 2、 3、 4、 5，从中任取 3 个，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码 .(1) 求 X 的分布列；(2) 求 X 的分布函数？解： (1) 由题意知X 是离散型随机变量，其所有可能取值为3、 4、 5，且C2214)C323C426p(X 3)、 p( XC53、 p( X5)10C531010C53于是 X 的分布列为X345p0.10.30.6(2) 由 (1) 可知 X 的分布函数为0x30.13x4F ( x)4x.0.451x5

25、14、设随机变量X 的密度函数为|x|(a0)f (x) Ce a求(1)常数 C ；(2)X 的分布函数； (3)p(| X | 2) ？解： (1) 由f ( x)dx 1得f (x)dx|x |x2C e a dx 2Ce a dx 2aC 100C 1 ；2a(2) 当 x0 时F ( x)x1x|t|1xtxf (t)dte a dtea dt1 ea当 x 02a2a2时F ( x)x10|t |1x|t |f (t)dtea dte a dt1ea dt12aa dt 12a00e1 e atxtx2a2a021axx02e于是 F ( x)；1 e ax10x2(3) p(| X | 2)p( 2 X 2) F (2) F